त्रिभुज: कोण, भुजाएँ, सर्वांगसमता और पाइथागोरस प्रमेय

त्रिभुज के कोणों का योग

किसी भी त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है। यह क्यों होता है, इसे एक रेखा खींचकर देखा जा सकता है। त्रिभुज ABC के शीर्ष A से BC के समांतर एक रेखा XY खींचिए।

अब A पर तीन कोण बन गए हैं, और तीनों सीधी रेखा XY पर हैं। XY और BC समांतर हैं, तो एकांतर कोण बराबर होंगे, यानी $\angle XAB = \angle B$ और $\angle YAC = \angle C$। बीच वाला कोण तो त्रिभुज का कोण A ही है। सीधी रेखा पर बने कोणों का योग 180° होता है, इसलिए आकृति में $x + z + y = 180^\circ$। यही बात त्रिभुज के कोणों में लिखें, तो ठीक-ठीक $\angle B + \angle A + \angle C = 180^\circ$ मिलता है।

त्रिभुज के प्रकार: त्रिभुजों को कोणों के आधार पर भी बाँटा जाता है और भुजाओं के आधार पर भी।

कोणों के योग से दो बातें तुरंत निकलती हैं। पहली, किसी त्रिभुज में समकोण या अधिक कोण ज़्यादा से ज़्यादा एक ही हो सकता है। इसलिए हर त्रिभुज में कम से कम दो कोण हमेशा न्यून होते हैं। दूसरी, अगर किसी त्रिभुज का एक कोण बाकी दोनों कोणों के योग के बराबर हो, तो वह कोण 180° का आधा, यानी 90° होगा। ऐसा त्रिभुज समकोण त्रिभुज होता है।

अनुपात में कोण: मान लीजिए कोण 2 : 3 : 4 के अनुपात में हैं। तो कुल 9 भाग हुए, और 9 भाग 180° के बराबर हैं। एक भाग 20° का हुआ, इसलिए कोण 40°, 60° और 80° हैं।

अंतर से दिए कोण: कभी कोणों के अंतर दिए होते हैं, जैसे $\angle A - \angle B = 15^\circ$ और $\angle B - \angle C = 30^\circ$। ऐसे में तीनों कोणों को $\angle B$ के रूप में लिख लीजिए। तब $\angle A = \angle B + 15^\circ$ और $\angle C = \angle B - 30^\circ$ होगा। अब तीनों को जोड़िए, तो $3\angle B - 15^\circ = 180^\circ$ आता है। इससे $\angle B = 65^\circ$ मिलता है, और फिर $\angle A = 80^\circ$ और $\angle C = 35^\circ$।

जोड़ों के योग: कभी दो-दो कोणों के योग दिए होते हैं, जैसे $\angle A + \angle B = 110^\circ$ और $\angle B + \angle C = 130^\circ$। दोनों को जोड़ दीजिए। इस जोड़ में $\angle B$ दो बार आता है और बाकी हर कोण एक बार। तो जोड़ में से 180° घटा दीजिए, $\angle B = 110^\circ + 130^\circ - 180^\circ = 60^\circ$ आ जाएगा। फिर $\angle A = 50^\circ$ और $\angle C = 70^\circ$।

बराबर गुणज: प्रश्न में लिखा हो "$2\angle A = 3\angle B = 6\angle C$", तो इसका मतलब है कि कोणों का अनुपात $\frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{6}$ है। भिन्नें हटाने के लिए इसे 6 से गुणा कीजिए, अनुपात 3 : 2 : 1 हो जाता है। तो कोण 90°, 60° और 30° हैं। जाँच कर लीजिए, $2 \times 90 = 3 \times 60 = 6 \times 30$, यानी तीनों बराबर हैं।

[SSC टिप] "$2\angle A = 3\angle B = 6\angle C$" वाले प्रश्नों में कई छात्र 180° को सीधे 2 : 3 : 6 में बाँट देते हैं, और यहीं गलती हो जाती है। यहाँ गुणक जितना बड़ा होता है, कोण उतना ही छोटा होता है। इसलिए अनुपात में गुणकों के व्युत्क्रम लिए जाते हैं।

बाह्य कोण प्रमेय

त्रिभुज की किसी एक भुजा को आगे बढ़ा दीजिए, जैसे BC को C से आगे D तक। अब बढ़े हुए भाग और भुजा CA के बीच एक कोण बनता है, $\angle ACD$। इसे त्रिभुज का एक बाह्य कोण (exterior angle) कहते हैं।

बाह्य कोण के बारे में एक बहुत काम का नियम है, जिसे बाह्य कोण प्रमेय (exterior angle theorem) कहते हैं। बाह्य कोण अपने सामने वाले दोनों अंतः कोणों के योग के बराबर होता है।

$$\angle ACD = \angle A + \angle B$$

इसका कारण सीधा है। $\angle ACD$ और $\angle ACB$ एक रैखिक युग्म बनाते हैं, इसलिए $\angle ACD = 180^\circ - \angle ACB$। दूसरी ओर, त्रिभुज के कोणों के योग से $\angle A + \angle B$ भी $180^\circ - \angle ACB$ ही निकलता है। यानी दोनों आपस में बराबर हैं।

इस नियम से दो बातें और निकलती हैं। पहली, बाह्य कोण अपने सामने वाले दोनों अंतः कोणों में से हर एक से बड़ा होता है। दूसरी, हर कोने पर एक-एक बाह्य कोण लें, तो तीनों बाह्य कोणों का योग 360° होता है, ठीक वैसे ही जैसे हर बहुभुज में होता है।

जैसे C पर बाह्य कोण 115° है और $\angle A = 48^\circ$ है। तो $\angle B = 115^\circ - 48^\circ = 67^\circ$, और C पर त्रिभुज के भीतर का कोण $\angle ACB = 65^\circ$ है।

एक भुजा, दोनों ओर बढ़ाई गई: अब BC को B से आगे भी बढ़ाइए और C से आगे भी। मान लीजिए वहाँ बने बाह्य कोण $p$ और $q$ हैं। बाह्य कोण प्रमेय से $p = \angle A + \angle C$ और $q = \angle A + \angle B$। दोनों को जोड़ें, तो तीनों कोणों का योग आ जाता है, और A वाला कोण एक बार ज़्यादा आता है।

$$p + q = 180^\circ + \angle A$$

जैसे $p = 110^\circ$ और $q = 125^\circ$ हो, तो $\angle A = 235^\circ - 180^\circ = 55^\circ$। बाकी दोनों कोण भी निकल आते हैं, $\angle B = 70^\circ$ और $\angle C = 55^\circ$।

अंतः कोण और बाह्य कोण के समद्विभाजक: त्रिभुज ABC में $\angle B$ का समद्विभाजक, बाह्य कोण $\angle ACD$ के समद्विभाजक से E पर मिलता है। तब

$$\angle BEC = \frac{\angle A}{2}$$

यह भी बाह्य कोण प्रमेय से ही निकलता है। प्रमेय के दोनों पक्षों को आधा कर दीजिए, $\frac{1}{2}\angle ACD = \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B$। अब त्रिभुज BEC देखिए। इसमें C पर बाह्य कोण $\angle ECD = \frac{1}{2}\angle ACD$ है। उसी प्रमेय से यह कोण $\angle EBC + \angle BEC = \frac{1}{2}\angle B + \angle BEC$ के बराबर है। दोनों की तुलना कीजिए, तो $\angle BEC = \frac{1}{2}\angle A$ आता है।

