वृत्त: स्पर्शरेखा, छेदक रेखा और दो वृत्त

वृत्त की स्पर्शरेखा

जो रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु पर छूती है, उसे स्पर्शरेखा (tangent) कहते हैं। जिस बिंदु पर वह छूती है, उसे स्पर्श बिंदु (point of contact) कहते हैं। जो रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है, वह छेदक रेखा (secant) कहलाती है।

स्पर्शरेखा को आप ऐसी छेदक रेखा भी मान सकते हैं, जिसके दोनों कटान-बिंदु खिसकते-खिसकते एक हो गए हों।

एक बिंदु से स्पर्शरेखाओं की संख्या: यह इस पर निर्भर करती है कि बिंदु कहाँ है।

• बिंदु वृत्त के अंदर हो, तो उससे एक भी स्पर्शरेखा नहीं खिंचती, क्योंकि उससे होकर जाने वाली हर रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है।
• बिंदु वृत्त पर हो, तो उससे ठीक एक स्पर्शरेखा खिंचती है।
• बिंदु वृत्त के बाहर हो, तो उससे ठीक दो स्पर्शरेखाएँ खिंचती हैं।

अब सबसे ज़रूरी नियम देखिए। स्पर्श बिंदु पर स्पर्शरेखा, त्रिज्या पर लंब होती है। मान लीजिए केंद्र $O$ है और स्पर्श बिंदु $T$, तो $OT$ स्पर्शरेखा से 90° का कोण बनाती है।

इसकी वजह सीधी है। स्पर्शरेखा पर $T$ को छोड़कर बाकी हर बिंदु वृत्त के बाहर है, इसलिए केंद्र से उसकी दूरी त्रिज्या से ज़्यादा है। और $O$ से किसी रेखा तक सबसे छोटा रेखाखंड लंब ही होता है। तो $OT$ ही वह लंब है।

इसका उलटा भी सही है। त्रिज्या के बाहरी सिरे से उस पर लंब रेखा खींचिए, तो वह रेखा स्पर्शरेखा होगी।

स्पर्शरेखा की लंबाई: मान लीजिए वृत्त के बाहर एक बिंदु $P$ है, जिसकी केंद्र से दूरी $d = OP$ है। इस बिंदु से खींची गई स्पर्शरेखा $PT$, समकोण त्रिभुज $OTP$ की एक भुजा है। इस त्रिभुज में समकोण $T$ पर है और कर्ण $OP$ है। तो पाइथागोरस से

$$PT = \sqrt{OP^2 - r^2} = \sqrt{d^2 - r^2}$$

इन तीनों में से कोई भी दो मान दिए हों, तो तीसरा तुरंत निकल आता है।

• $OP = 10$ सेमी और $r = 6$ सेमी हो, तो $PT = \sqrt{100 - 36} = 8$ सेमी।
• $PT = 24$ सेमी और $r = 7$ सेमी हो, तो $OP = \sqrt{576 + 49} = 25$ सेमी।
• $PT = 8$ सेमी और $OP = 10$ सेमी हो, तो $r = \sqrt{100 - 64} = 6$ सेमी।

समांतर स्पर्शरेखाएँ: किसी व्यास के दोनों सिरों पर स्पर्शरेखाएँ खींचिए। दोनों उस व्यास पर लंब होंगी, इसलिए आपस में समांतर होंगी। इनके बीच की दूरी व्यास के बराबर, यानी $2r$ होती है। जैसे कोई वृत्त 12 सेमी दूर दो समांतर रेखाओं के बीच है और दोनों को छूता है, तो उसकी त्रिज्या 6 सेमी है।

[SSC टिप] समकोण स्पर्श बिंदु पर होता है, केंद्र पर नहीं। इसलिए $PT = \sqrt{d^2 - r^2}$ में केंद्र से दूरी $OP$ ही कर्ण है। गलत विकल्प अक्सर दोनों वर्गों को घटाने की जगह जोड़कर बनाया जाता है।

बाहरी बिंदु से दो स्पर्शरेखाएँ

वृत्त के बाहर कोई बिंदु $P$ लीजिए। इससे वृत्त पर दो स्पर्शरेखाएँ खिंचती हैं, जो वृत्त को $A$ और $B$ पर छूती हैं।

