त्रिकोणमिति का परिचय

त्रिकोणमिति का परिचय

त्रिकोणमिति का परिचय अध्याय बोर्ड प्रश्न पत्र में 6 या 7 अंक का होता है: 2026-27 के सैंपल पेपर में 6 और 2025 तथा 2026 के दोनों बोर्ड प्रश्न पत्रों में 7 अंक।

ये अंक प्रायः एक या दो 1 अंक के बहुविकल्पीय प्रश्नों (एक अनुपात दिया हो तो दूसरा ज्ञात करना, मानक कोणों के मान, छोटा सरलीकरण), 2 अंक के एक प्रश्न (व्यंजक का मान, या $A$ और $B$ ज्ञात करना) और 3 अंक की एक सर्वसमिका उपपत्ति से आते हैं, जो कभी-कभी "इस हल में गलती ढूँढिए" के रूप में पूछी जाती है। इस अध्याय से 5 अंक का प्रश्न नहीं आया है, इसलिए यहाँ के दीर्घ प्रश्न केस आधारित और 4 अंक के हैं।

अंक प्रायः यहाँ कटते हैं:

• पूछे गए कोण के लिए गलत भुजा को आधार या लंब मान लेना;
• दो अलग-अलग कोणों के लिए $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ लगा देना, या $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$ लिख देना;
• उपपत्ति में तिर्यक गुणा करना या पदों को = के एक ओर से दूसरी ओर ले जाना, या यह न दिखाना कि कौन-सी सर्वसमिका लगाई;
• $\theta$ ज्ञात करने के स्थान पर $3\theta = 45^\circ$ पर ही रुक जाना।

5 मिनट में दोहराएँ

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण $A$ के अनुपात

• $\text{cosec}\,A = \frac{1}{\sin A}$, $\sec A = \frac{1}{\cos A}$, $\cot A = \frac{1}{\tan A}$
• $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ और $\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}$

ये मान कंठस्थ हों

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

• $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$
• $\sec^2 A - \tan^2 A = 1$, अतः $(\sec A - \tan A)(\sec A + \tan A) = 1$
• $\text{cosec}^2 A - \cot^2 A = 1$, अतः $(\text{cosec}\,A - \cot A)(\text{cosec}\,A + \cot A) = 1$

न्यून कोण के लिए: $0^\circ$ से $90^\circ$ तक $\sin A$ बढ़ता है और $\cos A$ घटता है; दोनों का मान 0 और 1 के बीच होता है; $\sec A$ और $\text{cosec}\,A$ का मान 1 से अधिक होता है; $\tan A$ कोई भी धनात्मक संख्या हो सकता है।

एक अनुपात दिया है? समकोण त्रिभुज बनाइए, पाइथागोरस प्रमेय से तीसरी भुजा निकालिए, फिर कोई भी अनुपात लिख लीजिए।

सर्वसमिका सिद्ध करना

1. अधिक जटिल पक्ष से शुरू कीजिए। तिर्यक गुणा न करें और पदों को = के पार न ले जाएँ; दोनों पक्षों को अलग-अलग सरल करके एक ही व्यंजक तक पहुँचाना ठीक है।
2. रास्ता न सूझे तो सब कुछ $\sin$ और $\cos$ में बदलिए।
3. उपयोगी बीजगणित: $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$ और $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$, जहाँ $a + b = \sin^2 A + \cos^2 A = 1$।
4. अंत में "= दायाँ पक्ष" लिखिए।

सावधानियाँ

• $\sin(A + B) \neq \sin A + \sin B$; $A = B = 30^\circ$ रखकर जाँच लीजिए।
• $\sin^2 60^\circ + \cos^2 30^\circ$ का मान 1 नहीं है: कोण अलग हैं।
• यदि $\cos 3\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$, तो $3\theta = 45^\circ$ और $\theta = 15^\circ$।
• $\tan A \times \cot A = 1$ होता है, $\tan A + \cot A$ नहीं।

इस पृष्ठ का उपयोग कैसे करें: हर प्रश्न पहले कॉपी पर हल कीजिए, फिर उत्तर पढ़िए। हर चरण के सामने लिखे अंक बताते हैं कि परीक्षक क्या देखता है। 1 अंक वाले बहुविकल्पीय और अभिकथन-तर्क प्रश्न अंत की क्विज़ में हैं, साथ में ऐसे प्रश्न भी जो जाँचते हैं कि आपने अध्याय कितनी गहराई से समझा है; क्विज़ के हर उत्तर के साथ उसकी व्याख्या दी गई है।

