वृत्त: जीवा, चाप और कोण

वृत्त के ज़रूरी शब्द

किसी एक स्थिर बिंदु से एक तय दूरी पर जितने भी बिंदु हैं, वे सब मिलकर वृत्त बनाते हैं। इस स्थिर बिंदु को वृत्त का केंद्र कहते हैं, और इसका नाम प्रायः $O$ रखा जाता है। तय दूरी को त्रिज्या कहते हैं, जिसे $r$ लिखते हैं।

वृत्त वाले प्रश्न गिने-चुने शब्दों पर ही टिके होते हैं। इसलिए सबसे पहले ये शब्द पक्के कर लीजिए।

• जीवा (chord) वृत्त के दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड है, जैसे $AB$। जो जीवा केंद्र से होकर जाती है, उसे व्यास कहते हैं, और इसकी लंबाई $CD = 2r$ होती है। व्यास वृत्त की सबसे लंबी जीवा है।
• चाप वृत्त के दो बिंदुओं के बीच वृत्त का एक टुकड़ा है। कोई भी जीवा वृत्त को दो भागों में बाँट देती है। छोटे भाग को लघु चाप (minor arc) और बड़े भाग को दीर्घ चाप (major arc) कहते हैं। व्यास वृत्त को दो अर्धवृत्तों में बाँटता है।
• वृत्तखंड (segment) जीवा और उसके एक चाप के बीच का क्षेत्र है। हर जीवा से एक लघु वृत्तखंड और एक दीर्घ वृत्तखंड बनता है। यह शब्द आगे "एक ही वृत्तखंड के कोण" (angles in the same segment) वाले नियम में फिर आएगा।
• त्रिज्यखंड (sector) दो त्रिज्याओं और उनके बीच कटे चाप से घिरा क्षेत्र है।
• छेदक रेखा (secant) वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है। स्पर्शरेखा (tangent) वृत्त को ठीक एक बिंदु पर छूती है। स्पर्शरेखाओं को "वृत्त: स्पर्शरेखा, छेदक रेखा और दो वृत्त" वाले खंड में अलग से पढ़ेंगे।
• जिन वृत्तों का केंद्र एक ही हो, वे संकेंद्रीय वृत्त कहलाते हैं। जिनकी त्रिज्याएँ बराबर हों, वे सर्वांगसम वृत्त हैं। और जो बिंदु एक ही वृत्त पर पड़ते हों, उन्हें चक्रीय बिंदु (concyclic) कहते हैं।

डिग्री में चाप: किसी चाप की डिग्री-माप वही होती है, जो कोण वह केंद्र पर बनाता है। जैसे $\angle AOB = 100^\circ$ हो, तो लघु चाप $AB$ = 100° है, और दीर्घ चाप = 360° − 100° = 260° है। इस खंड में आगे कोणों के जितने भी नियम आएँगे, वे सब असल में चापों की ही बात करते हैं, इसलिए यह बात ध्यान में रखिए।

कितने वृत्त बन सकते हैं: एक बिंदु से होकर, या दो बिंदुओं से होकर, अनगिनत वृत्त खींचे जा सकते हैं। दो बिंदु हों, तो उन्हें मिलाने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक पर कोई भी बिंदु केंद्र बन सकता है। तीन बिंदु एक रेखा पर न हों, तो उनसे होकर ठीक एक वृत्त जाता है। तीनों एक ही रेखा पर हों, तो कोई वृत्त नहीं बनता। दो अलग-अलग वृत्त अधिक से अधिक दो बिंदुओं पर मिल सकते हैं। SSC में इन्हीं बातों से "कौन-सा कथन सत्य है" वाले एक अंक के प्रश्न आते हैं।

केंद्र ढूँढना: हर जीवा का लंब समद्विभाजक केंद्र से होकर जाता है। इसलिए ऐसी दो जीवाएँ लीजिए जो आपस में समांतर न हों। उनके लंब समद्विभाजक ठीक $O$ पर मिलेंगे।

[SSC टिप] "सबसे लंबी जीवा" का मतलब हमेशा व्यास है। त्रिज्या 7 सेमी हो, तो कोई भी जीवा 14 सेमी से लंबी नहीं हो सकती। ऐसे में जीवा के लिए 15 सेमी वाला विकल्प दिखे, तो उसे तुरंत हटा दीजिए।

केंद्र से लंब जीवा को समद्विभाजित करे

जीवा वाले लगभग हर प्रश्न की जड़ यही एक नियम है। केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को दो बराबर भागों में बाँटता है। इसका उलटा भी सही है। केंद्र से जीवा के मध्य-बिंदु तक खींची गई रेखा जीवा पर लंब होती है।

इसे समझने के लिए त्रिभुज $OMA$ और $OMB$ लीजिए। इनमें $OA = OB$ है, क्योंकि दोनों त्रिज्याएँ हैं। $OM$ दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है, और $M$ पर दोनों कोण 90° के हैं। तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम (RHS) हैं, इसलिए $AM = MB$।

अब समकोण त्रिभुज $OMA$ देखिए, जिसका समकोण $M$ पर है। मान लीजिए $r$ त्रिज्या है, $d = OM$ केंद्र से जीवा की दूरी है, और $l$ जीवा की लंबाई है। पाइथागोरस से

$$r^2 = d^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2 \qquad\text{अतः}\qquad l = 2\sqrt{r^2 - d^2}$$

मतलब $r$, $d$ और $l$ में से कोई भी दो पता हों, तो तीसरा निकल आता है। कुछ उदाहरण देखिए।

• त्रिज्या 13 सेमी और जीवा 24 सेमी है। आधी जीवा 12 हुई, तो केंद्र से दूरी $d = \sqrt{169 - 144} = 5$ सेमी है।
• त्रिज्या 10 सेमी है और जीवा केंद्र से 6 सेमी दूर है। आधी जीवा $\sqrt{100 - 36} = 8$ हुई, तो जीवा 16 सेमी है।
• जीवा 70 सेमी है और केंद्र से 12 सेमी दूर है। आधी जीवा 35 हुई, तो $r = \sqrt{1225 + 144} = 37$ सेमी।
• त्रिज्या 7 सेमी और दूरी 3 सेमी है। तब $l = 2\sqrt{49 - 9} = 2\sqrt{40} = 4\sqrt{10}$ सेमी। उत्तर हर बार पूर्ण संख्या में ही आए, यह ज़रूरी नहीं।

एक बिंदु से होकर सबसे लंबी और सबसे छोटी जीवा: वृत्त के अंदर कोई बिंदु $P$ लीजिए। $P$ से होकर जाने वाली सबसे लंबी जीवा वह व्यास है जो इसी बिंदु से होकर जाता है, यानी $2r$। सबसे छोटी जीवा वह है जो $OP$ पर लंब हो। वजह यह है कि $P$ से होकर जाने वाली कोई भी जीवा केंद्र से $OP$ से अधिक दूर नहीं हो सकती। इस सबसे छोटी जीवा की लंबाई $2\sqrt{r^2 - OP^2}$ होती है। जैसे $r = 5$ सेमी और $OP = 3$ सेमी हो, तो $P$ से होकर जाने वाली जीवाएँ 8 सेमी से 10 सेमी तक की होंगी।

[SSC टिप] पाइथागोरस में आधी जीवा रखी जाती है, इसलिए उससे जीवा निकालें तो अंत में दोगुना करना न भूलिए। विकल्पों में दो गलत उत्तर अक्सर मिलते हैं। एक तो आधी जीवा ही, जैसे 24 की जगह 12। दूसरा वह मान, जो सूत्र में पूरी जीवा रख देने से आता है।