पहला नियम यह है कि दोनों स्पर्शरेखाएँ बराबर होती हैं, यानी $PA = PB$।

यह समझने के लिए त्रिभुज $OAP$ और $OBP$ देखिए। दोनों में $A$ और $B$ पर समकोण है, कर्ण $OP$ दोनों में एक ही है, और $OA = OB$ है, क्योंकि दोनों त्रिज्याएँ हैं। इसलिए ये त्रिभुज सर्वांगसम (RHS) हैं। इसी सर्वांगसमता से दो बातें और निकलती हैं।

• रेखा $OP$, $\angle APB$ को समद्विभाजित करती है, और $\angle AOB$ को भी।
• रेखा $OP$, जीवा $AB$ की लंब समद्विभाजक है। इस जीवा को स्पर्श जीवा (chord of contact) कहते हैं।

$P$ पर कोण और $O$ पर कोण का योग 180°: चतुर्भुज $OAPB$ में $A$ और $B$ पर दोनों कोण 90° के हैं। तो बाकी दोनों कोणों का योग 180° ही बचता है।

$$\angle APB + \angle AOB = 180^\circ$$

जैसे दोनों स्पर्शरेखाओं के बीच 50° का कोण हो, तो स्पर्श बिंदुओं तक खींची गई दोनों त्रिज्याओं के बीच 130° का कोण होगा।

$A$ और $B$ पर बने कोणों का योग 180° है, इसलिए $OAPB$ एक चक्रीय चतुर्भुज भी है। इसके चारों शीर्ष जिस वृत्त पर हैं, $OP$ उसका व्यास है।

याद रखने लायक दो कोण:

• $\angle APB = 60^\circ$ हो, तो $\angle OPA = 30^\circ$ होगा। तब 30°-60°-90° वाले त्रिभुज $OAP$ में $OP = 2r$ और $PA = r\sqrt{3}$ आता है। जैसे $r = 5$ सेमी हो, तो $OP = 10$ सेमी और $PA = 5\sqrt{3}$ सेमी।
• $\angle APB = 90^\circ$ हो, तो $OAPB$ के चारों कोण समकोण हैं, और $PA = OA$ भी है। यानी यह एक वर्ग है। तब $PA = r$ और $OP = r\sqrt{2}$। जैसे $r = 4$ सेमी हो, तो $PA = 4$ सेमी।

[Tier 2] स्पर्श जीवा की लंबाई: $AB$ का आधा हिस्सा असल में समकोण त्रिभुज $OAP$ में $A$ से कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब है। इससे यह सूत्र मिलता है।

$$AB = \frac{2 \times PA \times r}{OP}$$

जैसे $OP = 10$ और $r = 6$ हो, तो $PA = 8$ आता है, और $AB = \frac{2 \times 8 \times 6}{10} = 9.6$।

इस पूरे भाग की सबसे काम की बात यही है कि बाहरी बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्शरेखाएँ बराबर होती हैं। बहुत-से प्रश्न, ख़ासकर परिमाप वाले, केवल इसी बात से निकल आते हैं। इसलिए जहाँ भी एक बिंदु से दो स्पर्शरेखाएँ दिखें, रफ़ चित्र में दोनों बराबर टुकड़ों पर निशान लगा लीजिए।

स्पर्शरेखाओं से बने कोण

मान लीजिए दो स्पर्शरेखाएँ $PA$ और $PB$ हैं, और उनके बीच का कोण $\angle APB = \theta$ है। अब इस आकृति के बाकी सारे कोण $\theta$ से ही निकल आते हैं।

• केंद्र पर कोण $\angle AOB = 180^\circ - \theta$ है।
• $PA = PB$ है, इसलिए त्रिभुज $PAB$ समद्विबाहु है। तो $\angle PAB = \angle PBA = 90^\circ - \frac{\theta}{2}$।
• $\angle OAB = 90^\circ - \angle PAB = \frac{\theta}{2}$। मतलब त्रिज्या और स्पर्श जीवा के बीच का कोण, दोनों स्पर्शरेखाओं के बीच के कोण का आधा होता है।
• दीर्घ चाप पर कोई बिंदु $C$ लें, तो $\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB = 90^\circ - \frac{\theta}{2}$। यह $\angle PAB$ के बराबर ही है।
• लघु चाप पर कोई बिंदु $D$ लें, तो $\angle ADB = 180^\circ - \angle ACB = 90^\circ + \frac{\theta}{2}$।

जैसे $\theta = 40^\circ$ हो, तो $\angle AOB = 140^\circ$, $\angle PAB = 70^\circ$, $\angle OAB = 20^\circ$, $\angle ACB = 70^\circ$ और $\angle ADB = 110^\circ$ आते हैं।