लघु उत्तरीय प्रश्न (2 और 3 अंक)

प्रश्न 1 (2 अंक)

मान ज्ञात कीजिए: $\frac{4\cot^2 60^\circ + \sec^2 30^\circ - 2\sin^2 45^\circ}{\sin^2 60^\circ + \cos^2 45^\circ}$

उत्तर।

1. अंश $= 4 \times \frac{1}{3} + \frac{4}{3} - 2 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{3}$ — 1 अंक
2. हर $= \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$; मान $= \frac{5}{3} \div \frac{5}{4} = \frac{4}{3}$ — 1 अंक

प्रश्न 2 (2 अंक)

$x$ और $y$ ज्ञात कीजिए, यदि $x\tan 45^\circ + y\cos 60^\circ = 7$ और $x\sin 30^\circ - y\sec 60^\circ = -1$ है।

उत्तर।

1. मान रखने पर: $x + \frac{y}{2} = 7$ और $\frac{x}{2} - 2y = -1$, अर्थात् $2x + y = 14$ और $x - 4y = -2$ — 1 अंक
2. पहले से $y = 14 - 2x$; तब $x - 56 + 8x = -2$, अतः $x = 6$ और $y = 2$ — 1 अंक

प्रश्न 3 (2 अंक)

नेहा से $\sin^2 60^\circ + \cos^2 30^\circ$ का मान ज्ञात करने को कहा गया। उसने लिखा: “सर्वसमिका $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ से, मान 1 है।” क्या वह सही है? सही मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

नहीं, नेहा सही नहीं है।

सर्वसमिका $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ तभी सत्य है जब दोनों अनुपात एक ही कोण $\theta$ के हों। यहाँ एक अनुपात $60^\circ$ का है और दूसरा $30^\circ$ का, इसलिए यह सर्वसमिका नहीं लगाई जा सकती।

मान रखने पर: $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$। अतः $\sin^2 60^\circ + \cos^2 30^\circ = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$।

अंक योजना:

1. नहीं; सर्वसमिका तभी लागू होती है जब दोनों अनुपात एक ही कोण के हों, यहाँ कोण $60^\circ$ और $30^\circ$ हैं — 1 अंक
2. $\sin^2 60^\circ + \cos^2 30^\circ = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$ — 1 अंक

प्रश्न 4 (2 अंक)

यदि $5\sin\theta = 3$ है, जहाँ $\theta$ न्यून कोण है, तो $\frac{\sec\theta - \tan\theta}{\sec\theta + \tan\theta}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $\sin\theta = \frac{3}{5}$, आधार $= \sqrt{25 - 9} = 4$; अतः $\sec\theta = \frac{5}{4}$ और $\tan\theta = \frac{3}{4}$ — 1 अंक
2. मान $= \frac{\frac{5}{4} - \frac{3}{4}}{\frac{5}{4} + \frac{3}{4}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ — 1 अंक

प्रश्न 5 (2 अंक)

सिद्ध कीजिए कि $\tan^2 A - \sin^2 A = \tan^2 A \sin^2 A$।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

बायाँ पक्ष $= \tan^2 A - \sin^2 A = \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} - \sin^2 A$।

$\sin^2 A$ को उभयनिष्ठ लेकर और हर $\cos^2 A$ लेकर: बायाँ पक्ष $= \frac{\sin^2 A (1 - \cos^2 A)}{\cos^2 A}$।

क्योंकि $1 - \cos^2 A = \sin^2 A$, अतः बायाँ पक्ष $= \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} \times \sin^2 A = \tan^2 A \sin^2 A =$ दायाँ पक्ष।

इति सिद्धम्।

अंक योजना:

1. बायाँ पक्ष $= \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} - \sin^2 A = \frac{\sin^2 A (1 - \cos^2 A)}{\cos^2 A}$ — 1 अंक
2. $= \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} \times \sin^2 A = \tan^2 A \sin^2 A =$ दायाँ पक्ष — 1 अंक

प्रश्न 6 (3 अंक)

$\triangle ABC$ में, जिसका कोण $B$ समकोण है, $\tan A = \frac{5}{12}$ है और त्रिभुज का परिमाप 60 cm है। इसकी भुजाओं की लंबाइयाँ और $\sin C + \cos C$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $\tan A = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{12}$: माना $BC = 5k$, $AB = 12k$; तब $AC = \sqrt{25k^2 + 144k^2} = 13k$ — 1 अंक
2. $5k + 12k + 13k = 60$ से $k = 2$: $BC = 10$ cm, $AB = 24$ cm, $AC = 26$ cm — 1 अंक
3. $\sin C = \frac{AB}{AC} = \frac{12}{13}$, $\cos C = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{13}$, अतः $\sin C + \cos C = \frac{17}{13}$ — 1 अंक

