प्रायिकता

प्रायिकता

प्रायिकता हाल के हर बोर्ड प्रश्न पत्र में 5 अंक की रही है (2026-27 का सैंपल पेपर, 2025 और 2026 के दोनों प्रश्न पत्र)।

ये अंक प्रायः दो या तीन 1 अंक के बहुविकल्पीय प्रश्नों (ताश, पासे, संख्याएँ, थैले में गेंदें), अक्सर एक अभिकथन-तर्क प्रश्न (पिछले चार में से तीन प्रश्न पत्रों में), और दो पासों, ताश की गड्डी या संख्या वाले कार्डों पर 2 या 3 अंक के एक प्रश्न से आते हैं। इस अध्याय से 5 अंक का प्रश्न नहीं आया है, इसलिए यहाँ केस आधारित प्रश्न लंबे अभ्यास के लिए हैं।

अंक प्रायः यहाँ कटते हैं:

• ऐसे परिणाम ले लेना जो समप्रायिक नहीं हैं (दो पासों के 11 योग, या "दो चित, दो पट, एक-एक");
• "या" वाली घटना में किसी परिणाम को दो बार गिनना, जैसे "2 या 3 का गुणज" में 6, या "कम से कम एक 6" में (6, 6);
• यह भूल जाना कि दो अंकों की संख्याएँ 90 हैं, या कि 1 अभाज्य नहीं है;
• पत्ते या गेंदें निकालने या डालने के बाद कुल संख्या न बदलना।

5 मिनट में दोहराएँ

मुख्य परिणाम

• $P(E)$ = ($E$ के अनुकूल परिणामों की संख्या) ÷ (सभी संभव परिणामों की संख्या), केवल तब जब परिणाम समप्रायिक हों।
• $0 \le P(E) \le 1$। निश्चित घटना: $P = 1$। असंभव घटना: $P = 0$।
• $P(E) + P(\overline{E}) = 1$, अतः ($E$ नहीं) की प्रायिकता $= 1 - P(E)$।
• किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।
• "A या B": हर अनुकूल परिणाम एक ही बार गिनिए; जो दोनों में हों, उनकी दोहरी गिनती हटाइए।

याद रखने योग्य प्रतिदर्श समष्टियाँ

दो पासे: हर योग कितने प्रकार से

दोनों पर एक ही संख्या (द्विक): 6। कम से कम एक 6: 11। कोई 6 नहीं: 25।

52 पत्तों की गड्डी

• 13-13 पत्तों के 4 सूट: पान और ईंट लाल; हुकुम और चिड़ी काले।
• तस्वीर वाले पत्ते: गुलाम, बेगम, बादशाह, कुल 12 (हर सूट में 3)। इक्के: 4।
• 2 से 10 तक संख्या वाले पत्ते: 36 (हर सूट में 9)।

संख्याएँ: 50 तक की अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 (कुल 15) हैं; 1 न अभाज्य है, न भाज्य। दो अंकों की संख्याएँ: 10 से 99, अर्थात् 90।

सावधानियाँ

• असमान संभावना वाले परिणामों को समप्रायिक मान लेना।
• "या" वाली घटनाओं में दोहरी गिनती।
• पत्ते या गेंदें निकालने या डालने के बाद भी पुराना कुल लेना।
• शब्द के अक्षर: दोहराए गए अक्षरों सहित हर अक्षर गिनिए (PROBABILITY में 11)।

इस पृष्ठ का उपयोग कैसे करें: हर प्रश्न पहले कॉपी पर हल कीजिए, फिर उत्तर पढ़िए। हर चरण के सामने लिखे अंक बताते हैं कि परीक्षक क्या देखता है। 1 अंक वाले बहुविकल्पीय और अभिकथन-तर्क प्रश्न अंत की क्विज़ में हैं, साथ में ऐसे प्रश्न भी जो जाँचते हैं कि आपने अध्याय कितनी गहराई से समझा है; क्विज़ के हर उत्तर के साथ उसकी व्याख्या दी गई है।

लघु उत्तरीय प्रश्न (2 और 3 अंक)

प्रश्न 1 (2 अंक)

दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि (i) दोनों संख्याओं का अंतर 3 हो, (ii) दोनों संख्याएँ 4 से बड़ी हों।

उत्तर।

1. अंतर 3: (1, 4), (4, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 6), (6, 3), अतः $P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ — 1 अंक
2. दोनों 4 से बड़ी: (5, 5), (5, 6), (6, 5), (6, 6), अतः $P = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ — 1 अंक