जैसे $\angle A = 64^\circ$ हो, तो $\angle BEC = 32^\circ$ होगा।

अगर दोनों समद्विभाजक अंतः कोणों के हों, या दोनों बाह्य कोणों के, तो उत्तर $90^\circ + \frac{\angle A}{2}$ और $90^\circ - \frac{\angle A}{2}$ आते हैं। ये दोनों "त्रिभुज के केंद्र" वाले खंड में हैं।

समद्विबाहु और समबाहु त्रिभुज

जिस त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर हों, उसे समद्विबाहु त्रिभुज (isosceles triangle) कहते हैं। बराबर भुजाओं के सामने वाले कोण भी बराबर होते हैं। इन्हें आधार कोण (base angles) कहते हैं। यह नियम उलटा भी चलता है। किसी त्रिभुज के दो कोण बराबर हों, तो उनके सामने की भुजाएँ भी बराबर होंगी।

मान लीजिए AB = AC है। A से BC के मध्य-बिंदु D तक रेखा खींचिए। यही एक रेखा माध्यिका (median) भी है, शीर्षलंब भी ($AD \perp BC$), और $\angle A$ का समद्विभाजक भी। यह बात उलटी तरफ़ से भी काम आती है। A से खींची गई रेखा में इनमें से कोई दो बातें एक साथ हों, जैसे माध्यिका ही शीर्षलंब भी हो, या शीर्षलंब ही कोण A का समद्विभाजक भी हो, तो त्रिभुज समद्विबाहु होता है।

शीर्ष कोण और आधार कोण: शीर्ष कोण $\angle A$ दिया हो, तो हर आधार कोण $\frac{180^\circ - \angle A}{2}$ होता है। आधार कोण $\angle B$ दिया हो, तो शीर्ष कोण $180^\circ - 2\angle B$ होता है। जैसे शीर्ष कोण 40° है, तो हर आधार कोण 70° होगा, और आधार पर बना बाह्य कोण 110°।

शब्दों वाले रूप: कई बार कोणों का संबंध शब्दों में दिया होता है। तब छोटे कोण को अक्षर मानकर समीकरण बना लीजिए।

• "शीर्ष कोण, हर आधार कोण का दोगुना है।" तो $x + x + 2x = 180^\circ$, और कोण 45°, 45° और 90° हैं।
• "हर आधार कोण, शीर्ष कोण का दोगुना है।" तो $x + 2x + 2x = 180^\circ$, और कोण 36°, 72° और 72° हैं।

शीर्ष कोण कौन-सा: प्रश्न में केवल इतना लिखा हो, "एक समद्विबाहु त्रिभुज का एक कोण 50° है", तो दोनों स्थितियाँ हो सकती हैं। 50° आधार कोण हो, तो कोण 50°, 50° और 80° होंगे। 50° शीर्ष कोण हो, तो कोण 50°, 65° और 65° होंगे। पर कोण 100° का हो, तो वह केवल शीर्ष कोण ही हो सकता है, क्योंकि 100° के दो कोण मिलकर ही 180° पार कर जाते हैं। तब त्रिभुज के कोण 100°, 40°, 40° होंगे।

समबाहु त्रिभुज: जिस त्रिभुज की तीनों भुजाएँ बराबर हों, उसे समबाहु त्रिभुज (equilateral triangle) कहते हैं। उसके तीनों कोण 60° के होते हैं। उलटा भी सही है, तीनों कोण 60° हों तो तीनों भुजाएँ बराबर होंगी। एक और काम की बात याद रखिए। किसी समद्विबाहु त्रिभुज का एक कोण 60° हो, तो वह समबाहु ही है, चाहे 60° वाला कोण कहीं भी हो। और समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के कोण हमेशा 45°, 45° और 90° होते हैं।

आकृति में दो बराबर भुजाएँ दिखें, तो उसी समय उनके सामने के दोनों बराबर कोणों पर निशान लगा दीजिए। लगभग हर समद्विबाहु वाला प्रश्न इसी एक कदम और कोणों के योग से हल हो जाता है।

अतिरिक्त बिंदु वाले समद्विबाहु त्रिभुज

SSC के कई प्रश्नों में समद्विबाहु त्रिभुज में एक बिंदु और जोड़ दिया जाता है। इससे आकृति में नए समद्विबाहु त्रिभुज बन जाते हैं। ऐसे सभी प्रश्न हमेशा एक ही तरीके से हल होते हैं। सबसे छोटे अज्ञात कोण को $x$ मान लीजिए। जहाँ भी दो भुजाएँ बराबर दिखें, उनके सामने के कोण बराबर चिह्नित कीजिए। फिर बाह्य कोण प्रमेय से आकृति के बाकी कोण भी $x$ में लिखते चलिए।

AB = AC और AD = BD: त्रिभुज ABC में AB = AC और $\angle B = 40^\circ$ है। BC पर एक बिंदु D ऐसा है कि AD = BD।

1. AB = AC है, तो $\angle C = 40^\circ$ और $\angle BAC = 100^\circ$।
2. AD = BD है, तो $\angle BAD = \angle B = 40^\circ$।
3. इसलिए $\angle DAC = 100^\circ - 40^\circ = 60^\circ$। साथ ही $\angle ADC = 40^\circ + 40^\circ = 80^\circ$, क्योंकि यह त्रिभुज ABD का बाह्य कोण है।

त्रिभुज ADC में जाँच कर लीजिए, 60 + 80 + 40 = 180।

36°, 72°, 72° वाला त्रिभुज: यहाँ AB = AC है, और AC पर एक बिंदु D ऐसा है कि AD = BD = BC। मान लीजिए $\angle A = x$ है।

• AD = BD है, तो $\angle ABD = x$।
• $\angle BDC$ त्रिभुज ABD का बाह्य कोण है, तो $\angle BDC = 2x$।
• BD = BC है, तो $\angle C = \angle BDC = 2x$।
• AB = AC है, तो $\angle ABC = \angle C = 2x$।

अब त्रिभुज ABC के कोणों का योग लीजिए, $x + 2x + 2x = 180^\circ$, यानी $x = 36^\circ$। तो कोण 36°, 72° और 72° हैं। यहाँ BD, $\angle B$ को समद्विभाजित भी करता है।

AB = AC और AD = DC: यहाँ $\angle DAC = \angle C$ होता है। त्रिभुज ADC में D पर बना बाह्य कोण $\angle ADB = 2\angle C$ है। अब एक और कोण दिया हो, जैसे $\angle BAD$, तो त्रिभुज ABD के कोणों के योग से बाकी सब कोण तय हो जाते हैं।

ध्यान दीजिए, हर नए समद्विबाहु त्रिभुज से या तो कोई कोण दोबारा मिलता है, या बाह्य कोण के ज़रिए वह दोगुना हो जाता है। जब $x$, $2x$, $3x$ जैसी शृंखला बनती है, तो उत्तर अक्सर कोई ऐसा कोण होता है जिससे 180 पूरा-पूरा बँट जाए, जैसे 36°, 45° या 20°।