प्रश्न 7 (3 अंक)

सिद्ध कीजिए कि $\frac{1 + \cos A + \sin A}{1 + \cos A - \sin A} = \frac{1 + \sin A}{\cos A}$।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

हम केवल बाएँ पक्ष पर काम करेंगे। इसे $\frac{(1 + \cos A) + \sin A}{(1 + \cos A) - \sin A}$ के रूप में लिखकर अंश और हर को $(1 + \cos A) + \sin A$ से गुणा कीजिए।

हर: $(1 + \cos A)^2 - \sin^2 A = 1 + 2\cos A + \cos^2 A - \sin^2 A$। $1 - \sin^2 A = \cos^2 A$ से यह $2\cos^2 A + 2\cos A = 2\cos A(1 + \cos A)$ है।

अंश: $(1 + \cos A + \sin A)^2 = 1 + \cos^2 A + \sin^2 A + 2\cos A + 2\sin A + 2\sin A\cos A$। $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ से यह $2 + 2\cos A + 2\sin A + 2\sin A\cos A = 2(1 + \cos A) + 2\sin A(1 + \cos A) = 2(1 + \cos A)(1 + \sin A)$ है।

अतः बायाँ पक्ष $= \frac{2(1 + \cos A)(1 + \sin A)}{2\cos A(1 + \cos A)} = \frac{1 + \sin A}{\cos A} =$ दायाँ पक्ष। इति सिद्धम्।

अंक योजना:

1. बाएँ पक्ष के अंश और हर को $(1 + \cos A) + \sin A$ से गुणा कीजिए; हर $= (1 + \cos A)^2 - \sin^2 A = 1 + 2\cos A + \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos A(1 + \cos A)$ — 1 अंक
2. अंश $= (1 + \cos A + \sin A)^2 = 2 + 2\cos A + 2\sin A + 2\sin A\cos A = 2(1 + \cos A)(1 + \sin A)$ — 1 अंक
3. बायाँ पक्ष $= \frac{2(1 + \cos A)(1 + \sin A)}{2\cos A(1 + \cos A)} = \frac{1 + \sin A}{\cos A} =$ दायाँ पक्ष — 1 अंक

प्रश्न 8 (3 अंक)

सिद्ध कीजिए कि $2(\sin^6\theta + \cos^6\theta) - 3(\sin^4\theta + \cos^4\theta) + 1 = 0$।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

माना $a = \sin^2\theta$ और $b = \cos^2\theta$, जिससे $a + b = 1$।

$a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$ से: $\sin^6\theta + \cos^6\theta = 1 - 3\sin^2\theta\cos^2\theta$।

$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$ से: $\sin^4\theta + \cos^4\theta = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta$।

बायाँ पक्ष $= 2(1 - 3\sin^2\theta\cos^2\theta) - 3(1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta) + 1 = 2 - 6\sin^2\theta\cos^2\theta - 3 + 6\sin^2\theta\cos^2\theta + 1 = 0 =$ दायाँ पक्ष।

इति सिद्धम्।

अंक योजना:

1. $\sin^6\theta + \cos^6\theta = (\sin^2\theta + \cos^2\theta)^3 - 3\sin^2\theta\cos^2\theta(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = 1 - 3\sin^2\theta\cos^2\theta$ — 1 अंक
2. $\sin^4\theta + \cos^4\theta = (\sin^2\theta + \cos^2\theta)^2 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta$ — 1 अंक
3. बायाँ पक्ष $= 2 - 6\sin^2\theta\cos^2\theta - 3 + 6\sin^2\theta\cos^2\theta + 1 = 0 =$ दायाँ पक्ष — 1 अंक

प्रश्न 9 (3 अंक)

सिद्ध कीजिए कि $\frac{\cos A}{1 + \sin A} + \tan A = \sec A$।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

बायाँ पक्ष $= \frac{\cos A}{1 + \sin A} + \frac{\sin A}{\cos A}$। उभयनिष्ठ हर $(1 + \sin A)\cos A$ लेने पर:

बायाँ पक्ष $= \frac{\cos^2 A + \sin A + \sin^2 A}{(1 + \sin A)\cos A}$।

क्योंकि $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$, अंश $1 + \sin A$ है। अतः बायाँ पक्ष $= \frac{1 + \sin A}{(1 + \sin A)\cos A} = \frac{1}{\cos A} = \sec A =$ दायाँ पक्ष।

