हल किए गए प्रश्न

इन प्रश्नों से अभ्यास का तरीका

यहाँ 35 प्रश्न हल करके दिए गए हैं। इनमें विषय बीच-बीच में बदलते रहते हैं, कोई तय क्रम नहीं है। बहुभुज वाले प्रश्न के ठीक बाद जीवा वाला प्रश्न भी आ सकता है। इसलिए हर बार सबसे पहले यह पहचानिए कि इस प्रश्न में कौन-सा नियम या प्रमेय लगेगा।

मोटे तौर पर एक-तिहाई प्रश्न त्रिभुज के हैं। इनमें कोण, सर्वांगसमता (congruence), पाइथागोरस प्रमेय, त्रिभुज के केंद्र और दोनों त्रिज्याएँ, यानी अंतःत्रिज्या (inradius) और परित्रिज्या (circumradius), सब आते हैं। लगभग इतने ही प्रश्न वृत्त के हैं। इनमें जीवाएँ, कोण, चक्रीय चतुर्भुज (cyclic quadrilateral), स्पर्शरेखाएँ और दो-दो वृत्तों वाले प्रश्न आते हैं। बाकी प्रश्नों में समरूप त्रिभुज (similar triangles), समानुपातिकता प्रमेय, रेखाएँ, बहुभुज और चतुर्भुज आते हैं।

SSC ज्यामिति के प्रश्न ज़्यादातर शब्दों में देता है, आकृति नहीं देता। इसलिए हर प्रश्न की कच्ची (रफ़) आकृति ख़ुद बनाइए, और शुरू करने से पहले दी गई संख्याएँ उस पर लिख दीजिए। आकृति ठीक बन गई, तो समझिए आधा काम हो गया।

उत्तर पढ़ने से पहले हर प्रश्न कागज़ पर ख़ुद हल कीजिए। टियर 1 के एक सामान्य प्रश्न को लगभग 45 सेकंड दीजिए। किसी प्रश्न में इससे बहुत ज़्यादा समय लग जाए, तो "शॉर्टकट और तेज़ तरीके" वाले खंड में उसका तेज़ रास्ता देखिए, और अगले दिन वही प्रश्न दोबारा कीजिए।

कुछ प्रश्नों के साथ [Tier 2] लिखा है। इनमें भी वही नियम लगते हैं, बस प्रश्न थोड़े लंबे हैं। इसलिए टियर 1 की तैयारी करने वाले छात्र भी ये प्रश्न ज़रूर हल करें।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है। दो सह-अंतः कोण (तिर्यक रेखा के एक ही ओर स्थित अंतः कोण) $(3x + 14)^\circ$ और $(2x - 9)^\circ$ हैं। बड़ा कोण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सह-अंतः कोण (co-interior angles) जोड़ने पर हमेशा $180^\circ$ आता है। तो $3x + 14 + 2x - 9 = 180$, यानी $5x = 175$ और $x = 35$। अब दोनों कोण निकाल लेते हैं, $3(35) + 14 = 119^\circ$ और $2(35) - 9 = 61^\circ$। बड़ा कोण 119° है।

प्रश्न 2

त्रिभुज ABC में कोण B और कोण C के समद्विभाजक I पर मिलते हैं, और $\angle BIC = 124^\circ$ है। $\angle A$ ज्ञात कीजिए। यदि B और C पर बने बाह्य कोणों के समद्विभाजक E पर मिलते हैं, तो $\angle BEC$ भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: I अंतःकेंद्र (incentre) है, और वहाँ बने कोण के लिए नियम है $\angle BIC = 90^\circ + \frac{A}{2}$। इससे $\frac{A}{2} = 34^\circ$ आता है, तो $\angle A$ = 68°। E बहिःकेंद्र (excentre) है। वहाँ $\angle BEC = 90^\circ - \frac{A}{2} = 90^\circ - 34^\circ$ = 56° होता है। झटपट जाँच भी हो जाती है। $124^\circ + 56^\circ = 180^\circ$, और इन दोनों कोणों का योग इतना ही आना चाहिए।