भुजाएँ, कोण और त्रिभुज असमिका

बड़ी भुजा, बड़े कोण के सामने: किसी भी त्रिभुज में सबसे लंबी भुजा सबसे बड़े कोण के सामने होती है, और सबसे छोटी भुजा सबसे छोटे कोण के सामने। यह बात उलटी भी सही है। जैसे $\angle A = 50^\circ$, $\angle B = 60^\circ$ और $\angle C = 70^\circ$ है, तो BC < CA < AB होगा। कारण यह है कि BC कोण A के सामने है, CA कोण B के सामने और AB कोण C के सामने।

इस नियम से दो बातें निकलती हैं।

• समकोण त्रिभुज में कर्ण (hypotenuse) ही सबसे लंबी भुजा है। अधिककोण त्रिभुज में अधिक कोण के सामने वाली भुजा सबसे लंबी होती है।
• किसी बिंदु से एक रेखा तक जितने भी रेखाखंड खींचे जाएँ, उनमें लंब सबसे छोटा होता है। हर तिरछा रेखाखंड एक समकोण त्रिभुज में 90° के कोण के सामने होता है, इसलिए वह लंब से लंबा ही रहता है।

त्रिभुज असमिका: त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है। इसे त्रिभुज असमिका (triangle inequality) कहते हैं। यानी हर भुजा बाकी दोनों भुजाओं के अंतर और योग के बीच रहती है, और किसी भी सिरे पर बराबरी नहीं हो सकती।

$$|a - b| < c < a + b$$

इसे छड़ियों से समझिए। 8 सेमी की एक छड़ी लीजिए, और उसके दोनों सिरों पर कब्ज़े से 3 सेमी और 4 सेमी की छड़ियाँ जोड़ दीजिए। ये दोनों छड़ियाँ ऊपर आपस में मिल ही नहीं सकतीं, क्योंकि दोनों मिलकर भी केवल 7 सेमी तक पहुँचती हैं। अगर दो भुजाओं का योग ठीक तीसरी भुजा के बराबर हो, जैसे 3, 4 और 7, तो दोनों छड़ियाँ सीधी होकर लंबी छड़ी के ऊपर ही बिछ जाती हैं। तब भी त्रिभुज नहीं बनता।

तीन लंबाइयों की जाँच: तीन लंबाइयाँ दी हों, तो एक ही जाँच काफ़ी है। दोनों छोटी भुजाओं का योग सबसे लंबी भुजा से अधिक होना चाहिए। जैसे 5, 8, 12 से त्रिभुज बनता है, क्योंकि 13 > 12। 4, 7, 12 से नहीं बनता, क्योंकि 11 < 12। और 4, 6, 10 से भी नहीं बनता, क्योंकि 10, 10 से अधिक नहीं है।

तीसरी भुजा: मान लीजिए त्रिभुज की दो भुजाएँ 6 सेमी और 11 सेमी हैं। तो तीसरी भुजा $c$ के लिए $5 < c < 17$ होगा। अगर $c$ पूर्ण संख्या है, तो वह 6, 7, …, 16 में से कोई भी हो सकती है, यानी कुल 11 मान।

इसका एक सीधा नियम भी है। दो भुजाएँ $a$ और $b$ पूर्ण संख्याएँ हों, तो तीसरी भुजा कितने पूर्ण संख्या वाले मान ले सकती है, यह इस सूत्र से मिलता है।

$$(a + b) - |a - b| - 1 = 2 \times (\text{छोटी भुजा}) - 1$$

6 और 11 के लिए यह $2 \times 6 - 1 = 11$ आता है।

[SSC टिप] $|a - b| < c < a + b$ में दोनों सिरों पर बराबरी नहीं होती। यहाँ 5 सेमी और 17 सेमी सिरे वाले मान हैं। जिन विकल्पों में ये मान भी गिने गए हों, वे विकल्प गलत हैं।

पूर्ण संख्या भुजाओं वाले त्रिभुज गिनना

दिया हुआ परिमाप: कभी पूछा जाता है कि ऐसे कितने त्रिभुज बन सकते हैं जिनकी भुजाएँ पूर्ण संख्याएँ हों और परिमाप $p$ हो। ऐसे में भुजाओं को $a \le b \le c$ के क्रम में लिखिए। सबसे लंबी भुजा परिमाप के आधे से कम होती है, क्योंकि $a + b > c$ का मतलब ही है $p - c > c$। साथ ही वह परिमाप के एक-तिहाई से कम नहीं हो सकती।

अब $c$ तय कीजिए और गिनिए कि बचा हुआ परिमाप कितने जोड़ों से पूरा होता है। हर जोड़े में $a \le b \le c$ बना रहना चाहिए। जैसे $p = 15$ हो, तो सबसे लंबी भुजा 5, 6 या 7 ही हो सकती है।

यानी कुल 7 त्रिभुज बनते हैं।

इसका एक सूत्र भी है। $p$ सम हो, तो त्रिभुजों की संख्या $\frac{p^2}{48}$ के सबसे पास वाली पूर्ण संख्या होती है। $p$ विषम हो, तो $\frac{(p + 3)^2}{48}$ के सबसे पास वाली पूर्ण संख्या। जैसे 15 के लिए $\frac{18^2}{48} = 6.75$ आता है, यानी 7। और 12 के लिए $\frac{144}{48} = 3$ आता है। ये तीन त्रिभुज हैं (2, 5, 5), (3, 4, 5) और (4, 4, 4)।

दिए परिमाप वाले समद्विबाहु त्रिभुज: बराबर भुजाएँ $b$ मान लीजिए। तो आधार $p - 2b$ होगा। आधार धनात्मक होना चाहिए और $2b$ से कम भी, इसलिए

$$\frac{p}{4} < b < \frac{p}{2}$$

जैसे $p = 30$ हो, तो $7.5 < b < 15$, यानी $b$ = 8, 9, …, 14। इस तरह 7 त्रिभुज बनते हैं। इनमें से एक, (10, 10, 10), समबाहु है।

तीन छड़ियाँ चुनना: मान लीजिए 2, 3, 5, 6 और 7 सेमी की छड़ियाँ हैं, और एक बार में तीन छड़ियाँ लेकर त्रिभुज बनाने हैं। देखना है कि कितने त्रिभुज बनेंगे। तीन छड़ियाँ चुनने के 10 तरीके हैं। हर एक पर वही जाँच कीजिए, "दोनों छोटी छड़ियों का योग सबसे लंबी से अधिक हो"। चार चुनावों में त्रिभुज नहीं बनता, (2, 3, 5), (2, 3, 6), (2, 3, 7) और (2, 5, 7)। इनमें दोनों छोटी छड़ियाँ मिलकर सबसे लंबी के बराबर तक ही पहुँचती हैं, या उससे भी कम रह जाती हैं। तो 6 त्रिभुज बनते हैं।