इति सिद्धम्।

अंक योजना:

1. बायाँ पक्ष $= \frac{\cos A}{1 + \sin A} + \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\cos^2 A + \sin A(1 + \sin A)}{(1 + \sin A)\cos A}$ — 1 अंक
2. अंश $= \cos^2 A + \sin^2 A + \sin A = 1 + \sin A$ — 1 अंक
3. बायाँ पक्ष $= \frac{1 + \sin A}{(1 + \sin A)\cos A} = \frac{1}{\cos A} = \sec A =$ दायाँ पक्ष — 1 अंक

प्रश्न 10 (3 अंक)

यदि $\sin\theta - \cos\theta = \frac{1}{2}$ है, जहाँ $\theta$ न्यून कोण है, तो (i) $\sin\theta\cos\theta$, (ii) $\sin\theta + \cos\theta$ और (iii) $\tan\theta + \cot\theta$ के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. (i) वर्ग करने पर $1 - 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4}$, अतः $\sin\theta\cos\theta = \frac{3}{8}$ — 1 अंक
2. (ii) $(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2 \times \frac{3}{8} = \frac{7}{4}$; दोनों धनात्मक हैं, अतः $\sin\theta + \cos\theta = \frac{\sqrt{7}}{2}$ — 1 अंक
3. (iii) $\tan\theta + \cot\theta = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = 1 \div \frac{3}{8} = \frac{8}{3}$ — 1 अंक

दीर्घ उत्तरीय और केस आधारित प्रश्न

प्रश्न 11 (4 अंक)

पुणे की एक फ़र्नीचर दुकान भारी डिब्बों को अपनी डिलीवरी वैन में चढ़ाने के लिए एक लोडिंग रैंप का प्रयोग करती है। आकृति में इसका पार्श्व दृश्य दिखाया गया है। रैंप $AC$, क्षैतिज दूरी $AB = 2.4$ m में $BC = 0.7$ m (वैन के फ़र्श की ऊँचाई) ऊपर उठता है, और भूमि से कोण $\theta$ बनाता है।

(i) रैंप $AC$ की लंबाई ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $AC = \sqrt{2.4^2 + 0.7^2} = \sqrt{5.76 + 0.49} = \sqrt{6.25} = 2.5$ m — 1 अंक

(ii) $\sin\theta$ और $\cos\theta$ ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $\sin\theta = \frac{0.7}{2.5} = \frac{7}{25}$ और $\cos\theta = \frac{2.4}{2.5} = \frac{24}{25}$ — 1 अंक

(iii) $\sec\theta + \tan\theta$ का मान ज्ञात कीजिए, और जाँच कीजिए कि $(\sec\theta + \tan\theta)(\sec\theta - \tan\theta) = 1$। (2 अंक)

उत्तर।

1. $\sec\theta = \frac{25}{24}$, $\tan\theta = \frac{7}{24}$; अतः $\sec\theta + \tan\theta = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}$ — 1 अंक
2. $\sec\theta - \tan\theta = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ और $\frac{4}{3} \times \frac{3}{4} = 1$; सत्यापित — 1 अंक

अथवा

(iii) बाद में वही 2.5 m लंबा रैंप एक ट्रक में सामान चढ़ाने के लिए लगाया जाता है, जिसका फ़र्श भूमि से 1.5 m ऊपर है। यदि रैंप अब भूमि से कोण $\phi$ बनाता है, तो $\tan\phi$ ज्ञात कीजिए और बताइए कि कौन-सा ढाल अधिक है। (2 अंक)

उत्तर।

1. क्षैतिज दूरी $= \sqrt{2.5^2 - 1.5^2} = \sqrt{4} = 2$ m, अतः $\tan\phi = \frac{1.5}{2} = \frac{3}{4}$ — 1 अंक
2. $\tan\theta = \frac{7}{24}$, $\frac{3}{4}$ से कम है, अतः ट्रक पर रैंप हर मीटर क्षैतिज दूरी में अधिक उठता है: वह ढाल अधिक है — 1 अंक

प्रश्न 12 (4 अंक)

तन्वी के ज्यामिति बॉक्स में दो सेट स्क्वायर (गुनिया) हैं, जो आकृति में दिखाए गए हैं। सेट स्क्वायर $ABC$ में $\angle B = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$ और सबसे लंबी भुजा $AC = 12$ cm है। सेट स्क्वायर $PQR$ में $\angle Q = 90^\circ$, $\angle P = 45^\circ$ और सबसे लंबी भुजा $PR = 10$ cm है।