प्रश्न 3

61 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त में AB, 120 सेमी लंबी एक जीवा है। केंद्र से AB की दूरी कितनी है? साथ ही, केंद्र से 60 सेमी की दूरी पर स्थित जीवा की लंबाई भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: केंद्र से जीवा पर लंब डालें, तो वह जीवा को आधा-आधा बाँट देता है। AB का आधा 60 सेमी है, तो केंद्र से दूरी = $\sqrt{61^2 - 60^2} = \sqrt{121}$ = 11 सेमी। दूसरी जीवा में भी यही हिसाब है। उसकी आधी लंबाई $\sqrt{61^2 - 60^2} = 11$ है, तो पूरी जीवा 22 सेमी लंबी है। दोनों भागों में एक ही पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean triplet) 11, 60, 61 लगा, बस उलटे ढंग से। पहले भाग में 60 आधी जीवा थी, और दूसरे में वही 60 केंद्र से दूरी है।

प्रश्न 4

त्रिभुज ABC और PQR समरूप हैं, और उनके क्षेत्रफल क्रमशः 64 वर्ग सेमी और 121 वर्ग सेमी हैं। यदि त्रिभुज ABC में A से खींची गई माध्यिका 12 सेमी है, तो त्रिभुज PQR की संगत माध्यिका ज्ञात कीजिए।

उत्तर: समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल पैमाने के वर्ग के अनुपात में होते हैं। यहाँ पैमाना मतलब संगत भुजाओं का अनुपात। तो पैमाना = $\sqrt{\frac{121}{64}} = \frac{11}{8}$। माध्यिकाएँ सीधे पैमाने के अनुपात में होती हैं, इसलिए PQR की माध्यिका = $12 \times \frac{11}{8}$ = 16.5 सेमी।

प्रश्न 5 [Tier 2]

एक बिंदु P, 30 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र O से 50 सेमी की दूरी पर है। PA और PB, P से वृत्त पर खींची गई स्पर्शरेखाएँ हैं। PA और जीवा AB की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: स्पर्शरेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या से समकोण बनाती है, तो $\angle OAP = 90^\circ$ है। इसलिए $PA = \sqrt{50^2 - 30^2} = \sqrt{1600}$ = 40 सेमी। अब OP रेखा जीवा AB पर लंब है और उसे मध्य-बिंदु M पर काटती है। मतलब समकोण त्रिभुज OAP में AM, कर्ण OP पर डाला गया शीर्षलंब है। तो $AM = \frac{OA \times PA}{OP} = \frac{30 \times 40}{50} = 24$, और AB $= 2 \times 24$ = 48 सेमी।

प्रश्न 6

एक सम बहुभुज का प्रत्येक अंतः कोण, उसके प्रत्येक बाह्य कोण से $140^\circ$ अधिक है। इस बहुभुज में कितनी भुजाएँ और कितने विकर्ण हैं?

उत्तर: अंतः कोण और बाह्य कोण का योग $180^\circ$ होता है, और यहाँ दोनों का अंतर $140^\circ$ है। तो बाह्य कोण = $\frac{180^\circ - 140^\circ}{2} = 20^\circ$। भुजाओं की संख्या $n = \frac{360}{20}$ है, यानी बहुभुज में 18 भुजाएँ हैं। विकर्णों की संख्या = $\frac{18 \times 15}{2}$ = 135।

प्रश्न 7

यदि $\triangle ABC \cong \triangle QRP$ है, जहाँ $AB = 7$ सेमी, $BC = 9$ सेमी, $CA = 11$ सेमी और $\angle C = 48^\circ$ है, तो PR, QP और $\angle P$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ अक्षरों को क्रम से मिलाते हैं, A के साथ Q, B के साथ R और C के साथ P। तो PR का जोड़ा CB है, यानी PR = 9 सेमी। इसी तरह QP का जोड़ा AC है, इसलिए QP = 11 सेमी। और $\angle P$ का जोड़ा $\angle C$ है, तो $\angle P$ = 48°।