दो दी हुई भुजाएँ: जैसा पिछले भाग में देखा, दो भुजाएँ $a$ और $b$ दी हों, तो पूर्ण संख्या वाली तीसरी भुजा के $2 \times (\text{छोटी भुजा}) - 1$ मान होते हैं। पर प्रश्न में कोई शर्त भी जुड़ी हो सकती है, जैसे "तीसरी भुजा सबसे लंबी है" या "त्रिभुज अधिककोण है"। तब पहले दायरा छोटा कीजिए, उसके बाद गिनिए।

गिनते समय सबसे लंबी भुजा पहले तय कीजिए, फिर नीचे की ओर चलिए। सबसे छोटी भुजा से शुरू करेंगे, तो कुछ त्रिभुज दो बार गिन लिए जाते हैं। और विकल्प हमेशा सही गिनती से एक या दो ही दूर रखे जाते हैं।

न्यून, समकोण या अधिक: भुजाओं से जाँच

तीनों भुजाएँ दी हों और पूछा जाए कि त्रिभुज किस प्रकार का है, तो सबसे लंबी भुजा $c$ लीजिए। उसके वर्ग की तुलना बाकी दोनों भुजाओं $a$ और $b$ के वर्गों के योग से कीजिए।

इसका कारण समझना आसान है। दो भुजाओं को स्थिर रखिए और उनके बीच का कोण धीरे-धीरे खोलते जाइए। कोण जितना खुलेगा, तीसरी भुजा उतनी लंबी होती जाएगी। जिस पल कोण 90° पार करता है, ठीक उसी पल तीसरी भुजा $\sqrt{a^2 + b^2}$ को पार करती है।

• 6, 7, 9 में $81 < 36 + 49 = 85$ है, तो त्रिभुज न्यूनकोण है।
• 5, 12, 13 में $169 = 25 + 144$ है, तो त्रिभुज समकोण है।
• 7, 8, 12 में $144 > 49 + 64 = 113$ है, तो त्रिभुज अधिककोण है।

जाँच केवल सबसे लंबी भुजा की करनी है, क्योंकि त्रिभुज के दोनों छोटे कोण हमेशा न्यून होते हैं।

तीसरी भुजा का दायरा: मान लीजिए दो भुजाएँ 6 सेमी और 8 सेमी हैं, और तीसरी भुजा $x$ है।

• त्रिभुज बनने के लिए $2 < x < 14$ होना चाहिए।
• त्रिभुज समकोण तब होगा जब $x = 10$ हो। $x = 2\sqrt{7}$ पर भी समकोण बनता है, तब 8 कर्ण होता है।
• त्रिभुज न्यूनकोण तब होगा जब $2\sqrt{7} < x < 10$ हो। तब कोई भी कोण 90° तक नहीं पहुँचता।
• त्रिभुज अधिककोण दो हालतों में होगा। $2 < x < 2\sqrt{7}$ हो, तो 8 के सामने का कोण अधिक कोण होता है। और $10 < x < 14$ हो, तो $x$ के सामने का कोण अधिक कोण होता है।

पूर्ण संख्याओं में देखें, तो $x$ = 6, 7, 8 या 9 पर त्रिभुज न्यूनकोण है, 10 पर समकोण, और 3, 4, 5, 11, 12 या 13 पर अधिककोण।

एक बात पर ध्यान दीजिए। प्रश्न में लिखा हो "तीसरी भुजा सबसे लंबी है और त्रिभुज अधिककोण है", तो केवल ऊपर वाला दायरा लेना है, $\sqrt{a^2 + b^2} < x < a + b$। इसलिए गिनना शुरू करने से पहले देख लीजिए कि $x$ को सबसे लंबी भुजा होना है या नहीं।

पाइथागोरस प्रमेय और पाइथागोरस त्रिक

समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग बाकी दोनों भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। यही पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras' theorem) है।

$$\text{कर्ण}^2 = \text{आधार}^2 + \text{ऊँचाई}^2$$

इसका उलटा भी सही है। किसी त्रिभुज में $c^2 = a^2 + b^2$ हो, तो $c$ के सामने का कोण 90° होगा।

ज़बानी याद रखने वाले त्रिक: जो पूर्ण संख्याएँ $a^2 + b^2 = c^2$ पर खरी उतरती हैं, उन्हें पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean triplet) कहते हैं। नीचे वाले त्रिक ज़बानी याद होने चाहिए।

किसी त्रिक का कोई भी गुणज भी त्रिक ही होता है, जैसे (6, 8, 10), (9, 12, 15), (15, 20, 25) और (10, 24, 26)। इसलिए बड़ी भुजाएँ दिखें, तो पहले उभयनिष्ठ गुणनखंड खोजिए। जैसे भुजाएँ 18 और 24 हैं। ये $6 \times (3, 4)$ हैं, तो कर्ण $6 \times 5 = 30$ होगा।

अपना त्रिक बनाना: कोई विषम संख्या $m$ लीजिए। तब $m$, $\frac{m^2 - 1}{2}$, $\frac{m^2 + 1}{2}$ एक त्रिक होता है। जैसे 9 से 9, 40, 41 मिलता है। सम संख्या $m$ हो, तो त्रिक $m$, $\left(\frac{m}{2}\right)^2 - 1$, $\left(\frac{m}{2}\right)^2 + 1$ होता है। जैसे 8 से 8, 15, 17 मिलता है।

रोज़मर्रा के प्रयोग: यह प्रमेय कई जगह सीधे लगता है।

• कोई 8 किमी उत्तर और फिर 6 किमी पूर्व चले, तो वह जहाँ से चला था, वहाँ से 10 किमी दूर होगा।
• दो ऊर्ध्वाधर खंभों के ऊपरी सिरों के बीच की दूरी एक समकोण त्रिभुज का कर्ण होती है। इस त्रिभुज का आधार खंभों के बीच का फ़ासला है, और ऊँचाई दोनों खंभों की ऊँचाइयों का अंतर।
• दीवार से टिकी सीढ़ी में सीढ़ी ही कर्ण है।

जैसे 10 मीटर की सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से 6 मीटर दूर है। तो वह दीवार पर 8 मीटर की ऊँचाई तक पहुँचेगी। अब निचला सिरा 2 मीटर और बाहर खिसक जाए, यानी दीवार से 8 मीटर पर आ जाए। तब ऊपरी सिरा उतरकर $\sqrt{100 - 64} = 6$ मीटर पर आ जाएगा, यानी वह 2 मीटर नीचे आया।

यहाँ ऊपरी सिरा ठीक उतना ही नीचे आया जितना निचला सिरा खिसका। पर ऐसा केवल इसलिए हुआ कि 6 और 8 ने आपस में जगह बदल ली। आम तौर पर ऐसा नहीं होता। दोनों स्थितियों में ऊँचाई अलग-अलग निकालिए और फिर घटाइए।

[SSC टिप] बड़ी संख्याओं का वर्ग करने से पहले उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालिए, फिर त्रिक पहचानिए। जैसे 36 और 48 असल में $12 \times (3, 4)$ हैं, तो कर्ण 60 होगा। इसी तरह 25 और 60 असल में $5 \times (5, 12)$ हैं, तो कर्ण 65 होगा।