बराबर जीवाएँ, बराबर दूरियाँ, बराबर कोण

$l = 2\sqrt{r^2 - d^2}$ से एक साथ तीन बातें निकलती हैं।

1. बराबर जीवाएँ केंद्र से बराबर दूरी पर होती हैं। और केंद्र से बराबर दूरी वाली जीवाएँ भी बराबर होती हैं।
2. जो जीवा केंद्र के अधिक पास हो, वह अधिक लंबी होती है। $d$ बढ़ने पर $r^2 - d^2$ घटता है, और जीवा भी छोटी होती जाती है।
3. बराबर जीवाएँ केंद्र पर बराबर कोण बनाती हैं, और उनके चाप भी बराबर होते हैं। यह उलटी ओर से भी चलता है। केंद्र पर कोण बराबर हों, या चाप बराबर हों, तो जीवाएँ भी बराबर होंगी।

तीसरी बात सर्वांगसम त्रिभुजों से समझ में आती है। $AB = CD$ हो, तो त्रिभुज $OAB$ और $OCD$ की तीनों भुजाएँ बराबर हैं (SSS)। इसलिए $\angle AOB = \angle COD$।

कुछ ख़ास कोणों पर जीवा: त्रिभुज $OAB$ समद्विबाहु है, क्योंकि उसकी दो भुजाएँ $r$ के बराबर हैं। इसलिए केंद्र पर कोण पता हो, तो जीवा पूरी तरह तय हो जाती है।

SSC में सबसे ज़्यादा पहली पंक्ति ही पूछी जाती है। त्रिज्या के बराबर जीवा केंद्र पर 60° बनाती है। कारण यह है कि तब त्रिभुज $OAB$ समबाहु हो जाता है।

90° वाली पंक्ति में असल में आधा वर्ग बनता है, और जीवा एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का कर्ण होती है। 120° वाली पंक्ति में दो 30°-60°-90° त्रिभुज बनते हैं। केंद्र से दूरी 30° के सामने वाली भुजा है, इसलिए वह $r$ की आधी होती है।

जैसे 9 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में जो जीवा केंद्र पर 120° बनाए, उसकी लंबाई $9\sqrt{3}$ सेमी है, और वह केंद्र से 4.5 सेमी दूर है। अब उलटा देखिए। त्रिज्या 6 सेमी और जीवा $6\sqrt{2}$ सेमी हो, तो जीवा केंद्र पर समकोण बनाती है, क्योंकि $6^2 + 6^2 = (6\sqrt{2})^2$।

[SSC टिप] "त्रिज्या के बराबर जीवा" पढ़ते ही "केंद्र पर 60°" याद आ जाना चाहिए। तब यह जीवा दीर्घ चाप के किसी बिंदु पर 30° बनाती है, और लघु चाप के बिंदु पर 150°। ऐसा क्यों होता है, यह आगे देखेंगे। CGL के पेपरों में यह जोड़ी बार-बार पूछी गई है।

दो समांतर जीवाएँ

दो जीवाएँ समांतर हों, तो $O$ से एक जीवा पर डाला गया लंब दूसरी जीवा पर भी लंब होता है। मतलब केंद्र से दोनों जीवाओं की दूरियाँ एक ही रेखा पर नापी जाती हैं, और यह रेखा केंद्र से होकर जाती है। इसलिए जीवाओं के बीच की दूरी या तो इन दोनों दूरियों का अंतर होती है, या योग।

$$\text{केंद्र } O\text{ के एक ही ओर: बीच की दूरी} = d_1 - d_2 \qquad \text{विपरीत ओर: बीच की दूरी} = d_1 + d_2$$

यहाँ $d_1$ बड़ी दूरी है, और बड़ी दूरी छोटी जीवा की होती है।

जीवाओं से उनके बीच की दूरी: मान लीजिए त्रिज्या 25 सेमी है, और 48 सेमी व 14 सेमी की दो जीवाएँ समांतर हैं। केंद्र से इनकी दूरियाँ $\sqrt{625 - 576} = 7$ सेमी और $\sqrt{625 - 49} = 24$ सेमी हैं। दोनों जीवाएँ केंद्र के एक ही ओर हों, तो उनके बीच 24 − 7 = 17 सेमी का फ़ासला होगा। विपरीत ओर हों, तो 24 + 7 = 31 सेमी का।

बीच की दूरी से त्रिज्या निकालना: अब उलटा प्रश्न लीजिए। 10 सेमी और 24 सेमी की दो जीवाएँ केंद्र के विपरीत ओर हैं, और उनके बीच 17 सेमी का फ़ासला है। मान लीजिए 10 सेमी वाली जीवा $O$ से $x$ सेमी दूर है। तब दूसरी जीवा $17 - x$ सेमी दूर होगी। अब दोनों जीवाओं से $r^2$ लिखकर बराबर रख दीजिए।

$$25 + x^2 = 144 + (17 - x)^2 \;\Rightarrow\; 25 = 144 + 289 - 34x \;\Rightarrow\; x = 12$$

तो $r^2 = 25 + 144 = 169$, यानी $r = 13$ सेमी। जाँच भी कर लीजिए। 24 सेमी वाली जीवा $O$ से $\sqrt{169 - 144} = 5$ सेमी दूर है, और 12 + 5 = 17।

जीवाएँ केंद्र के एक ही ओर हों, तो दूरियाँ $x$ और $x + \text{बीच की दूरी}$ लीजिए। ध्यान रहे, छोटी जीवा ज़्यादा दूर होती है। हल करने पर कोई दूरी ऋणात्मक आए, तो समझिए कि जीवाएँ उस तरह रखी ही नहीं जा सकतीं। तब दूसरी स्थिति लीजिए।

कभी प्रश्न में केवल "समांतर जीवाएँ" लिखा होता है, यह नहीं बताया जाता कि वे केंद्र के किस ओर हैं। तब दोनों फ़ासले निकाल लीजिए। प्रायः इनमें से एक ही विकल्पों में मिलता है। दोनों ही विकल्पों में दिख जाएँ, तो प्रश्न दोबारा पढ़िए कि "एक ही ओर" लिखा है या "विपरीत ओर"।

जल्दी से जाँचना हो, तो याद रखिए कि लंबी जीवा हमेशा केंद्र के ज़्यादा पास होती है।

प्रतिच्छेद करने वाले दो वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा

मान लीजिए दो वृत्त एक-दूसरे को $A$ और $B$ पर काटते हैं। तब रेखाखंड $AB$ इन दोनों की उभयनिष्ठ जीवा (common chord) कहलाता है।

यहाँ सबसे काम का नियम यह है। दोनों केंद्रों को मिलाने वाली रेखा उभयनिष्ठ जीवा का लंब समद्विभाजक होती है। कारण सीधा है। हर केंद्र $A$ और $B$ से बराबर दूरी पर है, और $A$ व $B$ से बराबर दूरी वाले सारे बिंदु $AB$ के लंब समद्विभाजक पर ही होते हैं। तो दोनों केंद्र उसी रेखा पर हैं।