प्रश्न 8

6 मीटर और 11 मीटर ऊँचे दो ऊर्ध्वाधर खंभे समतल भूमि पर एक-दूसरे से 12 मीटर की दूरी पर खड़े हैं। उनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: छोटे खंभे के ऊपरी सिरे से बड़े खंभे तक एक क्षैतिज रेखा खींच लेते हैं, जैसा आकृति में दिखाया गया है। यह रेखा 12 मीटर लंबी है और बड़े खंभे से 6 मीटर की ऊँचाई पर मिलती है। उसके ऊपर बड़े खंभे का $11 - 6 = 5$ मीटर भाग बचता है। इस तरह एक समकोण त्रिभुज मिलता है, और ऊपरी सिरों के बीच की दूरी उसका कर्ण है, यानी $\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169}$ = 13 मीटर।

प्रश्न 9

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में $\angle A : \angle C = 4 : 5$ है, और $\angle B$, $\angle D$ से $30^\circ$ अधिक है। चतुर्भुज का सबसे छोटा कोण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग $180^\circ$ होता है। $\angle A + \angle C = 180^\circ$ है और अनुपात $4 : 5$ है, तो $\angle A = 80^\circ$ और $\angle C = 100^\circ$। इसी तरह $\angle B + \angle D = 180^\circ$ और $\angle B = \angle D + 30^\circ$ है। इनसे $\angle D = 75^\circ$ और $\angle B = 105^\circ$ आता है। सबसे छोटा कोण $\angle D = 75^\circ$ है।

प्रश्न 10

एक त्रिभुज की भुजाएँ 20 सेमी, 20 सेमी और 24 सेमी हैं। उसकी अंतःत्रिज्या और परित्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यह समद्विबाहु त्रिभुज है, तो ऊपर के शीर्ष से 24 सेमी वाली भुजा पर डाला गया लंब ठीक उसके मध्य-बिंदु पर पड़ता है। ऊँचाई $= \sqrt{20^2 - 12^2} = 16$ सेमी। क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 24 \times 16 = 192$ वर्ग सेमी, और अर्धपरिमाप $s = \frac{20 + 20 + 24}{2} = 32$। अब $r = \frac{192}{32}$ = 6 सेमी और $R = \frac{20 \times 20 \times 24}{4 \times 192} = \frac{9600}{768}$ = 12.5 सेमी।

[Tier 2] दोनों केंद्र इसी ऊँचाई पर हैं। अंतःकेंद्र I आधार से 6 सेमी ऊपर है, और परिकेंद्र O आधार से $16 - 12.5 = 3.5$ सेमी ऊपर। तो $OI = 2.5$ सेमी। सूत्र से जाँचें, तो $OI^2 = R^2 - 2Rr = 156.25 - 150 = 6.25$ आता है, जो 2.5 का वर्ग ही है।

प्रश्न 11

त्रिभुज ABC में $DE \parallel BC$ है, जहाँ D भुजा AB पर और E भुजा AC पर स्थित है। यदि $AD = x$, $DB = x - 2$, $AE = x + 2$ और $EC = x - 1$ है, तो $x$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (basic proportionality theorem) से $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$, यानी $\frac{x}{x - 2} = \frac{x + 2}{x - 1}$। तिरछा गुणा करने पर $x^2 - x = x^2 - 4$ आता है, तो $x$ = 4। यह मान रखकर देखिए, $\frac{AD}{DB} = \frac{4}{2} = 2$ और $\frac{AE}{EC} = \frac{6}{3} = 2$, दोनों अनुपात बराबर आते हैं।