विशेष समकोण त्रिभुज और समबाहु त्रिभुज

दो समकोण त्रिभुज प्रश्नों में इतनी बार आते हैं कि उनकी भुजाओं का अनुपात ज़बानी याद होना चाहिए। तब भुजाएँ बिना कोई गणना किए निकल आती हैं।

45°-45°-90° त्रिभुज: किसी वर्ग को विकर्ण से काटें, तो उसका आधा भाग ऐसा ही त्रिभुज होता है। इसमें समकोण बनाने वाली दोनों भुजाएँ बराबर होती हैं, और कर्ण ऐसी एक भुजा का $\sqrt{2}$ गुना होता है।

$$\text{भुजा} : \text{भुजा} : \text{कर्ण} = 1 : 1 : \sqrt{2}$$

30°-60°-90° त्रिभुज: यह समबाहु त्रिभुज का आधा भाग है। इसमें 30° के सामने की भुजा कर्ण की आधी होती है। 60° के सामने की भुजा सबसे छोटी भुजा का $\sqrt{3}$ गुना होती है।

$$\text{सम्मुख } 30^\circ : \text{सम्मुख } 60^\circ : \text{कर्ण} = 1 : \sqrt{3} : 2$$

• कर्ण 14 सेमी हो और एक कोण 30° हो, तो बाकी भुजाएँ 7 सेमी और $7\sqrt{3}$ सेमी होंगी।
• समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का कर्ण 10 सेमी हो, तो बराबर भुजाएँ $\frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$ सेमी होंगी।
• भुजा $a$ वाले वर्ग का विकर्ण $a\sqrt{2}$ होता है।

समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई: भुजा $a$ वाले समबाहु त्रिभुज में शीर्षलंब AD खींचिए। यह त्रिभुज को दो 30°-60°-90° त्रिभुजों में बाँट देता है। हर एक में कर्ण $a$ है और सबसे छोटी भुजा $\frac{a}{2}$। इससे ऊँचाई और भुजा का संबंध मिलता है।

$$h = \frac{\sqrt{3}}{2}a \qquad a = \frac{2h}{\sqrt{3}}$$

जैसे भुजा 12 सेमी हो, तो ऊँचाई $6\sqrt{3}$ सेमी होगी। और ऊँचाई 9 सेमी हो, तो भुजा $\frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}$ सेमी होगी।

30°-30°-120° वाला त्रिभुज: मान लीजिए किसी समद्विबाहु त्रिभुज का शीर्ष कोण 120° है और बराबर भुजाएँ $s$ हैं। शीर्ष से शीर्षलंब डालें, तो यह दो 30°-60°-90° त्रिभुजों में बँट जाता है। इसका आधार $s\sqrt{3}$ होता है। जैसे बराबर भुजाएँ 8 सेमी हों, तो आधार $8\sqrt{3}$ सेमी होगा।

30°-60°-90° त्रिभुज में पहले सबसे छोटी भुजा निकालिए। यह 30° के सामने होती है और कर्ण की आधी होती है। फिर दूसरी भुजा, सबसे छोटी भुजा का $\sqrt{3}$ गुना होती है। सबसे ज़्यादा गलती इसी में होती है कि 60° के सामने कौन-सी भुजा है।

सर्वांगसम त्रिभुज

दो त्रिभुज सर्वांगसम (congruent) तब कहलाते हैं, जब एक को उठाकर दूसरे पर रखें तो वह ठीक-ठीक बैठ जाए। यानी आकार भी वही हो और माप भी वही।

इसे $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ लिखते हैं। यहाँ अक्षरों का क्रम मायने रखता है। इस तरह लिखने का मतलब है कि A का मेल P से है, B का Q से और C का R से। तो AB = PQ, BC = QR, CA = RP, $\angle A = \angle P$, $\angle B = \angle Q$ और $\angle C = \angle R$।

सर्वांगसमता सिद्ध करने के लिए छहों बातें दिखाने की ज़रूरत कभी नहीं पड़ती। नीचे के पाँच समूहों में से किसी एक समूह की तीन बातें मिल जाएँ, तो काफ़ी है।

आकृति में AB = PQ, BC = QR और $\angle B = \angle Q$ है। यह कोण इन्हीं दो भुजाओं के बीच का है, तो SAS से $\triangle ABC \cong \triangle PQR$। त्रिभुज PQR घूमा हुआ है, फिर भी दोनों सर्वांगसम हैं।

AAS क्यों चलता है, यह भी समझ लीजिए। दो कोण बराबर हों, तो तीसरे कोण भी अपने आप बराबर हो जाते हैं, और तब यह ASA ही हो जाता है।

संगत भाग: दो त्रिभुज सर्वांगसम सिद्ध हो जाएँ, तो उनके बाकी सभी मेल खाते भाग भी आपस में बराबर होते हैं। इसे "सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग" (CPCT) कहते हैं। ज़्यादातर सर्वांगसमता वाले प्रश्न यहीं ख़त्म होते हैं, क्योंकि इसी से दूसरे त्रिभुज की कोई लंबाई या कोण हाथ आता है।

जो सर्वांगसमता सिद्ध नहीं करते: दो स्थितियाँ देखने में नियम जैसी लगती हैं, पर इनसे सर्वांगसमता सिद्ध नहीं होती।

• AAA: तीनों कोण बराबर हों, तो आकार वही रहता है, माप नहीं। छोटा समबाहु त्रिभुज हो या बड़ा, दोनों के कोण एक जैसे होते हैं। यह समरूपता है, जो "समरूप त्रिभुज और समानुपातिकता" वाले खंड में है।
• SSA: दो भुजाएँ और एक ऐसा कोण जो उनके बीच नहीं है। इन मापों से दो अलग-अलग त्रिभुज बन सकते हैं।

आकृति में AB वही है, A पर का कोण वही है, और B से निकली भुजा की लंबाई भी वही है। फिर भी $\triangle ABC_1$ और $\triangle ABC_2$ अलग-अलग त्रिभुज हैं। ऐसी स्थिति में केवल RHS पर भरोसा किया जा सकता है। दिया गया कोण 90° हो, तो दूसरा त्रिभुज बन ही नहीं सकता।

मानक प्रयोग: ये तीन प्रयोग बार-बार आते हैं।

• त्रिभुज ABC में AB = AC है और AD शीर्षलंब है। तो RHS से $\triangle ABD \cong \triangle ACD$, और इसलिए BD = DC।
• दो रेखाखंड AB और CD एक-दूसरे को O पर समद्विभाजित करते हैं। O पर बने कोण शीर्षाभिमुख कोण हैं, इसलिए SAS से $\triangle AOC \cong \triangle BOD$। इससे AC = BD और $AC \parallel BD$ मिलता है।
• समद्विबाहु त्रिभुज में दोनों बराबर भुजाओं पर डाले गए शीर्षलंब बराबर होते हैं। इन्हीं भुजाओं पर खींची गई माध्यिकाएँ भी बराबर होती हैं।

[SSC टिप] प्रश्न आए "कौन-सी शर्त इन्हें सर्वांगसम बनाती है?", तो सबसे पहले देखिए कि बराबर कोण कहाँ है। वह दोनों दी गई भुजाओं के बीच हो, तो SAS है। बाहर हो, तो SSA है, और उत्तर होगा "आवश्यक नहीं कि सर्वांगसम हों"। पर अगर वह कोण 90° का हो, तो RHS लग जाता है।