उलटा प्रश्न भी इतनी ही जल्दी हो जाता है। दीर्घ चाप के बिंदु $C$ पर $\angle ACB = 65^\circ$ दिया हो, तो $\angle AOB = 130^\circ$ होगा, और स्पर्शरेखाओं के बीच का कोण $50^\circ$।

$\angle PAB = \angle ACB$ होना कोई संयोग नहीं है। यही एकांतर वृत्तखंड प्रमेय (alternate segment theorem) है, जिसे आगे अलग से देखेंगे।

[Tier 2] चापों से कोण: बढ़ाने पर वृत्त के बाहर मिलने वाली दो जीवाओं की तरह, दो स्पर्शरेखाओं के बीच का कोण भी स्पर्श बिंदुओं के बीच वाले दोनों चापों के अंतर का आधा होता है, यानी $\theta = \frac{1}{2}\left(\text{दीर्घ चाप} - \text{लघु चाप}\right)$। जैसे $\theta = 40^\circ$ हो, तो चाप 220° और 140° के होंगे, और $\frac{220^\circ - 140^\circ}{2} = 40^\circ$ ही आता है।

[SSC टिप] यहाँ तीन मान बार-बार आते हैं, $\theta$, $180^\circ - \theta$ और $90^\circ - \frac{\theta}{2}$। स्पर्शरेखा के कोण वाले ज़्यादातर प्रश्नों का उत्तर इनमें से कोई एक होता है, और बाकी दो अक्सर विकल्पों में दिए होते हैं। इसलिए हिसाब शुरू करने से पहले तय कर लीजिए कि कौन-सा कोण पूछा गया है।

संकेंद्रीय वृत्त और समांतर स्पर्शरेखाएँ

बड़े वृत्त की जीवा, जो छोटे वृत्त को छूती है: मान लीजिए एक ही केंद्र $O$ वाले दो वृत्त हैं। बड़े की त्रिज्या $R$ है और छोटे की $r$। बड़े वृत्त की एक जीवा $AB$ छोटे वृत्त को $M$ पर छूती है।

यह जीवा छोटे वृत्त की स्पर्शरेखा है, इसलिए त्रिज्या उस पर लंब है, यानी $OM \perp AB$। केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, तो $M$, $AB$ का मध्य-बिंदु है। इससे

$$AB = 2\sqrt{R^2 - r^2}$$

• $R = 10$ सेमी और $r = 6$ सेमी हो, तो $AB = 2\sqrt{100 - 36} = 16$ सेमी।
• 39 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की 72 सेमी लंबी जीवा, उसी केंद्र वाले छोटे वृत्त को छूती है। आधी जीवा 36 सेमी हुई, तो $r = \sqrt{1521 - 1296} = 15$ सेमी।

ऐसी सभी जीवाएँ बराबर लंबाई की होती हैं, क्योंकि हर एक केंद्र से ठीक $r$ दूरी पर है।

दोनों वृत्तों के बीच के वलय का क्षेत्रफल पूछा जाए, तो वह अध्याय 13 का प्रश्न है। वहाँ यही आधी जीवा $\sqrt{R^2 - r^2}$ काम आती है।

दो समांतर स्पर्शरेखाएँ और एक तीसरी: व्यास $AB$ के दोनों सिरों पर खींची गई स्पर्शरेखाएँ समांतर होती हैं। अब एक तीसरी स्पर्शरेखा लीजिए, जो वृत्त को $C$ पर छूती है और इन दोनों को $X$ और $Y$ पर काटती है।

एक बिंदु से खींची गई स्पर्शरेखाएँ बराबर होती हैं, इसलिए $XA = XC$ और $YB = YC$। इससे $OX$, $\angle AOC$ को समद्विभाजित करती है, और $OY$, $\angle BOC$ को। ये दोनों कोण मिलकर ऋजु कोण $AOB$ बनाते हैं। तो

$$\angle XOY = \frac{1}{2} \times 180^\circ = 90^\circ$$

$C$ वृत्त पर कहीं भी हो, यह कोण हमेशा समकोण ही रहता है।

साथ में दो बातें और मिलती हैं। $XY = XA + YB$ होता है। और $OC$, समकोण त्रिभुज $XOY$ का शीर्षलंब है, इसलिए $XC \times CY = r^2$।

इसे ऐसे याद रखिए। "व्यास के सिरों पर स्पर्शरेखाएँ" और "$2r$ दूरी पर समांतर स्पर्शरेखाएँ" एक ही बात है। दो समांतर स्पर्शरेखाओं को काटने वाली स्पर्शरेखा केंद्र पर हमेशा समकोण बनाती है। SSC में यह एक पंक्ति का प्रश्न होता है।