प्रश्न 12

दी गई आकृति में AB, O केंद्र वाले वृत्त का व्यास है, और C तथा D, AB के विपरीत ओर स्थित हैं। यदि $\angle CAB = 32^\circ$ है, तो $\angle ABC$, $\angle ADC$ और $\angle BDC$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है, तो $\angle ACB = 90^\circ$। इसलिए $\angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 32^\circ$ = 58°। $\angle ADC$ उसी चाप AC पर टिका है, जिस पर $\angle ABC$ टिका है, तो $\angle ADC$ भी 58° है। इसी तरह $\angle BDC$ और $\angle BAC$ दोनों चाप BC पर टिके हैं, तो $\angle BDC$ = 32°। जाँच के लिए $\angle ADB = 58^\circ + 32^\circ = 90^\circ$ देखिए। यह भी अर्धवृत्त में बना कोण है, इसलिए इसे समकोण ही होना था।

प्रश्न 13

12 सेमी और 3 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं। उनकी प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, तो केंद्रों के बीच की दूरी $12 + 3 = 15$ सेमी है। प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा (direct common tangent) की लंबाई = $\sqrt{15^2 - (12 - 3)^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144}$ = 12 सेमी। जब वृत्त एक-दूसरे को छूते हों, तो इससे छोटा रास्ता भी है। $2\sqrt{Rr} = 2\sqrt{36} = 12$, उत्तर वही आया।

प्रश्न 14

एक समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ 7 सेमी और 9 सेमी हैं, और उसका एक विकर्ण 8 सेमी है। दूसरा विकर्ण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: समांतर चतुर्भुज में दोनों विकर्णों के वर्गों का योग, दो आसन्न भुजाओं के वर्गों के योग का दोगुना होता है। तो $d_1^2 + d_2^2 = 2(7^2 + 9^2) = 2(49 + 81) = 260$। एक विकर्ण 8 सेमी है, इसलिए $d_2^2 = 260 - 64 = 196$, और दूसरा विकर्ण 14 सेमी है।

प्रश्न 15

एक त्रिभुज की दो भुजाएँ 6 सेमी और 11 सेमी हैं, और सेमी में तीसरी भुजा की लंबाई एक पूर्ण संख्या है। ऐसे कितने त्रिभुज संभव हैं, और उनमें से कितने अधिककोण त्रिभुज हैं?

उत्तर: तीसरी भुजा $c$ मान लेते हैं। यह $11 - 6 = 5$ से अधिक और $11 + 6 = 17$ से कम होनी चाहिए। तो $c = 6, 7, \ldots, 16$, यानी 11 त्रिभुज संभव हैं। अब देखते हैं कि इनमें अधिककोण कौन-से हैं। इसके लिए सबसे लंबी भुजा देखनी होती है।

• अगर $c$ सबसे लंबी भुजा है, तो अधिककोण त्रिभुज के लिए $c^2 > 36 + 121 = 157$ होना चाहिए। इससे $c = 13, 14, 15, 16$ मिलते हैं।
• अगर 11 सबसे लंबी भुजा है, तो $121 > 36 + c^2$ होना चाहिए, यानी $c^2 < 85$। इससे $c = 6, 7, 8, 9$ मिलते हैं।

तो 8 त्रिभुज अधिककोण हैं। बाकी तीन, जिनमें $c$ = 10, 11 और 12 है, न्यूनकोण त्रिभुज हैं।

प्रश्न 16 [Tier 2]

किसी त्रिभुज में लंबकेंद्र H और केंद्रक G के बीच की दूरी 10 सेमी है। परिकेंद्र O और लंबकेंद्र के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: O, G और H एक ही सरल रेखा पर होते हैं, जिसे ऑयलर रेखा (Euler line) कहते हैं। G, O और H के बीच में होता है, और $HG = 2GO$ होता है। तो $GO = 5$ सेमी, और $OH = 10 + 5$ = 15 सेमी।

प्रश्न 17 [Tier 2]