प्रश्न 2 (2 अंक)

संख्याओं 31, 32, 33, …, 50 में से एक संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह (i) एक भाज्य संख्या हो, (ii) 4 से विभाज्य हो।

उत्तर।

1. 20 संख्याएँ; अभाज्य 31, 37, 41, 43, 47, अतः 15 भाज्य संख्याएँ और $P = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$ — 1 अंक
2. 4 से विभाज्य: 32, 36, 40, 44, 48, अतः $P = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$ — 1 अंक

प्रश्न 3 (2 अंक)

दो स्पिनरों में से प्रत्येक पर 1, 2 और 3 अंकित तीन बराबर त्रिज्यखंड हैं। दोनों को एक साथ घुमाकर दोनों संख्याओं को जोड़ा जाता है। राहुल कहता है, 'योग 2, 3, 4, 5 या 6 हो सकता है, अतः योग 4 आने की प्रायिकता $\frac{1}{5}$ है।' क्या वह सही है? कारण दीजिए और सही प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

नहीं, राहुल सही नहीं है। प्रायिकता = अनुकूल परिणाम ÷ कुल परिणाम, तभी लागू होता है जब सभी परिणाम समप्रायिक हों। ये पाँच योग समप्रायिक नहीं हैं: योग 2 केवल (1, 1) से आता है, पर योग 4 तीन युग्मों से।

समप्रायिक परिणाम $3 \times 3 = 9$ युग्म (पहला स्पिनर, दूसरा स्पिनर) हैं। योग 4 इनमें आता है: (1, 3), (2, 2) और (3, 1)।

अतः योग 4 आने की प्रायिकता $= \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$।

अंक योजना:

1. सही नहीं: 5 योग समप्रायिक नहीं हैं; समप्रायिक परिणाम 9 युग्म (1, 1), (1, 2), …, (3, 3) हैं — 1 अंक
2. योग 4: (1, 3), (2, 2), (3, 1), अतः $P = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ — 1 अंक

प्रश्न 4 (2 अंक)

रवि और स्नेहा एक खेल खेलते हैं। दोनों एक साथ एक-एक सिक्का उछालते हैं। यदि दोनों सिक्कों पर एक जैसा फलक आए तो रवि जीतता है; अन्यथा स्नेहा जीतती है। क्या यह खेल दोनों के लिए न्यायसंगत है? कारण दीजिए।

उत्तर।

1. परिणाम HH, HT, TH, TT समप्रायिक हैं; रवि HH, TT से जीतता है: $P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ — 1 अंक
2. स्नेहा HT, TH से जीतती है: $P = \frac{1}{2}$; दोनों की संभावना बराबर है, अतः खेल न्यायसंगत है — 1 अंक

प्रश्न 5 (2 अंक)

कानपुर के एक स्कूल मेले में लकी ड्रॉ के लिए 250 कूपन बेचे गए। इनमें से 10 कूपनों पर ₹ 100 का और 5 कूपनों पर ₹ 500 का इनाम है। अनु एक कूपन ख़रीदती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह (i) कोई इनाम जीते, (ii) ₹ 500 जीते।

उत्तर।

1. इनाम वाले कूपन $= 10 + 5 = 15$; कोई इनाम जीतने की प्रायिकता $= \frac{15}{250} = \frac{3}{50}$ — 1 अंक
2. ₹ 500 जीतने की प्रायिकता $= \frac{5}{250} = \frac{1}{50}$ — 1 अंक

प्रश्न 6 (3 अंक)

एक दो अंकों की संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि (i) उसके दोनों अंक समान हों, (ii) वह एक पूर्ण घन हो, (iii) उसके अंकों का योग 5 हो।

उत्तर।

1. दो अंकों की संख्याएँ: 10 से 99, अर्थात् 90; समान अंक: 11, 22, …, 99, अतः $P = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}$ — 1 अंक
2. पूर्ण घन: 27 और 64, अतः $P = \frac{2}{90} = \frac{1}{45}$ — 1 अंक
3. अंकों का योग 5: 14, 23, 32, 41, 50, अतः $P = \frac{5}{90} = \frac{1}{18}$ — 1 अंक

प्रश्न 7 (3 अंक)