इसलिए केंद्रों वाली रेखा $O_1O_2$ उभयनिष्ठ जीवा को उसके मध्य-बिंदु $M$ पर समकोण पर काटती है। अब आधी जीवा $h = AM$ एक साथ दो समकोण त्रिभुजों की भुजा है।

$$r_1^2 = O_1M^2 + h^2 \qquad r_2^2 = O_2M^2 + h^2$$

प्रायः $M$ दोनों केंद्रों के बीच होता है। तब $O_1O_2 = O_1M + O_2M$।

उभयनिष्ठ जीवा निकालना: मान लीजिए त्रिज्याएँ 10 सेमी और 17 सेमी हैं, और केंद्रों के बीच 21 सेमी की दूरी है। $O_1M = x$ लेते हैं, तो $O_2M = 21 - x$ होगा। अब दोनों त्रिभुजों से $h^2$ लिखकर बराबर रखते हैं।

$$100 - x^2 = 289 - (21 - x)^2 \;\Rightarrow\; 100 = 289 - 441 + 42x \;\Rightarrow\; x = 6$$

तो $h = \sqrt{100 - 36} = 8$, और उभयनिष्ठ जीवा 16 सेमी है। दूसरी ओर से भी जाँच लीजिए। $O_2M = 15$ है, और $\sqrt{289 - 225} = 8$ ही आता है।

केंद्रों के बीच की दूरी निकालना: यह उलटा प्रश्न और भी जल्दी हो जाता है। उभयनिष्ठ जीवा और दोनों त्रिज्याएँ पता हों, तो पाइथागोरस से $O_1M$ और $O_2M$ निकालिए, और दोनों को जोड़ दीजिए। अगर प्रश्न में दोनों केंद्र जीवा के एक ही ओर हों, तो जोड़ने की जगह घटाइए।

एक-दूसरे के केंद्र से होकर जाने वाले दो बराबर वृत्त: यहाँ $O_1A = O_2A = O_1O_2 = r$ है, तो त्रिभुज $O_1AO_2$ समबाहु है। इसलिए $h = \frac{\sqrt{3}}{2}r$, और उभयनिष्ठ जीवा $r\sqrt{3}$ है।

एक और ख़ास स्थिति देखिए। कभी दोनों त्रिज्याएँ और केंद्रों के बीच की दूरी मिलकर पाइथागोरस त्रिक बनाती हैं, जैसे 6, 8 और 10। तब दोनों त्रिज्याएँ $A$ पर समकोण पर मिलती हैं, और $h$ बस उस समकोण त्रिभुज का शीर्षलंब होता है। यह शीर्षलंब दोनों त्रिज्याओं के गुणनफल को केंद्रों के बीच की दूरी से भाग देने पर मिलता है, $h = \frac{r_1 r_2}{d} = \frac{48}{10} = 4.8$, और उभयनिष्ठ जीवा 9.6 है।

केंद्र पर कोण = वृत्त पर कोण का दोगुना

कोई चाप केंद्र पर जो कोण बनाता है, वह उस कोण का दोगुना होता है जो यही चाप वृत्त के बाकी भाग के किसी भी बिंदु पर बनाता है। जैसे जीवा $AB$ हो और दीर्घ चाप पर बिंदु $C$ हो, तो $\angle AOB = 2\angle ACB$।

इसका प्रमाण छोटा-सा है। $CO$ को मिलाकर आगे बढ़ाइए। त्रिभुज $OAC$ और $OBC$ दोनों समद्विबाहु हैं, क्योंकि हर एक में दो भुजाएँ त्रिज्याएँ हैं। हर त्रिभुज का $O$ पर बना बाह्य कोण उसके आधार-कोण का दोगुना होता है। दोनों भाग जोड़ दें, तो $\angle AOB = 2\angle ACB$ आ जाता है।

उदाहरण के लिए, $\angle AOB = 100^\circ$ हो तो $\angle ACB = 50^\circ$। और $\angle ACB = 35^\circ$ हो तो $\angle AOB = 70^\circ$।

लघु चाप पर बिंदु: अब बिंदु $D$ लघु चाप पर लीजिए। यह बिंदु दीर्घ चाप की ओर "देखता" है। दीर्घ चाप केंद्र पर प्रतिवर्ती कोण (reflex angle) $360^\circ - \angle AOB$ बनाता है, और $D$ पर कोण इसका आधा होता है।

$$\angle ADB = \frac{360^\circ - \angle AOB}{2} = 180^\circ - \angle ACB$$

जैसे $\angle AOB = 100^\circ$ हो, तो $\angle ADB = 130^\circ$। उलटा भी चलता है। लघु चाप वाले इसी बिंदु पर $\angle ADB = 115^\circ$ हो, तो केंद्र पर प्रतिवर्ती कोण 230° होगा, इसलिए $\angle AOB = 130^\circ$।

त्रिज्याओं से बना समद्विबाहु त्रिभुज: त्रिभुज $OAB$ में $OA = OB$ है, इसलिए

$$\angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - \angle AOB}{2} = 90^\circ - \angle ACB$$

जैसे $\angle ACB = 40^\circ$ हो, तो $\angle AOB = 80^\circ$ और $\angle OAB = 50^\circ$। जीवा पर बने आधार-कोण और वृत्त पर बने कोण का यह संबंध याद रखिए। कोण निकालने वाले बहुत-से प्रश्न इससे छोटे हो जाते हैं।

[SSC टिप] आधा करने से पहले देख लीजिए कि बिंदु किस चाप पर है। बिंदु दीर्घ चाप पर हो, यानी जीवा के उसी ओर जिधर केंद्र है, तो $\angle AOB$ का आधा लीजिए। लघु चाप पर हो, तो 180° में से वह आधा घटाइए। दोनों में से जो गलत मान है, वह भी विकल्पों में हमेशा दिया होता है।

एक ही वृत्तखंड के कोण, अर्धवृत्त का कोण

एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं। जैसे जीवा $AB$ के दीर्घ चाप पर $C$ और $D$ दोनों हों, तो $\angle ACB = \angle ADB$, क्योंकि दोनों ही $\angle AOB$ के आधे हैं। लघु चाप पर लिए गए दो बिंदु भी $AB$ को बराबर कोण पर देखते हैं। मतलब एक चाप पर कितने भी बिंदु लीजिए, सब जीवा को एक ही कोण पर देखते हैं।

सम्मुख वृत्तखंडों के कोणों का योग 180° होता है। दोनों चापों पर एक-एक बिंदु लें, तो कोण $x$ और $180^\circ - x$ आते हैं, जैसा पिछले भाग में देखा। यही चक्रीय चतुर्भुज (cyclic quadrilateral) वाला नियम है, बस दूसरे रूप में।

अर्धवृत्त का कोण समकोण होता है। $AB$ व्यास हो, तो $\angle AOB$ 180° का ऋजु कोण है। इसलिए वृत्त के हर बिंदु $C$ पर $\angle ACB = 90^\circ$ होता है।

इसका उलटा भी उतने ही काम का है। वृत्त पर $C$ ऐसा हो कि $\angle ACB = 90^\circ$, तो $AB$ व्यास है। यानी वृत्त में बने समकोण त्रिभुज का कर्ण व्यास होता है, और त्रिज्या कर्ण की आधी होती है।

• $AB$ व्यास है, $AC = 9$ सेमी और $BC = 12$ सेमी। तो $AB = \sqrt{81 + 144} = 15$ सेमी, और त्रिज्या 7.5 सेमी है।
• $AB$ व्यास है और $\angle CAB = 25^\circ$। तो $\angle ABC = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$।