25 सेमी और 26 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्त एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं, और उनके केंद्रों के बीच की दूरी 17 सेमी है। उनकी उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: उभयनिष्ठ जीवा (common chord) केंद्रों को मिलाने वाली रेखा पर लंब होती है, और वही रेखा उसे दो बराबर भागों में काटती है। मान लीजिए जीवा उस रेखा को M पर काटती है, और M छोटे वृत्त के केंद्र से $x$ सेमी दूर है। आधी जीवा को $h$ मान लें, तो $h^2 = 25^2 - x^2 = 26^2 - (17 - x)^2$। इसे खोलने पर $625 - x^2 = 676 - 289 + 34x - x^2$, यानी $34x = 238$ और $x = 7$। अब $h = \sqrt{625 - 49} = 24$, तो उभयनिष्ठ जीवा = 48 सेमी। दूसरे केंद्र से भी जाँच लेते हैं। वहाँ से M की दूरी $17 - 7 = 10$ है, और $26^2 - 10^2 = 576 = 24^2$, यानी आधी जीवा फिर वही आती है।

प्रश्न 18

दी गई आकृति में PT, O केंद्र वाले वृत्त को A पर स्पर्श करती है, और AB एक ऐसी जीवा है कि $\angle BAT = 64^\circ$ है। C दीर्घ चाप AB पर स्थित एक बिंदु है और D लघु चाप AB पर स्थित एक बिंदु है। $\angle ACB$, $\angle AOB$ और $\angle ADB$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: एकांतर वृत्तखंड प्रमेय (alternate segment theorem) कहता है कि स्पर्शरेखा और जीवा के बीच का कोण, दूसरे वृत्तखंड में बने कोण के बराबर होता है। तो $\angle ACB$ = 64°। केंद्र पर बना कोण इसका दोगुना होगा, यानी $\angle AOB$ = 128°। ACBD चक्रीय चतुर्भुज है, इसलिए $\angle ADB = 180^\circ - 64^\circ$ = 116°। एक बात और, $OA \perp PT$ है, तो $\angle OAB = 90^\circ - 64^\circ = 26^\circ$ होगा।

प्रश्न 19

एक खंभे पर भूमि से 6 मीटर की ऊँचाई पर एक लैंप लगा है। 1.5 मीटर लंबी एक लड़की खंभे के आधार से 1.2 मीटर प्रति सेकंड की चाल से दूर जा रही है। 4 सेकंड बाद उसकी छाया की लंबाई कितनी होगी?

उत्तर: 4 सेकंड में लड़की खंभे से $1.2 \times 4 = 4.8$ मीटर दूर पहुँच जाती है। उसकी छाया $s$ मीटर मान लेते हैं। अब दो त्रिभुज देखिए। बड़े त्रिभुज में खंभा, छाया के सिरे तक की भूमि और प्रकाश की किरण है। छोटे त्रिभुज में लड़की और उसकी छाया है। ये दोनों समरूप हैं, तो $\frac{1.5}{s} = \frac{6}{4.8 + s}$। तिरछा गुणा करने पर $6s = 7.2 + 1.5s$, यानी $4.5s = 7.2$, और $s$ = 1.6 मीटर।

प्रश्न 20

ABCD एक समलंब चतुर्भुज है, जिसमें $AB \parallel DC$, $AB = 15$ सेमी और $DC = 10$ सेमी है। इसके विकर्ण O पर मिलते हैं। यदि त्रिभुज AOB का क्षेत्रफल 45 वर्ग सेमी है, तो त्रिभुज COD और AOD के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: AB और DC समांतर हैं, इसलिए त्रिभुज AOB और COD के एकांतर कोण बराबर हैं, और दोनों त्रिभुज समरूप हैं। पैमाना $\frac{AB}{CD} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$ है। तो त्रिभुज COD का क्षेत्रफल $= 45 \times \left(\frac{2}{3}\right)^2$ = 20 वर्ग सेमी। विकर्ण भी एक-दूसरे को $3 : 2$ के अनुपात में काटते हैं, यानी $BO : OD = 3 : 2$। त्रिभुज AOB और AOD की A से ऊँचाई एक ही है, इसलिए उनके क्षेत्रफल आधारों $OB : OD$ के अनुपात में होंगे। तो त्रिभुज AOD का क्षेत्रफल $= 45 \times \frac{2}{3}$ = 30 वर्ग सेमी। इसी तरह त्रिभुज BOC का क्षेत्रफल भी 30 वर्ग सेमी है।