(i) $BC$ की लंबाई ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $\sin 30^\circ = \frac{BC}{AC}$, अतः $BC = 12 \times \frac{1}{2} = 6$ cm — 1 अंक

(ii) $AB$ की लंबाई ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $\cos 30^\circ = \frac{AB}{AC}$, अतः $AB = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ cm — 1 अंक

(iii) $PQ$ और $QR$ की लंबाइयाँ, तथा सेट स्क्वायर $PQR$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. $PQ = PR\cos 45^\circ = 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$ cm और $QR = PR\sin 45^\circ = 5\sqrt{2}$ cm — 1 अंक
2. क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 5\sqrt{2} \times 5\sqrt{2} = 25$ cm$^2$ — 1 अंक

अथवा

(iii) तन्वी सेट स्क्वायर $ABC$ पर $B$ से $AC$ पर लंब $BD$ खींचती है। भाग (ii) से $AB$ लेकर $BD$ और $AD$ ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. समकोण $\triangle ADB$ में, $\angle A = 30^\circ$: $BD = AB\sin 30^\circ = 6\sqrt{3} \times \frac{1}{2} = 3\sqrt{3}$ cm — 1 अंक
2. $AD = AB\cos 30^\circ = 6\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 9$ cm — 1 अंक

प्रश्न 13 (4 अंक)

एक न्यून कोण $\theta$ के लिए दिया है कि $\sec\theta - \tan\theta = \frac{1}{9}$ है। निम्नलिखित के उत्तर दीजिए।

(i) $\sec\theta + \tan\theta$ का मान ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1$ से $(\sec\theta - \tan\theta)(\sec\theta + \tan\theta) = 1$, अतः $\sec\theta + \tan\theta = 9$ — 1 अंक

(ii) $\sec\theta$ और $\tan\theta$ ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. जोड़ने पर: $2\sec\theta = 9 + \frac{1}{9} = \frac{82}{9}$, अतः $\sec\theta = \frac{41}{9}$; घटाने पर: $\tan\theta = \frac{40}{9}$ — 1 अंक

(iii) $\sin\theta$ और $\cos\theta$ ज्ञात कीजिए, और सत्यापित कीजिए कि $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$। (2 अंक)

उत्तर।

1. $\cos\theta = \frac{1}{\sec\theta} = \frac{9}{41}$ और $\sin\theta = \frac{\tan\theta}{\sec\theta} = \frac{40}{9} \times \frac{9}{41} = \frac{40}{41}$ — 1 अंक
2. $\frac{1600}{1681} + \frac{81}{1681} = \frac{1681}{1681} = 1$; सत्यापित — 1 अंक

प्रश्न 14 (4 अंक)

यह प्रश्न न्यून कोण $\theta$ के लिए व्यंजक $\sqrt{\sec^2\theta + \text{cosec}^2\theta}$ के बारे में है।

(i) सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{\sec^2\theta + \text{cosec}^2\theta} = \tan\theta + \cot\theta$, जहाँ $\theta$ एक न्यून कोण है। (2 अंक)

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

बायाँ पक्ष: $\sec^2\theta + \text{cosec}^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta} + \frac{1}{\sin^2\theta} = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin^2\theta\cos^2\theta} = \frac{1}{\sin^2\theta\cos^2\theta}$।

न्यून कोण के लिए $\sin\theta$ और $\cos\theta$ धनात्मक हैं, अतः बायाँ पक्ष $= \sqrt{\frac{1}{\sin^2\theta\cos^2\theta}} = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta}$।

दायाँ पक्ष $= \frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta}$।

बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष। इति सिद्धम्।

अंक योजना:

1. $\sec^2\theta + \text{cosec}^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta} + \frac{1}{\sin^2\theta} = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin^2\theta\cos^2\theta} = \frac{1}{\sin^2\theta\cos^2\theta}$ — 1 अंक
2. अतः बायाँ पक्ष $= \frac{1}{\sin\theta\cos\theta}$; दायाँ पक्ष $= \frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta}$ — 1 अंक

(ii) $\theta = 30^\circ$ के लिए (i) के परिणाम का सत्यापन कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. बायाँ पक्ष $= \sqrt{\frac{4}{3} + 4} = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$; दायाँ पक्ष $= \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} = \frac{4}{\sqrt{3}}$; बराबर — 1 अंक

(iii) यदि $\tan\theta + \cot\theta = 2$ है, तो न्यून कोण $\theta$ ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = 2$ से $(\tan\theta - 1)^2 = 0$, अतः $\tan\theta = 1$ और $\theta = 45^\circ$ — 1 अंक