बराबर जीवाएँ, वृत्त पर बराबर कोण: बराबर जीवाएँ केंद्र पर बराबर कोण बनाती हैं। इसलिए वृत्त के बिंदुओं पर भी वे बराबर कोण बनाती हैं, क्योंकि ये कोण उन बराबर कोणों के आधे हैं। जैसे $AB = BC$ हो, और $D$ उस चाप $AC$ पर हो जिस पर $B$ नहीं है। तब $\angle ADB = \angle BDC$, यानी रेखा $DB$, $\angle ADC$ को दो बराबर भागों में बाँटती है।

व्यास दिखते ही वृत्त का जो भी बिंदु उसके दोनों सिरों से मिला हो, वहाँ 90° का निशान लगा दीजिए। अर्धवृत्त वाले ज़्यादातर प्रश्नों में इसके बाद बस एक कदम बचता है, या तो पाइथागोरस का, या कोणों के योग का।

चक्रीय चतुर्भुज

जिस चतुर्भुज के चारों शीर्ष एक ही वृत्त पर हों, उसे चक्रीय चतुर्भुज कहते हैं। इसका सबसे ज़रूरी गुण यह है कि इसके सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।

$$\angle A + \angle C = 180^\circ \qquad \angle B + \angle D = 180^\circ$$

ऐसा इसलिए है कि $\angle A$ चाप $BCD$ का आधा है, और $\angle C$ चाप $BAD$ का आधा। ये दोनों चाप मिलकर पूरा वृत्त, यानी 360°, बनाते हैं। इसलिए दोनों कोणों का योग 180° होता है। इसका उलटा भी सच है। किसी चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° हो, तो उसके शीर्ष एक वृत्त पर होते हैं।

बाह्य कोण: $AB$ को $B$ से आगे $E$ तक बढ़ाइए। तब $\angle CBE = 180^\circ - \angle ABC = \angle ADC$। मतलब चक्रीय चतुर्भुज का बाह्य कोण अंतः अभिमुख कोण के बराबर होता है।

कुछ आम हिसाब:

• $\angle A = 3\angle C$ दिया हो, तो $4\angle C = 180^\circ$, यानी $\angle C = 45^\circ$ और $\angle A = 135^\circ$।
• केंद्र भी साथ में हो, जैसे $A$ दीर्घ चाप $BD$ पर है और $\angle BOD = 150^\circ$। तब $\angle BAD = 75^\circ$ और $\angle BCD = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$।

कौन-सी आकृतियाँ चक्रीय हो सकती हैं:

• आयत और वर्ग हमेशा चक्रीय होते हैं।
• समांतर चतुर्भुज तभी, जब वह आयत हो। उसके सम्मुख कोण बराबर होते हैं, और उनका योग 180° होना चाहिए, इसलिए हर कोण 90° का होगा।
• समचतुर्भुज तभी, जब वह वर्ग हो।
• समलंब चतुर्भुज तभी, जब वह समद्विबाहु हो, यानी उसकी असमांतर भुजाएँ बराबर हों। चक्रीय समलंब चतुर्भुज के आधार-कोण बराबर होते हैं, और विकर्ण भी।
• पतंग तभी, जब उसके दोनों बराबर कोण समकोण हों।

[Tier 2] टॉलेमी प्रमेय: टॉलेमी प्रमेय (Ptolemy's theorem) के अनुसार चक्रीय चतुर्भुज में विकर्णों का गुणनफल सम्मुख भुजाओं के गुणनफलों के योग के बराबर होता है। यानी $AC \times BD = AB \times CD + AD \times BC$। जैसे 3 सेमी और 4 सेमी भुजाओं वाले आयत में $5 \times 5 = 3 \times 3 + 4 \times 4$ होता है।

वृत्त पर चार बिंदुओं से चतुर्भुज बनते ही सबसे पहले 180° वाले दोनों समीकरण लिख लीजिए। "कोण ज्ञात कीजिए" वाले बहुत-से प्रश्न बस इन दो पंक्तियों और बाह्य कोण वाले नियम से हल हो जाते हैं।

वृत्त में कोण-खोज

कोण वाले ज़्यादातर प्रश्नों में इन छह युक्तियों में से तीन या चार एक साथ लगती हैं।

1. त्रिज्याएँ बराबर होती हैं। इसलिए जिस त्रिभुज की दो भुजाएँ त्रिज्याएँ हों, वह समद्विबाहु होता है।
2. केंद्र पर कोण = 2 × वृत्त पर कोण, जब दोनों एक ही चाप पर टिके हों।
3. एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं।
4. अर्धवृत्त का कोण 90° होता है।
5. चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
6. त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है, और बाह्य कोण दोनों दूर वाले अंतः कोणों के योग के बराबर होता है।

एक प्रश्न हल करके देखिए: मान लीजिए $AB$ केंद्र $O$ वाले वृत्त का व्यास है। वृत्त पर बिंदु $C$ ऐसा है कि $\angle BOC = 70^\circ$। $D$ उस चाप $AC$ पर है जिस पर $B$ नहीं है। हमें $\angle ADC$ निकालना है।

• पहले $\angle BAC = \frac{1}{2}\angle BOC = 35^\circ$ निकालिए (युक्ति 2)।
• अर्धवृत्त का कोण होने से $\angle ACB = 90^\circ$ है (युक्ति 4)। तो त्रिभुज के कोणों के योग से $\angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ (युक्ति 6)।
• $ABCD$ चक्रीय चतुर्भुज है, इसलिए $\angle ADC = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$ (युक्ति 5)।

दूसरे रास्ते से भी यही मान आता है। त्रिभुज $OBC$ समद्विबाहु है (युक्ति 1), तो $\angle OBC = \frac{180^\circ - 70^\circ}{2} = 55^\circ$। फिर युक्ति 5 लगाइए। दो रास्तों से एक ही मान आ जाए, तो यह अपने-आप में अच्छी जाँच है।

अनुपात में दिए चाप: अगर $A$, $B$ और $C$ वृत्त को 1 : 2 : 3 के अनुपात वाले चापों में बाँटें, तो चाप 60°, 120° और 180° के होंगे। त्रिभुज $ABC$ का हर कोण अपने सामने वाले चाप का आधा होता है, यानी उस चाप का जिस पर वह शीर्ष नहीं है। तो कोण 30°, 60° और 90° हुए। ध्यान दीजिए, कोण भी चापों वाले अनुपात में ही आए। इससे काम की जाँच हो जाती है।

समद्विबाहु त्रिभुज पहचानना: जहाँ भी $O$ से निकले दो रेखाखंड वृत्त पर ख़त्म होते दिखें, वहीं दोनों बराबर आधार-कोणों का निशान लगा दीजिए। चित्र में तीन या चार त्रिज्याएँ खिंची हों, तो प्रायः ऐसे दो या तीन त्रिभुज होते हैं, और उत्तर उनके कोणों के योग से निकल आता है।

कच्चे चित्र पर हर दिया हुआ कोण लिख लीजिए। कोई नया कोण मिले, तो उसे भी तुरंत चित्र पर लिखिए। और "केंद्रीय कोण का आधा" लगाने से पहले जाँच लीजिए कि बिंदु और केंद्र जीवा के एक ही ओर हैं या नहीं।