प्रश्न 21

एक समबाहु त्रिभुज की अंतःत्रिज्या 6 सेमी है। उसकी ऊँचाई, भुजा और परित्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: समबाहु त्रिभुज में $r = \frac{h}{3}$ होता है, तो ऊँचाई 18 सेमी है। $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ से भुजा $a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{36}{\sqrt{3}}$ = $12\sqrt{3}$ सेमी आती है। और $R = 2r$ होता है, तो परित्रिज्या 12 सेमी है।

प्रश्न 22 [Tier 2]

ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। जैसा कि आकृति में दिखाया गया है, AB और DC को बढ़ाने पर वे P पर मिलती हैं, तथा AD और BC को बढ़ाने पर वे Q पर मिलती हैं। यदि $\angle APD = 30^\circ$ और $\angle AQB = 46^\circ$ है, तो $\angle BCD$ और $\angle ADC$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए $\angle A = a$ है। त्रिभुज APD में D पर कोण $\angle ADC$ ही है, तो $a + \angle ADC + 30^\circ = 180^\circ$। त्रिभुज AQB में B पर कोण $\angle ABC$ है, तो $a + \angle ABC + 46^\circ = 180^\circ$। दोनों को जोड़ने पर $2a + (\angle ADC + \angle ABC) + 76^\circ = 360^\circ$ आता है। ABCD चक्रीय है, इसलिए $\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$, तो $2a = 104^\circ$ और $a = 52^\circ$। अब $\angle BCD = 180^\circ - 52^\circ$ = 128° और $\angle ADC = 180^\circ - 52^\circ - 30^\circ$ = 98°। इन मानों से $\angle ABC = 82^\circ$ आता है, और $98^\circ + 82^\circ = 180^\circ$ है। चक्रीय चतुर्भुज में ऐसा ही होना चाहिए, तो उत्तर ठीक है।

प्रश्न 23

त्रिभुज ABC में $\angle A - \angle B = 24^\circ$ और $\angle B - \angle C = 30^\circ$ है। $\angle A$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: A और C, दोनों को $B$ के रूप में लिख लेते हैं, $A = B + 24^\circ$ और $C = B - 30^\circ$। तीनों कोण जोड़ने पर $(B + 24^\circ) + B + (B - 30^\circ) = 180^\circ$, यानी $3B = 186^\circ$ और $B = 62^\circ$। तो $\angle A$ = 86°, और तीसरा कोण $\angle C = 32^\circ$ है।

प्रश्न 24 [Tier 2]

त्रिभुज ABC में $AB = 13$ सेमी, $AC = 19$ सेमी और $BC = 22$ सेमी है। माध्यिका AD की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ अपोलोनियस प्रमेय (Apollonius' theorem) लगेगा, $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$। D, भुजा BC का मध्य-बिंदु है, तो $BD = 11$। अब मान रखते हैं, $169 + 361 = 2(AD^2 + 121)$, यानी $530 = 2AD^2 + 242$। तो $AD^2 = 144$ और AD = 12 सेमी।

प्रश्न 25

दो वृत्तों की अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई 15 सेमी है, और उनके केंद्रों के बीच की दूरी 17 सेमी है। यदि एक वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है, तो दूसरे वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा (transverse common tangent) की लंबाई में त्रिज्याओं का योग लगता है। तो $\sqrt{17^2 - (R + r)^2} = 15$। इससे $(R + r)^2 = 289 - 225 = 64$, यानी $R + r = 8$। दूसरी त्रिज्या = $8 - 5$ = 3 सेमी।

प्रश्न 26 [Tier 2]