[Tier 2] अपोलोनियस प्रमेय: माध्यिका की लंबाई

किसी शीर्ष को सामने वाली भुजा के मध्य-बिंदु से मिलाने वाली रेखा को माध्यिका कहते हैं। मान लीजिए त्रिभुज ABC में A से माध्यिका AD खींची गई है, यानी BD = DC। तब

$$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$$

इसे अपोलोनियस प्रमेय (Apollonius' theorem) कहते हैं।

अब $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$ और $m_a = AD$ लिखिए। इसी नियम को माध्यिका के लिए हल करें, तो यह मिलता है।

$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$$

यह सही क्यों है: A से BC पर शीर्षलंब AE डालिए, और मान लीजिए AE = $h$ है। यह भी मान लीजिए कि E भुजा DC पर है और D से उसकी दूरी $t$ है। BD और DC दोनों $\frac{a}{2}$ के बराबर हैं। अब पाइथागोरस प्रमेय से $AB^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2} + t\right)^2$ और $AC^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2} - t\right)^2$। दोनों को जोड़ें, तो $at$ वाले पद कट जाते हैं।

$$AB^2 + AC^2 = 2(h^2 + t^2) + 2\left(\frac{a}{2}\right)^2 = 2(AD^2 + BD^2)$$

आख़िरी कदम इसलिए सही है, क्योंकि $AD^2 = h^2 + t^2$ है।

प्रयोग: तीन उदाहरण देखिए।

• भुजाएँ AB = 13 सेमी, AC = 9 सेमी और BC = 10 सेमी हैं। तो $169 + 81 = 2(AD^2 + 25)$, जिससे $AD^2 = 100$ आता है। यानी माध्यिका 10 सेमी है।
• उलटी दिशा में भी यही चलता है। AB = 13 सेमी, AC = 9 सेमी और माध्यिका AD = 10 सेमी दी हो, तो $250 = 2(100 + BD^2)$। इससे BD = 5 सेमी, और BC = 10 सेमी।
• समकोण त्रिभुज पर जाँच कर लीजिए। भुजाएँ 6, 8 और 10 हों, तो $36 + 64 = 2(AD^2 + 25)$, यानी AD = 5। यह कर्ण का आधा है। यही जाना-पहचाना तथ्य "त्रिभुज के केंद्र" वाले खंड में भी आता है।

"रेखाएँ, कोण, चतुर्भुज और बहुभुज" वाले खंड में समांतर चतुर्भुज का एक नियम है, $AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + BC^2)$। यह भी असल में यही प्रमेय है। समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, इसलिए हर आधा विकर्ण, दो भुजाओं से बने त्रिभुज की माध्यिका होता है। तीनों माध्यिकाओं के वर्गों का योग "त्रिभुज के केंद्र" वाले खंड में दिया गया है।

एक गलती बहुत होती है। सूत्र में BD है, यानी BC का आधा, पूरा BC नहीं। ज़्यादातर गलत उत्तर पूरी भुजा ले लेने से ही आते हैं। 13, 9, 10 वाले त्रिभुज में ऐसा करने पर $AD^2 = 125 - 100 = 25$ आता है, यानी माध्यिका 5 सेमी, जबकि सही माध्यिका 10 सेमी है।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

किसी त्रिभुज के कोणों का अनुपात 3 : 5 : 7 है। सबसे बड़ा कोण कितना है? (a) 36° (b) 84° (c) 60° (d) 90°

उत्तर: अनुपात के कुल भाग 3 + 5 + 7 = 15 हैं, और ये 15 भाग 180° के बराबर हैं। तो एक भाग 12° का हुआ। कोण 36°, 60° और 84° निकलते हैं, इसलिए सबसे बड़ा कोण (b) 84° है।

प्रश्न 2

त्रिभुज ABC में $3\angle A = 4\angle B = 6\angle C$ है। $\angle A$ का मान क्या है? (a) 40° (b) 60° (c) 90° (d) 80°

उत्तर: तीनों बराबर गुणनफलों को $k$ मान लेते हैं। तब $\angle A = \frac{k}{3}$, $\angle B = \frac{k}{4}$ और $\angle C = \frac{k}{6}$। मतलब कोणों का अनुपात $\frac{1}{3} : \frac{1}{4} : \frac{1}{6}$ है। इसे 12 से गुणा करने पर 4 : 3 : 2 आता है। कुल नौ भाग 180° के बराबर हैं, तो एक भाग 20° का है। इसलिए $\angle A = 4 \times 20^\circ$ = (d) 80°।

प्रश्न 3

त्रिभुज ABC में भुजा BC को D तक बढ़ाया गया है। यदि $\angle ACD = 128^\circ$ और $\angle A : \angle B = 3 : 5$ है, तो $\angle B$ का मान क्या है? (a) 80° (b) 48° (c) 52° (d) 100°

उत्तर: बाह्य कोण सामने वाले दोनों अंतः कोणों के योग के बराबर होता है। तो $\angle A + \angle B = 128^\circ$। अब 128° को 3 : 5 में बाँटें, तो एक भाग 16° का आता है। इससे $\angle A = 48^\circ$ और $\angle B$ = (a) 80°। कई लोग 52° चुन लेते हैं, पर वह C पर त्रिभुज के भीतर का कोण है, $\angle B$ नहीं।

प्रश्न 4

दी गई आकृति में त्रिभुज ABC की भुजा BC को दोनों ओर बढ़ाया गया है। B और C पर बने बाह्य कोण 112° और 133° हैं। $\angle BAC$ का मान क्या है?

(a) 68° (b) 47° (c) 65° (d) 115°

उत्तर: हर बाह्य कोण दूर वाले दोनों अंतः कोणों के योग के बराबर होता है। इसलिए दोनों बाह्य कोणों को जोड़ने पर $\angle A$ दो बार आता है, और $\angle B$ और $\angle C$ एक-एक बार। यानी दोनों का योग $180^\circ + \angle A$ है। तो $\angle A = 112^\circ + 133^\circ - 180^\circ$ = (c) 65°। जाँच भी कर लेते हैं। $\angle B = 68^\circ$ और $\angle C = 47^\circ$ आते हैं, और 65 + 68 + 47 = 180।

प्रश्न 5

दी गई आकृति में $\angle ABC$ का समद्विभाजक और बाह्य कोण $\angle ACD$ का समद्विभाजक E पर मिलते हैं। यदि $\angle BAC = 72^\circ$ है, तो $\angle BEC$ का मान क्या है?