अंदर कटती जीवाएँ: $PA \times PB = PC \times PD$

मान लीजिए जीवाएँ $AB$ और $CD$ वृत्त के अंदर एक बिंदु $P$ पर एक-दूसरे को काटती हैं। तब दोनों जीवाओं के टुकड़ों के गुणनफल बराबर होते हैं।

$$PA \times PB = PC \times PD$$

यह नियम समरूप त्रिभुजों से निकलता है। $AC$ और $DB$ को मिलाइए। त्रिभुज $PAC$ और $PDB$ में $P$ पर बने कोण शीर्षाभिमुख हैं। और $\angle CAB = \angle CDB$, क्योंकि दोनों एक ही वृत्तखंड के कोण हैं और जीवा $CB$ पर टिके हैं। तो दोनों त्रिभुज समरूप हैं, और $\frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB}$। तिरछा गुणा करते ही यही नियम मिल जाता है।

• $PA = 9$, $PB = 2$ और $PC = 3$ हो, तो $PD = \frac{18}{3} = 6$, और $CD = 9$।
• कभी $PD$ की जगह पूरी जीवा $CD$ दी होती है। तब एक योग और एक गुणनफल पता होता है। जैसे $PA \times PB = 18$ और $CD = 11$ है। अब $CD$ के टुकड़े वे दो संख्याएँ हैं जिनका गुणनफल 18 और योग 11 है, यानी 2 और 9।

जीवा पर समकोण बनाता व्यास: अगर व्यास $AB$, जीवा $CD$ को $P$ पर समकोण पर काटे, तो $P$, $CD$ का मध्य-बिंदु होगा, यानी $PC = PD$। इसलिए

$$PC^2 = PA \times PB$$

जैसे $PA = 1$ और $PB = 9$ हो, तो $PC = 3$, जीवा 6, और त्रिज्या $\frac{1 + 9}{2} = 5$।

गुणनफल सीधे सूत्र से: $P$ से होकर जाने वाली हर जीवा के दोनों टुकड़ों का गुणनफल $r^2 - OP^2$ होता है। यह $P$ से होकर जाने वाले व्यास से तुरंत दिख जाता है, जिसके टुकड़े $r - OP$ और $r + OP$ हैं। जैसे त्रिज्या 10 और $OP = 6$ हो, तो $P$ से होकर जाने वाली हर जीवा के दोनों टुकड़ों का गुणनफल 64 होगा।

[Tier 2] परस्पर लंब जीवाएँ: अगर दोनों जीवाएँ बिंदु $P$ पर एक-दूसरे को समकोण पर काटें, यानी $AB \perp CD$, तो

$$PA^2 + PB^2 + PC^2 + PD^2 = 4r^2$$

उदाहरण के लिए $PA = 4$, $PB = 6$, $PC = 3$ और $PD = 8$ लीजिए। यहाँ $4 \times 6 = 3 \times 8$ भी है, इसलिए ये चारों टुकड़े एक ही वृत्त में हो सकते हैं। चारों के वर्गों का योग 125 है, तो $r^2 = \frac{125}{4}$ और $r = \frac{5\sqrt{5}}{2}$।

जीवाओं को बढ़ाने पर वे वृत्त के बाहर भी मिल सकती हैं। तब भी हर रेखा पर ऐसा ही गुणनफल वाला नियम लगता है। यह स्थिति छेदक रेखाओं और स्पर्शरेखाओं के साथ "वृत्त: स्पर्शरेखा, छेदक रेखा और दो वृत्त" वाले खंड में पढ़ेंगे।

गुणा करते समय हमेशा एक ही जीवा के दोनों टुकड़े साथ लीजिए, $PA$ के साथ $PB$, और $PC$ के साथ $PD$। गलत विकल्प प्रायः वही होता है जो भूल से $PA \times PC$ गुणा करने पर आता है।

[Tier 2] दो जीवाओं के बीच का कोण: अंदर और बाहर

यहाँ चाप को डिग्री में लेंगे, यानी केंद्र पर बने कोण से नापेंगे।

अंदर मिलती जीवाएँ: जीवाएँ $AB$ और $CD$ वृत्त के अंदर $P$ पर कटें, तो

$$\angle APC = \frac{1}{2}\left(\text{चाप } AC + \text{चाप } BD\right)$$

यहाँ चाप $AC$ वह है जो इस कोण के सामने पड़ता है, और चाप $BD$ वह जो इसके शीर्षाभिमुख कोण के सामने पड़ता है। कारण यह है कि $\angle APC$ त्रिभुज $PBC$ का $P$ पर बना बाह्य कोण है। इसलिए यह $\angle ABC + \angle DCB$ के बराबर है। वृत्त पर बने इन दो कोणों में पहला चाप $AC$ का आधा है, और दूसरा चाप $BD$ का आधा।

बाहर मिलती जीवाएँ: अब जीवाएँ $AB$ और $CD$ बढ़ाने पर वृत्त के बाहर $P$ पर मिलें, और $A$ व $C$ वे बिंदु हों जो $P$ के पास हैं। तब

$$\angle BPD = \frac{1}{2}\left(\text{चाप } BD - \text{चाप } AC\right)$$

मतलब दूर वाले चाप में से पास वाला चाप घटाइए, और जो बचे उसका आधा लीजिए। इसे देखने के लिए त्रिभुज $PAD$ में $A$ पर बना बाह्य कोण लीजिए। $\angle BAD = \angle APD + \angle ADP$, तो $\angle P = \angle BAD - \angle ADC$। यानी चाप $BD$ के आधे में से चाप $AC$ का आधा घट जाता है।

• अंदर वाली स्थिति में चाप $AC = 110^\circ$ और चाप $BD = 50^\circ$ हो, तो $\angle APC = 80^\circ$। $P$ पर बना दूसरा कोण, $\angle APD$, $100^\circ$ है।
• बाहर वाली स्थिति में दूर का चाप $130^\circ$ और पास का चाप $30^\circ$ हो, तो $\angle P = 50^\circ$।

"जीवाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए" वाले प्रश्न इन्हीं से हल हो जाते हैं, कोई नई रेखा खींचनी नहीं पड़ती। "अंतर का आधा" वाला यही विचार दो स्पर्शरेखाओं के बीच के कोण में, और स्पर्शरेखा व छेदक रेखा के बीच के कोण में भी लगता है। वह अगले खंड में आएगा।

इसे ऐसे याद रखिए। अंदर हो तो जोड़, बाहर हो तो घटाव, और दोनों में फिर आधा। पूरा योग या पूरा अंतर वाला विकल्प उन छात्रों के लिए रखा जाता है जो आधा करना भूल जाते हैं।

वृत्त में अंतर्निहित त्रिभुज

हर त्रिभुज के तीनों शीर्षों से होकर ठीक एक वृत्त जाता है। इसे त्रिभुज का परिवृत्त (circumcircle) कहते हैं। इसका केंद्र और सूत्र $R = \frac{abc}{4\Delta}$ "त्रिभुज के केंद्र" वाले खंड में दिए गए हैं। यहाँ वृत्त के नियमों से निकलने वाले वे शॉर्टकट देखेंगे जो SSC में काम आते हैं।

समकोण त्रिभुज: कर्ण ही व्यास होता है, क्योंकि अर्धवृत्त का कोण समकोण है। इसलिए $R = \frac{\text{कर्ण}}{2}$।

समबाहु त्रिभुज: हर भुजा केंद्र पर 120° बनाती है। तो जीवा वाली तालिका से भुजा $a = R\sqrt{3}$ आती है, यानी $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$। हर भुजा केंद्र से $\frac{R}{2}$ दूर होती है। जैसे 6 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में समबाहु त्रिभुज की भुजा $6\sqrt{3}$ सेमी होगी।