एक बिंदु से स्पर्शरेखा और छेदक रेखा

मान लीजिए बाहरी बिंदु $P$ से एक स्पर्शरेखा $PT$ खींची गई है। साथ में एक छेदक रेखा भी है, जो वृत्त को पहले पास वाले बिंदु $A$ पर और फिर दूर वाले बिंदु $B$ पर काटती है। तब

$$PT^2 = PA \times PB$$

यह नियम त्रिभुज $PTA$ और $PBT$ से निकलता है। $P$ वाला कोण दोनों में एक ही है। और एकांतर वृत्तखंड प्रमेय से $\angle PTA = \angle PBT$ है। यह प्रमेय इसी खंड में आगे आएगा। तो दोनों त्रिभुज समरूप हैं, और $\frac{PT}{PB} = \frac{PA}{PT}$। तिरछा गुणा कीजिए, यही नियम मिल जाता है।

• $PA = 5$ सेमी और $AB = 15$ सेमी हो, तो $PB = 20$ सेमी है, और $PT = \sqrt{5 \times 20} = 10$ सेमी।
• $PT = 15$ सेमी और $PA = 9$ सेमी हो, तो $PB = \frac{225}{9} = 25$ सेमी। यानी जीवा $AB = 16$ सेमी है।

एक बिंदु से दो छेदक रेखाएँ: अब $P$ से दो छेदक रेखाएँ खींचिए, जो वृत्त को $A$, $B$ पर और $C$, $D$ पर काटती हैं। यहाँ $A$ और $C$ पास वाले बिंदु हैं। दोनों गुणनफल $PT^2$ के बराबर हैं, इसलिए

$$PA \times PB = PC \times PD$$

जैसे $PA = 3$, $PB = 10$ और $PC = 2$ हो, तो $PD = 15$ आता है, और जीवा $CD = 13$।

वृत्त के अंदर एक-दूसरे को काटने वाली जीवाओं का यही नियम आप "वृत्त: जीवा, चाप और कोण" वाले खंड में पढ़ चुके हैं। बस अब $P$ वृत्त के बाहर है। बाहरी बिंदु के लिए ऐसा हर गुणनफल $OP^2 - r^2$ के बराबर होता है, और पाइथागोरस से यही $PT^2$ है।

[SSC टिप] गुणा हमेशा $P$ से नापी गई पूरी लंबाइयों का होता है, यानी $PA \times PB$, कभी $PA \times AB$ नहीं। प्रश्न में जीवा $AB$ दी हो, तो पहले उसमें $PA$ जोड़िए। $PB$ की जगह $AB$ ले लेने से जो उत्तर आता है, वह लगभग हर बार गलत विकल्प के रूप में दिया होता है।

एकांतर वृत्तखंड प्रमेय

यह प्रमेय कहता है कि स्पर्श बिंदु पर स्पर्शरेखा और जीवा के बीच जो कोण बनता है, ठीक उतना ही कोण यह जीवा अपनी दूसरी ओर वाले वृत्त-भाग (एकांतर वृत्तखंड) के किसी भी बिंदु पर बनाती है।

आकृति में $A$ पर स्पर्शरेखा $XY$ है और जीवा $AB$ है। मान लीजिए $\angle BAY = x$। यहाँ एकांतर वृत्तखंड, $AB$ की दूसरी ओर वाला वह वृत्त-भाग है जो $Y$ से दूर है। वहाँ कोई भी बिंदु $C$ लें, तो $\angle ACB = x$ होगा।

इसका कारण देखिए। त्रिज्या $OA$ स्पर्शरेखा से 90° पर है, तो $\angle OAB = 90^\circ - x$। त्रिभुज $OAB$ समद्विबाहु है, इसलिए $\angle AOB = 180^\circ - 2(90^\circ - x) = 2x$। दीर्घ चाप के किसी भी बिंदु पर यही जीवा इसका आधा कोण बनाती है, यानी $x$।

इससे एक और बात निकलती है। स्पर्शरेखा और जीवा के बीच का कोण, जीवा से केंद्र पर बने कोण का आधा भी होता है।

अब जीवा की उस ओर देखिए जहाँ कोण $x$ बना है। उस ओर के पास वाले चाप पर कोई बिंदु लें, तो वहाँ यह जीवा $180^\circ - x$ का कोण बनाती है।