(a) 54° (b) 36° (c) 126° (d) 72°

उत्तर: C पर बने बाह्य कोण का आधा, $\angle A$ के आधे और $\angle B$ के आधे के योग के बराबर है। अब त्रिभुज BEC में वही आधा कोण, यानी $\angle ECD$, $\angle EBC + \angle BEC$ के बराबर है। यहाँ $\angle EBC$ तो $\angle B$ का आधा ही है। दोनों की तुलना करें, तो $\angle BEC$, $\angle A$ का आधा निकलता है, यानी 72° का आधा, (b) 36°। 54° वाला विकल्प $90^\circ - \frac{\angle A}{2}$ है, जो तब आता है जब दोनों समद्विभाजक बाह्य कोणों के हों।

प्रश्न 6

एक समद्विबाहु त्रिभुज में प्रत्येक आधार कोण, शीर्ष कोण के दोगुने से 15° अधिक है। शीर्ष कोण कितना है? (a) 75° (b) 50° (c) 40° (d) 30°

उत्तर: शीर्ष कोण को $v$ मान लेते हैं। तब हर आधार कोण $2v + 15$ होगा। तीनों कोणों का योग लेने पर $v + 2(2v + 15) = 180$, यानी $5v = 150$। तो शीर्ष कोण $v$ = (d) 30° है। जाँच कर लेते हैं। दोनों आधार कोण 75° के हैं, और 30 + 75 + 75 = 180।

प्रश्न 7

दी गई आकृति में AB = AC है और BC पर एक बिंदु D इस प्रकार है कि AD = BD है। यदि $\angle BAC = 108^\circ$ है, तो $\angle DAC$ का मान क्या है?

(a) 72° (b) 36° (c) 54° (d) 90°

उत्तर: AB = AC है, तो दोनों आधार कोण बराबर हैं, हर एक $\frac{180 - 108}{2} = 36^\circ$। AD = BD है, इसलिए $\angle BAD = \angle B = 36^\circ$। अब A पर बचा हुआ कोण $\angle DAC = 108^\circ - 36^\circ$ = (a) 72° है। एक बात और दिखती है। $\angle ADC = 36^\circ + 36^\circ = 72^\circ$ भी है, तो त्रिभुज ADC भी समद्विबाहु है, और DC = AC।

प्रश्न 8

दी गई आकृति में AB = AC और $\angle BAC = 40^\circ$ है। AC पर एक बिंदु P इस प्रकार है कि BP = BC है। $\angle ABP$ का मान क्या है?

(a) 40° (b) 70° (c) 30° (d) 20°

उत्तर: त्रिभुज ABC के आधार कोण बराबर हैं, हर एक $\frac{180 - 40}{2} = 70^\circ$। अब त्रिभुज BPC देखते हैं। इसमें BP = BC है, तो $\angle BPC = \angle C = 70^\circ$, और इसलिए $\angle PBC = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$। B पर पूरे कोण में से यह हिस्सा घटा देते हैं, $\angle ABP = \angle ABC - \angle PBC = 70^\circ - 40^\circ$ = (c) 30°।

प्रश्न 9

त्रिभुज PQR में $\angle P = 65^\circ$ और $\angle Q = 45^\circ$ है। निम्नलिखित में से कौन-सा सही है? (a) PQ < QR < PR (b) PR < QR < PQ (c) QR < PR < PQ (d) PR < PQ < QR

उत्तर: पहले तीसरा कोण निकाल लेते हैं, $\angle R = 180^\circ - 65^\circ - 45^\circ = 70^\circ$। नियम यह है कि कोण जितना छोटा हो, उसके सामने की भुजा उतनी ही छोटी होती है। कोणों को छोटे से बड़े क्रम में लिखें, तो Q (45°), P (65°) और R (70°) आते हैं। इनके सामने की भुजाएँ PR, QR और PQ हैं। तो क्रम (b) PR < QR < PQ है।

प्रश्न 10

निम्नलिखित में से लंबाइयों का कौन-सा समूह किसी त्रिभुज की भुजाएँ हो सकता है? (a) 3 सेमी, 5 सेमी, 9 सेमी (b) 4 सेमी, 6 सेमी, 10 सेमी (c) 2 सेमी, 4 सेमी, 7 सेमी (d) 5 सेमी, 8 सेमी, 12 सेमी

उत्तर: हर विकल्प में बस यह देखना है कि दोनों छोटी भुजाओं का योग सबसे लंबी भुजा से अधिक है या नहीं। पहले में $3 + 5 = 8 < 9$ है। दूसरे में $4 + 6 = 10$ है, जो 10 से अधिक नहीं है। तीसरे में $2 + 4 = 6 < 7$ है। इन तीनों से त्रिभुज नहीं बनता। केवल चौथे में $5 + 8 = 13 > 12$ है, तो उत्तर (d) 5 सेमी, 8 सेमी, 12 सेमी है।

प्रश्न 11

किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ 9 सेमी और 14 सेमी हैं। तीसरी भुजा पूर्ण संख्या वाले कितने मान ले सकती है? (a) 17 (b) 16 (c) 18 (d) 15

उत्तर: तीसरी भुजा $14 - 9 = 5$ से अधिक और $14 + 9 = 23$ से कम होनी चाहिए। तो वह 6 से 22 तक की कोई भी पूर्ण संख्या हो सकती है, यानी (a) 17 मान। नियम $2 \times 9 - 1$ से भी यही संख्या आती है। जो 18 चुनते हैं, वे सिरे वाले 5 या 23 में से किसी एक को भी गिन लेते हैं। पर इन दोनों में से किसी से भी त्रिभुज नहीं बनता।

प्रश्न 12

ऐसे कितने समद्विबाहु त्रिभुज हैं जिनकी भुजाएँ पूर्ण संख्याएँ हैं और जिनका परिमाप 20 सेमी है? (a) 5 (b) 3 (c) 4 (d) 9

उत्तर: बराबर भुजाएँ $b$ मान लेते हैं। तब आधार $20 - 2b$ होगा। आधार धनात्मक होना चाहिए और $2b$ से छोटा भी, इसलिए $5 < b < 10$। तो $b$ = 6, 7, 8 या 9 हो सकता है। मतलब (c) 4 त्रिभुज बनते हैं, (6, 6, 8), (7, 7, 6), (8, 8, 4) और (9, 9, 2)।

प्रश्न 13

एक त्रिभुज की भुजाएँ 8 सेमी, 15 सेमी और 16 सेमी हैं। यह किस प्रकार का त्रिभुज है? (a) समकोण त्रिभुज (b) न्यूनकोण त्रिभुज (c) अधिककोण त्रिभुज (d) ऐसा त्रिभुज संभव नहीं है

उत्तर: पहले देख लेते हैं कि त्रिभुज बन सकता है या नहीं। $8 + 15 > 16$ है, तो बन सकता है। अब सबसे लंबी भुजा की जाँच करते हैं। $16^2 = 256$, और $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$। 256 < 289 है, तो सबसे बड़ा कोण 90° से कम है, और यह (b) न्यूनकोण त्रिभुज है। अगर 16 की जगह 17 होता, तो यह समकोण त्रिभुज (8, 15, 17) होता।

प्रश्न 14

एक अधिककोण त्रिभुज की दो भुजाएँ 12 सेमी और 16 सेमी हैं, और तीसरी भुजा सबसे लंबी है। तीसरी भुजा पूर्ण संख्या वाले कितने मान ले सकती है? (a) 8 (b) 6 (c) 3 (d) 7