समद्विबाहु त्रिभुज: मान लीजिए $AB = AC = b$ है, और आधार $BC$ पर ऊँचाई $AD = h$ है। यह ऊँचाई जीवा $BC$ का लंब समद्विभाजक है, इसलिए केंद्र से होकर जाती है। इसे बढ़ाकर व्यास $AE$ बना लीजिए। अर्धवृत्त का कोण होने से $\angle ABE = 90^\circ$ है। अब समकोण त्रिभुज $ABE$ में $BD \perp AE$, तो $AB^2 = AD \times AE$, यानी $b^2 = h \times 2R$। इससे यह सूत्र मिलता है।

$$R = \frac{b^2}{2h}$$

जैसे $AB = AC = 15$ सेमी और $BC = 18$ सेमी हो, तो $h = \sqrt{225 - 81} = 12$, और $R = \frac{225}{24} = \frac{75}{8}$ सेमी। सामान्य सूत्र से जाँचें, तो भी यही आता है, $\frac{15 \times 15 \times 18}{4 \times 108} = \frac{75}{8}$।

उलटा प्रश्न: अब मान लीजिए $R$ और आधार $BC$ दिए हैं। पहले केंद्र से $BC$ की दूरी निकालिए, $d = \sqrt{R^2 - \left(\frac{BC}{2}\right)^2}$। शीर्ष दीर्घ चाप पर हो, तो $h = R + d$, और लघु चाप पर हो, तो $h = R - d$। फिर $AB = \sqrt{h^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2}$ से भुजा निकाल लीजिए।

जैसे $R = 10$ और $BC = 12$ हो, तो $d = 8$। अब $h = 18$ लें तो $AB = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}$, और $h = 2$ लें तो $AB = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$।

शीर्ष दीर्घ चाप पर हो, तो त्रिभुज न्यूनकोण होता है और केंद्र उसके अंदर रहता है। शीर्ष लघु चाप पर हो, तो त्रिभुज अधिककोण होता है और केंद्र बाहर। इसलिए प्रश्न में "न्यूनकोण" लिखा हो, तो $h = R + d$ लीजिए। दूसरा मान भी विकल्पों में ज़रूर दिया होगा।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

किसी वृत्त की 48 सेमी लंबी एक जीवा केंद्र से 10 सेमी की दूरी पर है। वृत्त की त्रिज्या कितनी है? (a) 24 सेमी (b) 26 सेमी (c) $2\sqrt{601}$ सेमी (d) 34 सेमी

उत्तर: केंद्र से डाला गया लंब जीवा को आधा-आधा बाँटता है, तो आधी जीवा 24 सेमी है। अब त्रिज्या उस समकोण त्रिभुज का कर्ण है जिसकी भुजाएँ 24 और 10 हैं। $r = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{676}$, यानी त्रिज्या (b) 26 सेमी है। पूरी 48 को ही पाइथागोरस में रख दें, तो $2\sqrt{601}$ सेमी आता है, और यह गलत है।

प्रश्न 2

29 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त में केंद्र से 20 सेमी की दूरी पर एक जीवा खींची गई है। जीवा की लंबाई कितनी है? (a) 21 सेमी (b) $\sqrt{1241}$ सेमी (c) 18 सेमी (d) 42 सेमी

उत्तर: आधी जीवा $\sqrt{29^2 - 20^2} = \sqrt{841 - 400} = \sqrt{441} = 21$ सेमी है। पूरी जीवा इसकी दोगुनी है, यानी (d) 42 सेमी।

प्रश्न 3

17 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त में केंद्र के विपरीत ओर 30 सेमी और 16 सेमी लंबी दो समांतर जीवाएँ हैं। जीवाओं के बीच की दूरी कितनी है? (a) 23 सेमी (b) 7 सेमी (c) 14 सेमी (d) 46 सेमी

उत्तर: पहले हर जीवा की केंद्र से दूरी निकाल लेते हैं। 30 सेमी वाली जीवा केंद्र से $\sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{64} = 8$ सेमी दूर है। 16 सेमी वाली जीवा $\sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{225} = 15$ सेमी दूर है। जीवाएँ केंद्र के विपरीत ओर हैं, तो दोनों दूरियाँ जोड़ते हैं, 8 + 15 = (a) 23 सेमी।

प्रश्न 4

किसी वृत्त की दो समांतर जीवाएँ 12 सेमी और 16 सेमी लंबी हैं। दोनों केंद्र के एक ही ओर हैं और उनके बीच की दूरी 2 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या कितनी है? (a) 8 सेमी (b) $2\sqrt{13}$ सेमी (c) 10 सेमी (d) 13 सेमी

उत्तर: लंबी जीवा केंद्र के ज़्यादा पास होती है। तो 16 सेमी वाली जीवा केंद्र से $x$ सेमी दूर मान लेते हैं, और 12 सेमी वाली $x + 2$ सेमी दूर। दोनों जीवाओं से $r^2$ लिखकर बराबर रखते हैं, $8^2 + x^2 = 6^2 + (x + 2)^2$। यानी $64 + x^2 = 36 + x^2 + 4x + 4$, जिससे $4x = 24$ और $x = 6$ आता है। अब $r^2 = 64 + 36 = 100$, तो त्रिज्या (c) 10 सेमी है। दूसरी जीवा से भी जाँच लेते हैं। वह केंद्र से 8 सेमी दूर है, और $36 + 64 = 100$ ही आता है।

प्रश्न 5

15 सेमी और 13 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्त एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं, और उनकी उभयनिष्ठ जीवा 24 सेमी लंबी है। दोनों केंद्र उभयनिष्ठ जीवा के विपरीत ओर स्थित हैं। केंद्रों के बीच की दूरी कितनी है? (a) 4 सेमी (b) 14 सेमी (c) 28 सेमी (d) 10 सेमी

उत्तर: केंद्रों को मिलाने वाली रेखा उभयनिष्ठ जीवा को समकोण पर आधा-आधा बाँटती है, तो हर आधा 12 सेमी है। पहले केंद्र से जीवा की दूरी $\sqrt{15^2 - 12^2} = 9$ सेमी है, और दूसरे केंद्र से $\sqrt{13^2 - 12^2} = 5$ सेमी। केंद्र जीवा के विपरीत ओर हैं, तो दूरी 9 + 5 = (b) 14 सेमी है। 4 सेमी तब आता, जब दोनों केंद्र जीवा के एक ही ओर होते।

प्रश्न 6

12 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की एक जीवा केंद्र पर 120° का कोण अंतरित करती है। जीवा की लंबाई और केंद्र से उसकी दूरी क्रमशः कितनी है? (a) $12\sqrt{3}$ सेमी और $6\sqrt{3}$ सेमी (b) $6\sqrt{3}$ सेमी और 6 सेमी (c) 12 सेमी और $6\sqrt{3}$ सेमी (d) $12\sqrt{3}$ सेमी और 6 सेमी

उत्तर: केंद्र से जीवा पर लंब डालते हैं। इससे 120° का कोण दो 60° कोणों में बँट जाता है, और जीवा दो बराबर हिस्सों में। हर हिस्से में एक 30°-60°-90° त्रिभुज बनता है, जिसका कर्ण 12 है। 30° के सामने की भुजा केंद्र से दूरी है, जो 12 की आधी, यानी 6 सेमी है। 60° के सामने की भुजा आधी जीवा है, जो $6\sqrt{3}$ सेमी है। तो पूरी जीवा $12\sqrt{3}$ सेमी हुई, और उत्तर (d) $12\sqrt{3}$ सेमी और 6 सेमी है।