किसी वृत्त की जीवाएँ AB और CD, वृत्त के अंदर E पर एक-दूसरे को काटती हैं। चाप AC, जिस पर न B है और न D, $84^\circ$ का है, और चाप BD, जिस पर न A है और न C, $36^\circ$ का है। $\angle AEC$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: A और D को मिला देते हैं। C, E और D एक ही रेखा पर हैं, इसलिए $\angle AEC$ त्रिभुज AED का E पर बना बाह्य कोण है। तो $\angle AEC = \angle BAD + \angle CDA$। $\angle BAD$ चाप BD पर टिका है, इसलिए यह उस चाप का आधा, यानी $18^\circ$ है। उसी तरह $\angle CDA$ चाप AC पर टिका है, तो यह $42^\circ$ है। अब $\angle AEC = 18^\circ + 42^\circ$ = 60°। यहीं से यह नियम भी निकलता है कि वृत्त के अंदर एक-दूसरे को काटती दो जीवाओं के बीच का कोण, दोनों चापों के योग का आधा होता है।

प्रश्न 27

त्रिभुज ABC में $\angle B = 90^\circ$, $AB = 12$ सेमी और $BC = 9$ सेमी है। अंतःवृत्त AC को P पर स्पर्श करता है। अंतःत्रिज्या, AP और CP ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 9, 12, 15 असल में 3, 4, 5 का ही तीन गुना है, इसलिए कर्ण $AC = 15$ सेमी है। समकोण त्रिभुज की अंतःत्रिज्या $r = \frac{12 + 9 - 15}{2}$ = 3 सेमी है। अर्धपरिमाप $s = 18$ है। AP, A से खींची गई स्पर्शरेखा की लंबाई है, जो $s - BC = 18 - 9$ = 9 सेमी होती है। इसी तरह $CP = s - AB = 18 - 12$ = 6 सेमी। दोनों को जोड़ें, तो $9 + 6 = 15$, यानी पूरा AC।

प्रश्न 28

त्रिभुज ABC में $AB = AC = 41$ सेमी और $BC = 18$ सेमी है। $\angle A$ का समद्विभाजक BC से D पर मिलता है। AD ज्ञात कीजिए।

उत्तर: त्रिभुज ABD और ACD, SAS से सर्वांगसम हैं। $AB = AC$ है, A पर दोनों कोण बराबर हैं और AD दोनों में उभयनिष्ठ है। सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग (CPCT) बराबर होते हैं, तो $BD = DC = 9$ सेमी और $\angle ADB = \angle ADC$। इन दोनों का योग $180^\circ$ है, इसलिए हर एक $90^\circ$ का है। अब $AD = \sqrt{41^2 - 9^2} = \sqrt{1600}$ = 40 सेमी।

प्रश्न 29

त्रिभुज ABC में D, भुजा BC पर एक ऐसा बिंदु है कि $\angle ADC = \angle BAC$ है। यदि $AC = 8$ सेमी और $BC = 16$ सेमी है, तो DC ज्ञात कीजिए।

उत्तर: त्रिभुज ADC और BAC में $\angle C$ उभयनिष्ठ है, और $\angle ADC = \angle BAC$ दिया है। तो दोनों AA से समरूप हैं। ध्यान रखिए, यहाँ D का संगत शीर्ष A है और A का संगत शीर्ष B। इसलिए $\frac{AC}{BC} = \frac{DC}{AC}$, यानी $DC = \frac{AC^2}{BC} = \frac{64}{16}$ = 4 सेमी।

प्रश्न 30

दी गई आकृति में $AB \parallel CD$, $\angle ABE = 35^\circ$, $\angle BEF = 65^\circ$ और $\angle CDF = 130^\circ$ है। $\angle EFD$ ज्ञात कीजिए, जिसे $x$ से दर्शाया गया है।

उत्तर: पहले D पर, DF के दाईं ओर का कोण निकाल लेते हैं, $180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$। दो समांतर रेखाओं के बीच कोई रेखा कई जगह मुड़ती हो, तो बाईं ओर खुलने वाले कोणों का योग, दाईं ओर खुलने वाले कोणों के योग के बराबर होता है। यहाँ बाईं ओर 35° (B पर) और $x$ (F पर) खुलते हैं, और दाईं ओर 65° (E पर) और 50° (D पर)। तो $35^\circ + x = 65^\circ + 50^\circ$, यानी $x$ = 80°। चाहें तो E और F से एक-एक समांतर रेखा खींचकर भी हल कर सकते हैं। तब तीन कदमों में यही उत्तर आता है।