एक जार में 30 कंचे हैं, जो लाल, हरे या पीले हैं। हरे कंचे लाल कंचों के दोगुने हैं, और यादृच्छया पीला कंचा निकालने की प्रायिकता $\frac{1}{5}$ है। प्रत्येक रंग के कंचों की संख्या, और हरा कंचा निकालने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. पीले $= \frac{1}{5} \times 30 = 6$, अतः लाल + हरे $= 24$ — 1 अंक
2. लाल $= r$, हरे $= 2r$: $3r = 24$, अतः 8 लाल और 16 हरे — 1 अंक
3. $P = \frac{16}{30} = \frac{8}{15}$ — 1 अंक

प्रश्न 8 (3 अंक)

दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि (i) दोनों पासों पर अलग-अलग संख्याएँ आएँ, (ii) संख्याओं का गुणनफल 12 हो, (iii) संख्याओं का योग एक पूर्ण वर्ग हो।

उत्तर।

1. बराबर संख्याएँ 6 परिणामों में, अतः अलग-अलग $36 - 6 = 30$ में: $P = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}$ — 1 अंक
2. गुणनफल 12: (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), $P = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ — 1 अंक
3. योग 4: 3 प्रकार; योग 9: 4 प्रकार; $P = \frac{7}{36}$ — 1 अंक

प्रश्न 9 (3 अंक)

52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गई ताश की गड्डी से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह (i) पान का तस्वीर वाला पत्ता हो, (ii) न तो तस्वीर वाला पत्ता हो और न इक्का, (iii) सम संख्या वाला चिड़ी का पत्ता हो।

उत्तर।

1. पान के तस्वीर वाले पत्ते: गुलाम, बेगम, बादशाह, अतः $P = \frac{3}{52}$ — 1 अंक
2. तस्वीर वाले पत्ते 12 और इक्के 4: $52 - 16 = 36$, अतः $P = \frac{36}{52} = \frac{9}{13}$ — 1 अंक
3. सम संख्या वाले चिड़ी के पत्ते: 2, 4, 6, 8, 10, अतः $P = \frac{5}{52}$ — 1 अंक

प्रश्न 10 (3 अंक)

शब्द ASSESSMENT के अक्षरों में से एक अक्षर यादृच्छया चुना जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह अक्षर (i) S हो, (ii) स्वर हो, (iii) ऐसा अक्षर हो जो शब्द में केवल एक बार आता है।

उत्तर।

1. 10 अक्षर: A, S, S, E, S, S, M, E, N, T; S चार बार आता है, $P = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ — 1 अंक
2. स्वर: A, E, E, अतः $P = \frac{3}{10}$ — 1 अंक
3. एक बार आने वाले अक्षर: A, M, N, T, अतः $P = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ — 1 अंक

दीर्घ उत्तरीय और केस आधारित प्रश्न

प्रश्न 11 (4 अंक)

लखनऊ के दीवाली मेले में एक खेल के स्टॉल पर 12 बराबर त्रिज्यखंडों में बँटा एक घूमने वाला पहिया है, जिन पर 1 से 12 तक संख्याएँ लिखी हैं, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। खिलाड़ी पहिया घुमाता है, और ऊपर लगे स्थिर संकेतक के नीचे जो त्रिज्यखंड रुकता है उसकी संख्या परिणाम होती है। सभी त्रिज्यखंड समप्रायिक हैं।

(i) तीर के किसी अभाज्य संख्या पर रुकने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. अभाज्य संख्याएँ: 2, 3, 5, 7, 11, अतः $P = \frac{5}{12}$ — 1 अंक

(ii) तीर के 12 के किसी गुणनखंड पर रुकने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. 12 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 4, 6, 12, अतः $P = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ — 1 अंक

(iii) तीर के (a) 12 से बड़ी संख्या पर, (b) 13 से छोटी संख्या पर रुकने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। ये किस प्रकार की घटनाएँ हैं? (2 अंक)

उत्तर।

1. कोई संख्या 12 से बड़ी नहीं है: $P = \frac{0}{12} = 0$, असंभव घटना — 1 अंक
2. हर संख्या 13 से छोटी है: $P = \frac{12}{12} = 1$, निश्चित घटना — 1 अंक

अथवा

(iii) तीर के (a) किसी पूर्ण वर्ग पर, (b) ऐसी संख्या पर जो पूर्ण वर्ग नहीं है, रुकने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. पूर्ण वर्ग: 1, 4, 9, अतः $P = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ — 1 अंक
2. पूर्ण वर्ग नहीं: $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ — 1 अंक

प्रश्न 12 (4 अंक)