प्रश्न 7

$O$ एक वृत्त का केंद्र है और $A$, $B$, $C$ उस वृत्त पर स्थित बिंदु हैं, जहाँ $C$ दीर्घ चाप $AB$ पर है। यदि $\angle OAB = 28^\circ$ है, तो $\angle ACB$ का मान क्या है? (a) 62° (b) 56° (c) 124° (d) 28°

उत्तर: त्रिभुज $OAB$ की दो भुजाएँ त्रिज्याएँ हैं, तो यह समद्विबाहु है और $\angle OBA = 28^\circ$ भी है। अब $\angle AOB = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ$। $C$ दीर्घ चाप पर है, इसलिए $\angle ACB$ केंद्र वाले कोण का आधा है, यानी (a) 62°। छोटा रास्ता भी है, सीधे $\angle ACB = 90^\circ - 28^\circ$ लिख सकते हैं।

प्रश्न 8

$A$ और $B$, $O$ केंद्र वाले एक वृत्त पर स्थित बिंदु हैं, और $\angle AOB = 110^\circ$ है। $D$ लघु चाप $AB$ पर स्थित एक बिंदु है। $\angle ADB$ का मान क्या है? (a) 55° (b) 110° (c) 125° (d) 70°

उत्तर: $D$ लघु चाप पर है, तो यह दीर्घ चाप की ओर देखता है। दीर्घ चाप केंद्र पर प्रतिवर्ती कोण $360^\circ - 110^\circ = 250^\circ$ बनाता है, और इसका आधा (c) 125° है। दूसरे रास्ते से देखें, तो दीर्घ चाप के बिंदु पर 55° का कोण होता, इसलिए लघु चाप के बिंदु पर $180^\circ - 55^\circ$ होगा। जो छात्र यह नहीं जाँचते कि $D$ किस चाप पर है, वे 55° लिख देते हैं।

प्रश्न 9

$A$, $B$ और $C$, $O$ केंद्र वाले एक वृत्त पर स्थित हैं, और $C$ लघु चाप $AB$ पर है। यदि $\angle ACB = 112^\circ$ है, तो $\angle AOB$ (180° से छोटा कोण) का मान क्या है? (a) 224° (b) 136° (c) 56° (d) 68°

उत्तर: $C$ लघु चाप पर है, तो वह दीर्घ चाप की ओर देखता है। इसलिए केंद्र पर उस ओर का कोण प्रतिवर्ती कोण है, $2 \times 112^\circ = 224^\circ$। साधारण कोण $AOB$ पूरे चक्कर में से बचा हुआ भाग है, यानी $360^\circ - 224^\circ$ = (b) 136°।

प्रश्न 10

$AB$ एक वृत्त का व्यास है। $C$ और $D$ वृत्त पर $AB$ के विपरीत ओर स्थित बिंदु हैं। यदि $\angle BAC = 34^\circ$ है, तो $\angle ADC$ का मान क्या है? (a) 34° (b) 124° (c) 90° (d) 56°

उत्तर: $AB$ व्यास है, तो $\angle ACB = 90^\circ$। अब त्रिभुज $ABC$ में $\angle ABC = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ$। $B$ और $D$ दोनों जीवा $AC$ से कटे एक ही चाप पर हैं, इसलिए दोनों $AC$ को एक ही कोण पर देखते हैं। तो $\angle ADC = \angle ABC$ = (d) 56°।

प्रश्न 11

$AB$, 6.5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त का व्यास है, और $C$ वृत्त पर एक ऐसा बिंदु है कि $AC = 5$ सेमी है। $BC$ की लंबाई कितनी है? (a) 12 सेमी (b) $\sqrt{194}$ सेमी (c) 8 सेमी (d) 6.5 सेमी

उत्तर: व्यास $AB = 13$ सेमी है। अर्धवृत्त का कोण समकोण होता है, तो त्रिभुज $ABC$ में समकोण $C$ पर है और कर्ण $AB$ है। अब $BC = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144}$, यानी (a) 12 सेमी।

प्रश्न 12

एक वृत्त पर स्थित तीन बिंदु $A$, $B$, $C$ उसे चापों $AB$, $BC$ और $CA$ में विभाजित करते हैं, जिनका अनुपात 2 : 3 : 7 है। त्रिभुज $ABC$ का सबसे बड़ा कोण कितना है? (a) 210° (b) 75° (c) 105° (d) 150°

उत्तर: सारे चापों का योग 360° है। तो चाप $\frac{2}{12} \times 360^\circ = 60^\circ$, 90° और 210° के हैं। त्रिभुज का हर कोण अपने सामने वाले चाप का आधा होता है, इसलिए कोण 30°, 45° और 105° हैं। इनमें सबसे बड़ा (c) 105° है।

प्रश्न 13

चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ में $\angle A = (3x + 10)^\circ$, $\angle C = (2x + 20)^\circ$ और $\angle B = (x + 50)^\circ$ है। $\angle D$ का मान क्या है? (a) 80° (b) 100° (c) 110° (d) 70°

उत्तर: सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। तो $(3x + 10) + (2x + 20) = 180$, यानी $5x = 150$ और $x = 30$। अब $\angle B = 30 + 50 = 80^\circ$, और $\angle D = 180^\circ - 80^\circ$ = (b) 100°। 80° तो ख़ुद $\angle B$ है, और यह भी विकल्पों में दिया है। इसलिए प्रश्न ध्यान से पढ़ना चाहिए कि पूछा क्या गया है।

प्रश्न 14

$ABCD$, $O$ केंद्र वाले वृत्त में बना एक चक्रीय चतुर्भुज है, और $O$ इसके अंदर स्थित है। भुजा $AB$ को $E$ तक बढ़ाया गया है, और $\angle CBE = 76^\circ$ है। $\angle AOC$ का मान क्या है? (a) 76° (b) 104° (c) 208° (d) 152°

उत्तर: चक्रीय चतुर्भुज का बाह्य कोण अंतः अभिमुख कोण के बराबर होता है, तो $\angle ADC = 76^\circ$। $\angle ADC$ चाप $ABC$ पर टिका है, और उसी चाप पर केंद्र का कोण इसका दोगुना होता है। इसलिए $\angle AOC$ = (d) 152°।

प्रश्न 15

$ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है, जिसमें $AB$ वृत्त का व्यास है। यदि $\angle ADC = 132^\circ$ है, तो $\angle BAC$ का मान क्या है? (a) 42° (b) 48° (c) 66° (d) 38°

उत्तर: $\angle B$ और $\angle D$ सम्मुख कोण हैं, तो $\angle ABC = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ$। $AB$ व्यास है, इसलिए $\angle ACB = 90^\circ$। अब त्रिभुज $ABC$ में $\angle BAC = 180^\circ - 90^\circ - 48^\circ$ = (a) 42°।

प्रश्न 16

किसी वृत्त की एक जीवा उसकी त्रिज्या के बराबर है। यह जीवा लघु चाप पर स्थित किसी बिंदु पर कितना कोण अंतरित करती है? (a) 30° (b) 60° (c) 150° (d) 120°

उत्तर: जीवा और उसके सिरों तक खींची दो त्रिज्याएँ मिलकर समबाहु त्रिभुज बनाती हैं, तो जीवा केंद्र पर 60° का कोण बनाती है। दीर्घ चाप के बिंदु पर इसका आधा, यानी 30° होता है। लघु चाप के बिंदु पर कोण $180^\circ - 30^\circ$ = (c) 150° होता है।