प्रश्न 31

दो सम बहुभुजों की भुजाओं की संख्याओं का अनुपात $1 : 2$ है, और उनके अंतः कोणों का अनुपात $3 : 4$ है। प्रत्येक बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: भुजाएँ $n$ और $2n$ मान लेते हैं। तब अंतः कोण $180^\circ - \frac{360^\circ}{n}$ और $180^\circ - \frac{180^\circ}{n}$ होंगे। इनका अनुपात सरल करने पर $\frac{n - 2}{n - 1}$ आता है। अब $\frac{n - 2}{n - 1} = \frac{3}{4}$, यानी $4n - 8 = 3n - 3$, तो $n = 5$। मतलब बहुभुजों में 5 और 10 भुजाएँ हैं। इनके अंतः कोण $108^\circ$ और $144^\circ$ होते हैं, और $108 : 144 = 3 : 4$ ही है, तो उत्तर ठीक है।

प्रश्न 32

चतुर्भुज ABCD में $\angle C = 104^\circ$ और $\angle D = 66^\circ$ है। $\angle A$ और $\angle B$ के समद्विभाजक P पर मिलते हैं। $\angle APB$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: चतुर्भुज के चारों कोण मिलकर 360° होते हैं, इसलिए $\angle A + \angle B = 360^\circ - 104^\circ - 66^\circ = 190^\circ$ आता है। तो दोनों के आधों का योग $95^\circ$ है। त्रिभुज APB में $\angle APB = 180^\circ - 95^\circ$ = 85°। इसे और जल्दी करना हो, तो याद रखिए कि यह कोण बस $\frac{\angle C + \angle D}{2}$ होता है।

प्रश्न 33

ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है, जिसमें $AB = AD$ और $\angle BCD = 110^\circ$ है। $\angle ACB$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: A पर बना कोण, C वाले कोण का सम्मुख कोण है। दोनों का योग $180^\circ$ होता है, तो $\angle BAD = 70^\circ$। त्रिभुज ABD में $AB = AD$ है, इसलिए $\angle ABD = \angle ADB = \frac{180^\circ - 70^\circ}{2} = 55^\circ$। $\angle ACB$ उसी चाप AB पर टिका है, जिस पर $\angle ADB$ टिका है, तो $\angle ACB$ = 55°। इसी तरह $\angle ACD = 55^\circ$ भी आता है, और $55^\circ + 55^\circ = 110^\circ$, जो दिए गए कोण से मेल खाता है।

प्रश्न 34

त्रिभुज ABC में $\angle A = 90^\circ$ और $AD \perp BC$ है। यदि $AB = 9$ सेमी और $BD = 5.4$ सेमी है, तो BC और AC ज्ञात कीजिए।

उत्तर: जब समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर लंब डाला जाए, तो $AB^2 = BD \times BC$ होता है। इससे $BC = \frac{81}{5.4}$ = 15 सेमी आता है। अब $AC = \sqrt{225 - 81}$ = 12 सेमी। चाहें तो लंब भी निकाल लीजिए, $AD^2 = BD \times DC = 5.4 \times 9.6 = 51.84$, तो $AD = 7.2$ सेमी।

प्रश्न 35

त्रिभुज ABC में $\angle B = 45^\circ$, $\angle C = 30^\circ$ और $AB = 6\sqrt{2}$ सेमी है। AD, BC पर लंब है। BC ज्ञात कीजिए।

उत्तर: त्रिभुज ABD एक 45-45-90 त्रिभुज है, तो $AD = BD = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6$ सेमी। त्रिभुज ADC एक 30-60-90 त्रिभुज है, जिसमें AD, $30^\circ$ वाले कोण के सामने है। इसलिए $AC = 12$ सेमी है और $DC = 6\sqrt{3}$ सेमी। तो BC $= BD + DC$ = $6 + 6\sqrt{3}$ सेमी, यानी लगभग 16.4 सेमी।