उत्तर: तीसरी भुजा $x$ सबसे लंबी है, तो अधिक कोण उसी के सामने होगा। इसके लिए $x^2 > 144 + 256 = 400$ चाहिए, यानी $x > 20$। त्रिभुज बनने के लिए $x < 12 + 16 = 28$ भी होना चाहिए। तो $x$ = 21, 22, …, 27, यानी (d) 7 मान। 8 वाला विकल्प तब आता है जब 20 को भी गिन लिया जाए। पर 20 पर तो समकोण त्रिभुज (12, 16, 20) बनता है।

प्रश्न 15

25 मीटर लंबी एक सीढ़ी दीवार से टिकी है और उसका निचला सिरा दीवार से 7 मीटर दूर है। यदि निचले सिरे को दीवार से 8 मीटर और दूर खींच दिया जाए, तो सीढ़ी का ऊपरी सिरा कितना नीचे खिसकेगा? (a) 4 मीटर (b) 8 मीटर (c) 5 मीटर (d) 20 मीटर

उत्तर: पहले ऊपरी सिरे की ऊँचाई निकाल लेते हैं, $\sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$ मीटर। खींचने के बाद निचला सिरा दीवार से $7 + 8 = 15$ मीटर दूर है। अब ऊपरी सिरे की ऊँचाई $\sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20$ मीटर रह गई। तो ऊपरी सिरा $24 - 20$, यानी (a) 4 मीटर नीचे खिसका। 8 मीटर चुनने वाले मान लेते हैं कि ऊपरी सिरा भी उतना ही खिसकेगा जितना निचला। ऐसा नहीं होता।

प्रश्न 16

समतल भूमि पर 22 मीटर और 13 मीटर ऊँचे दो ऊर्ध्वाधर खंभे एक-दूसरे से 12 मीटर की दूरी पर खड़े हैं, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। उनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी कितनी है?

(a) 9 मीटर (b) 21 मीटर (c) 15 मीटर (d) 35 मीटर

उत्तर: छोटे खंभे के ऊपरी सिरे से बड़े खंभे तक एक क्षैतिज रेखा खींच लेते हैं। इससे एक समकोण त्रिभुज मिलता है। इसका आधार 12 मीटर है और ऊँचाई $22 - 13 = 9$ मीटर। ऊपरी सिरों के बीच की दूरी इसी त्रिभुज का कर्ण है, $\sqrt{144 + 81} = \sqrt{225}$, यानी (c) 15 मीटर।

प्रश्न 17

त्रिभुज ABC में $\angle B = 90^\circ$, $\angle C = 30^\circ$ और AC = 22 सेमी है। BC कितना है? (a) 11 सेमी (b) $11\sqrt{3}$ सेमी (c) $22\sqrt{3}$ सेमी (d) $11\sqrt{2}$ सेमी

उत्तर: AC समकोण के सामने है, तो यही कर्ण है। AB, 30° के कोण के सामने है, इसलिए वह AC का आधा, यानी 11 सेमी है। BC, A पर बने 60° के कोण के सामने है। तो वह सबसे छोटी भुजा का $\sqrt{3}$ गुना होगा, यानी (b) $11\sqrt{3}$ सेमी।

प्रश्न 18

एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई 15 सेमी है। उसकी भुजा की लंबाई कितनी है? (a) $5\sqrt{3}$ सेमी (b) $15\sqrt{3}$ सेमी (c) 30 सेमी (d) $10\sqrt{3}$ सेमी

उत्तर: ऊँचाई, भुजा की $\frac{\sqrt{3}}{2}$ गुना होती है। तो भुजा $\frac{2 \times 15}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}}$ होगी। अब अंश और हर, दोनों को $\sqrt{3}$ से गुणा कर देते हैं। इससे $\frac{30\sqrt{3}}{3}$ आता है, यानी (d) $10\sqrt{3}$ सेमी।

प्रश्न 19

एक समद्विबाहु त्रिभुज की दोनों बराबर भुजाएँ प्रत्येक 14 सेमी की हैं और उनके बीच का कोण 120° है। तीसरी भुजा की लंबाई कितनी है? (a) $14\sqrt{3}$ सेमी (b) 14 सेमी (c) $14\sqrt{2}$ सेमी (d) $7\sqrt{3}$ सेमी

उत्तर: 120° वाले कोने से शीर्षलंब डालते हैं। इससे दो 30°-60°-90° त्रिभुज मिलते हैं, और हर एक का कर्ण 14 सेमी है। हर त्रिभुज में 60° के सामने की भुजा $7\sqrt{3}$ सेमी है, और यही आधार का आधा है। तो पूरा आधार (a) $14\sqrt{3}$ सेमी है।

प्रश्न 20

त्रिभुजों ABC और PQR में AB = PQ, BC = QR और $\angle C = \angle R$ है। इनके बारे में क्या कहा जा सकता है? (a) ये SAS नियम से सर्वांगसम हैं (b) ये SSS नियम से सर्वांगसम हैं (c) यह आवश्यक नहीं कि ये सर्वांगसम हों (d) ये RHS नियम से सर्वांगसम हैं

उत्तर: बराबर कोण C और R पर हैं। पर बराबर भुजाएँ AB और BC तो B पर मिलती हैं, C पर नहीं। मतलब कोण दोनों भुजाओं के बीच नहीं है, यह SSA है। SSA सर्वांगसमता का नियम नहीं है, क्योंकि इन मापों से दो अलग त्रिभुज बन सकते हैं। इसलिए (c) यह आवश्यक नहीं कि ये सर्वांगसम हों। SAS के लिए $\angle B = \angle Q$ चाहिए था, और RHS के लिए बराबर कोण का 90° होना ज़रूरी था।

प्रश्न 21

दी गई आकृति में AB = AC, $BE \perp AC$ और $CF \perp AB$ है। कौन-सा नियम दर्शाता है कि $\triangle ABE \cong \triangle ACF$ है, और इसलिए BE = CF है?

(a) SAS (b) AAS (c) SSS (d) RHS

उत्तर: दोनों त्रिभुजों में क्या-क्या बराबर है, यह देखते हैं। $\angle A$ दोनों में उभयनिष्ठ है, $\angle AEB = \angle AFC = 90^\circ$ है, और AB = AC दिया है। यानी दो कोण और एक ऐसी भुजा जो उनके बीच नहीं है, तो नियम (b) AAS है। फिर CPCT से BE = CF मिल जाता है। RHS यहाँ नहीं लगता। उसके लिए कर्ण AB और AC के अलावा बराबर भुजाओं का एक और जोड़ा चाहिए, और वह दिया ही नहीं है।

प्रश्न 22

[Tier 2] त्रिभुज ABC में AB = 11 सेमी, AC = 7 सेमी और BC = 12 सेमी है। माध्यिका AD की लंबाई कितनी है? (a) $\sqrt{85}$ सेमी (b) $\sqrt{134}$ सेमी (c) 7 सेमी (d) 6 सेमी

उत्तर: अपोलोनियस प्रमेय लगाते हैं, $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$। D भुजा BC का मध्य-बिंदु है, तो $BD = 6$ सेमी। अब $121 + 49 = 2(AD^2 + 36)$, यानी $AD^2 + 36 = 85$ और $AD^2 = 49$। इसलिए AD = (c) 7 सेमी। जो $BD^2$ घटाना भूल जाते हैं, उन्हें $\sqrt{85}$ सेमी मिलता है।