प्रश्न 17

$AB$ और $CD$, $O$ केंद्र वाले एक वृत्त की बराबर जीवाएँ हैं। यदि $\angle OCD = 52^\circ$ है, तो $\angle AOB$ का मान क्या है? (a) 52° (b) 76° (c) 104° (d) 38°

उत्तर: त्रिभुज $OCD$ की दो भुजाएँ त्रिज्याएँ हैं, तो $\angle ODC = 52^\circ$ भी है। इसलिए $\angle COD = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ$। बराबर जीवाएँ केंद्र पर बराबर कोण बनाती हैं, तो $\angle AOB$ = (b) 76°।

प्रश्न 18

चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ में $AB = BC$ और $\angle ADC = 70^\circ$ है। $\angle BAC$ का मान क्या है? (a) 35° (b) 70° (c) 55° (d) 110°

उत्तर: सम्मुख कोणों से $\angle ABC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$। त्रिभुज $ABC$ में $AB = BC$ है, तो बाकी दोनों कोण बराबर हैं। $\angle BAC = \frac{180^\circ - 110^\circ}{2}$ = (a) 35°। दूसरा रास्ता भी है। $AB$ और $BC$ बराबर जीवाएँ हैं, तो $D$ पर दोनों बराबर कोण बनाती हैं, हर एक 35°। और $\angle BAC = \angle BDC$, क्योंकि दोनों एक ही वृत्तखंड के कोण हैं।

प्रश्न 19

एक वृत्त की जीवाएँ $AB$ और $CD$ एक-दूसरे को $P$ पर काटती हैं। $AP = 5$ सेमी, $PB = 12$ सेमी और $CD = 23$ सेमी है, तथा $CP$, $PD$ से छोटा है। $CP$ का मान क्या है? (a) 20 सेमी (b) 4 सेमी (c) 5 सेमी (d) 3 सेमी

उत्तर: एक जीवा के टुकड़ों का गुणनफल दूसरी जीवा के टुकड़ों के गुणनफल के बराबर होता है। तो $CP \times PD = 5 \times 12 = 60$, और साथ ही $CP + PD = 23$। ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग 23 और गुणनफल 60 हो। ये 3 और 20 हैं, क्योंकि $3 \times 20 = 60$। $CP$ छोटा टुकड़ा है, इसलिए $CP$ = (d) 3 सेमी।

प्रश्न 20

$AB$ एक वृत्त का व्यास है और $CD$, $AB$ पर लंब एक जीवा है, जो उसे $P$ पर काटती है। यदि $AP = 4$ सेमी और $PB = 9$ सेमी है, तो $CD$ की लंबाई कितनी है? (a) 6 सेमी (b) 13 सेमी (c) 12 सेमी (d) 6.5 सेमी

उत्तर: व्यास जीवा पर समकोण बनाता है, तो जीवा को आधा-आधा बाँटता है, यानी $CP = PD$। अंदर कटती जीवाओं का नियम $CP \times PD = AP \times PB$ लगाने पर $CP^2 = 4 \times 9 = 36$ आता है। इससे $CP = 6$ सेमी, और $CD$ = (c) 12 सेमी।

प्रश्न 21

[Tier 2] एक वृत्त की जीवाएँ $AB$ और $CD$ एक-दूसरे को $P$ पर समकोण पर काटती हैं। यदि $AP = 3$ सेमी, $PB = 5$ सेमी, $CP = 1$ सेमी और $PD = 15$ सेमी है, तो वृत्त की त्रिज्या कितनी है? (a) $\sqrt{130}$ सेमी (b) $\sqrt{65}$ सेमी (c) $2\sqrt{65}$ सेमी (d) $\frac{\sqrt{65}}{2}$ सेमी

उत्तर: पहले जाँच लेते हैं कि $3 \times 5 = 1 \times 15$ है। मतलब ये टुकड़े सचमुच एक ही वृत्त में हो सकते हैं। जीवाएँ परस्पर लंब हैं, तो $AP^2 + PB^2 + CP^2 + PD^2 = 4r^2$ लगाते हैं, $9 + 25 + 1 + 225 = 260$। इसलिए $r^2 = 65$, और त्रिज्या (b) $\sqrt{65}$ सेमी है।

प्रश्न 22

[Tier 2] दी गई आकृति में $O$ केंद्र है, $\angle AOC = 40^\circ$ और $\angle BOD = 110^\circ$ है। जीवाओं $BA$ और $DC$ को बढ़ाने पर वे वृत्त के बाहर $P$ पर मिलती हैं। $\angle BPD$ का मान क्या है? (a) 35° (b) 75° (c) 70° (d) 55°

उत्तर: जीवाएँ वृत्त के बाहर मिल रही हैं, तो कोण दूर वाले चाप और पास वाले चाप के अंतर का आधा होगा। चाप को डिग्री में लें, तो वह केंद्र पर बने कोण के बराबर है। दूर का चाप $BD$ = 110° और पास का चाप $AC$ = 40° है। तो $\angle BPD = \frac{110^\circ - 40^\circ}{2}$ = (a) 35°। 75° तब आता है जब चापों का योग ले लिया जाए, पर वह अंदर कटती जीवाओं वाला नियम है।

प्रश्न 23

त्रिभुज $ABC$ में $AB = AC = 13$ सेमी और $BC = 10$ सेमी है, और उसके तीनों शीर्ष एक वृत्त पर स्थित हैं। वृत्त की त्रिज्या कितनी है? (a) $\frac{169}{12}$ सेमी (b) $\frac{13}{2}$ सेमी (c) $\frac{169}{24}$ सेमी (d) $\frac{25}{4}$ सेमी

उत्तर: $A$ से $BC$ पर ऊँचाई $\sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ सेमी है, और यह ऊँचाई केंद्र से होकर जाती है। समद्विबाहु त्रिभुज के लिए $R = \frac{(\text{बराबर भुजा})^2}{2 \times \text{ऊँचाई}} = \frac{169}{2 \times 12}$ = (c) $\frac{169}{24}$ सेमी। $R = \frac{abc}{4\Delta}$ से भी जाँच सकते हैं। क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60$ है, तो $\frac{13 \times 13 \times 10}{240} = \frac{169}{24}$ ही आता है।

प्रश्न 24

13 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त में $BC$, 24 सेमी लंबी एक जीवा है। $A$ दीर्घ चाप $BC$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $AB = AC$ है। $AB$ की लंबाई कितनी है? (a) $4\sqrt{13}$ सेमी (b) 18 सेमी (c) $2\sqrt{61}$ सेमी (d) $6\sqrt{13}$ सेमी

उत्तर: जीवा $BC$ केंद्र से $\sqrt{13^2 - 12^2} = 5$ सेमी दूर है। $AB = AC$ है, तो $A$, $BC$ के लंब समद्विभाजक पर है, और यह रेखा केंद्र से होकर जाती है। $A$ दीर्घ चाप पर है, इसलिए $A$ से $BC$ पर ऊँचाई $13 + 5 = 18$ सेमी है। अब $AB = \sqrt{18^2 + 12^2} = \sqrt{468}$ = (d) $6\sqrt{13}$ सेमी। $4\sqrt{13}$ सेमी तब आता, जब यही बिंदु लघु चाप पर होता, क्योंकि तब ऊँचाई $13 - 5 = 8$ होती।