गर्मी की छुट्टियों में चार चचेरे भाई-बहन लूडो खेलते हैं। खिलाड़ी अपनी गोटी घर से तभी निकाल सकता है जब पासे पर 6 आए। खेल को तेज़ बनाने के लिए वे बाद में हर बारी पर दो पासे एक साथ फेंकने का निर्णय लेते हैं।

(i) दो पासों से दोनों पासों पर 6 आने की प्रायिकता क्या है? (1 अंक)

उत्तर।

1. केवल (6, 6): $P = \frac{1}{36}$ — 1 अंक

(ii) दो पासों से किसी भी पासे पर 6 न आने की प्रायिकता क्या है? (1 अंक)

उत्तर।

1. $5 \times 5 = 25$ परिणाम, अतः $P = \frac{25}{36}$ — 1 अंक

(iii) दो पासों से, यदि योग 10 या अधिक हो या दोनों पासों पर एक ही संख्या आए, तो खिलाड़ी गोटी निकाल सकता है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. योग 10 या अधिक: 6 परिणाम; एक ही संख्या: 6 परिणाम; (5, 5) और (6, 6) दोनों में हैं — 1 अंक
2. अनुकूल $= 6 + 6 - 2 = 10$, $P = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$ — 1 अंक

अथवा

(iii) दो पासों से योग 7 या 11 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. योग 7: 6 परिणाम; योग 11: (5, 6) और (6, 5), 2 परिणाम — 1 अंक
2. $P = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ — 1 अंक

प्रश्न 13 (4 अंक)

इंदौर के एक स्कूल कार्निवाल में 'गेंद निकालो' खेल में एक थैले में 5 लाल, 7 नीली और 8 हरी गेंदें हैं, सभी एक ही आकार की। एक बच्चा बिना देखे एक गेंद निकालता है।

(i) गेंद के नीली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $P = \frac{7}{20}$ — 1 अंक

(ii) गेंद के हरी न होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $P = \frac{5 + 7}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$ — 1 अंक

(iii) अगले दौर से पहले थैले से 2 लाल गेंदें निकाल ली जाती हैं और 4 हरी गेंदें डाल दी जाती हैं। अब हरी गेंद और लाल गेंद निकालने की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. अब लाल 3, नीली 7, हरी 12; कुल 22 — 1 अंक
2. हरी की प्रायिकता $= \frac{12}{22} = \frac{6}{11}$; लाल की प्रायिकता $= \frac{3}{22}$ — 1 अंक

अथवा

(iii) मूल थैले में कितनी हरी गेंदें डाली जाएँ कि हरी गेंद निकालने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ हो जाए? (2 अंक)

उत्तर।

1. माना $g$ हरी गेंदें डाली गईं: $\frac{8 + g}{20 + g} = \frac{1}{2}$ — 1 अंक
2. $16 + 2g = 20 + g$, अतः $g = 4$ — 1 अंक

प्रश्न 14 (4 अंक)

नेहा ताश की गड्डी से हुकुम के 13 पत्ते (इक्का, 2, 3, …, 10, गुलाम, बेगम, बादशाह) निकालती है, उन्हें अच्छी तरह फेंटती है और यादृच्छया एक पत्ता निकालती है।

(i) पत्ते के तस्वीर वाला पत्ता होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. गुलाम, बेगम, बादशाह: $P = \frac{3}{13}$ — 1 अंक

(ii) पत्ते पर सम संख्या होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. 2, 4, 6, 8, 10: $P = \frac{5}{13}$ — 1 अंक

(iii) नेहा द्वारा निकाला गया पत्ता बादशाह है, और वह उसे अलग रख देती है। फिर वह बचे हुए पत्तों में से एक और पत्ता निकालती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह पत्ता (a) तस्वीर वाला पत्ता हो, (b) इक्का हो। (2 अंक)

उत्तर।

1. 12 पत्ते बचे हैं, जिनमें 2 तस्वीर वाले (गुलाम, बेगम): $P = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ — 1 अंक
2. 12 पत्तों में एक इक्का: $P = \frac{1}{12}$ — 1 अंक

अथवा

(iii) 13 पत्तों में से निकाले गए पत्ते के लिए प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि (a) उस पर अभाज्य संख्या हो, (b) वह न तो तस्वीर वाला पत्ता हो और न इक्का। (2 अंक)

उत्तर।

1. अभाज्य 2, 3, 5, 7: $P = \frac{4}{13}$ — 1 अंक
2. 2 से 10 तक के पत्ते: 9, $P = \frac{9}{13}$ — 1 अंक