• मान लीजिए $A$ पर स्पर्शरेखा जीवा $AB$ से 55° का कोण बनाती है। तो एकांतर वृत्तखंड में कोण 55° होगा, $\angle AOB = 110^\circ$ होगा, और दूसरे चाप के बिंदु पर $AB$ से 125° का कोण बनेगा।
• वृत्त में त्रिभुज $ABC$ बना है। $A$ पर स्पर्शरेखा एक ओर $AB$ से 50° का और दूसरी ओर $AC$ से 60° का कोण बनाती है। तो $\angle ACB = 50^\circ$, $\angle ABC = 60^\circ$ और $\angle BAC = 70^\circ$। जाँच भी हो जाती है, स्पर्शरेखा के साथ $A$ पर बने तीनों कोणों का योग 180° है, जैसा होना चाहिए।

व्यास के साथ: मान लीजिए $AB$ व्यास है। वृत्त के बिंदु $C$ पर स्पर्शरेखा खींची गई, जो बढ़ाई गई $AB$ से $B$ के आगे $P$ पर मिलती है। इस प्रमेय से $\angle PCB = \angle CAB$। अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है, इसलिए $\angle ABC = 90^\circ - \angle CAB$। और $\angle ABC$ त्रिभुज $PBC$ का बाह्य कोण है। इससे

$$\angle P = 90^\circ - 2\angle CAB$$

जैसे $\angle CAB = 25^\circ$ हो, तो $\angle P = 40^\circ$।

यहाँ सबसे ज़्यादा ध्यान इस बात का रखना है कि कोण को सही वृत्तखंड से मिलाएँ। जीवा की एक ओर स्पर्शरेखा पर जो कोण बनता है, वह दूसरी ओर वाले वृत्तखंड के कोण के बराबर होता है। गलत ओर ले लिया, तो $180^\circ - x$ आएगा, और यह मान हमेशा विकल्पों में होता है।

वृत्त के परिगत चतुर्भुज

मान लीजिए चतुर्भुज $ABCD$ की चारों भुजाएँ एक वृत्त को छूती हैं। तब कहते हैं कि चतुर्भुज वृत्त के परिगत (circumscribes) है, और वृत्त चतुर्भुज में अंतर्निहित (inscribed) है। ऐसे चतुर्भुज के हर शीर्ष से वृत्त पर दो बराबर स्पर्शरेखाएँ खिंचती हैं।

मान लीजिए $A$, $B$, $C$ और $D$ से स्पर्शरेखाओं की लंबाइयाँ $a$, $b$, $c$ और $d$ हैं। तो $AB = a + b$, $BC = b + c$, $CD = c + d$ और $DA = d + a$। अब सम्मुख भुजाओं को जोड़कर देखिए।

$$AB + CD = AD + BC = a + b + c + d$$

मतलब सम्मुख भुजाओं के दोनों जोड़ों का योग बराबर होता है। परिमाप इसका दोगुना, यानी $2(AB + CD)$ होता है।

• जैसे $AB = 6$ सेमी, $BC = 10$ सेमी और $CD = 13$ सेमी हो, तो $AD = 6 + 13 - 10 = 9$ सेमी। परिमाप $2 \times 19 = 38$ सेमी है।

कौन-से चतुर्भुज वृत्त के परिगत हो सकते हैं: कोई समांतर चतुर्भुज वृत्त के परिगत हो, तो उसमें $AB = CD$ और $BC = AD$ होता है। ऊपर वाले नियम में रखें, तो $2AB = 2BC$ आता है। यानी चारों भुजाएँ बराबर हैं, और वह समचतुर्भुज ही होगा। इसी तरह, वृत्त के परिगत आयत वर्ग ही होता है। और वृत्त के परिगत समलंब चतुर्भुज की दोनों समांतर भुजाएँ स्पर्शरेखाएँ होती हैं, इसलिए उसकी ऊँचाई वृत्त के व्यास के बराबर होती है।

[Tier 2] केंद्र पर कोण: केंद्र से चारों शीर्षों तक रेखाएँ खींचिए। ये रेखाएँ चतुर्भुज के चारों कोणों को समद्विभाजित करती हैं। सम्मुख भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण बनाती हैं, यानी $\angle AOB + \angle COD = 180^\circ$। कारण यह है कि ऐसा हर कोण, $180^\circ$ में से दो शीर्ष-कोणों के योग का आधा घटाने पर मिलता है, और चारों शीर्ष-कोणों का योग 360° होता है।

अलग-अलग स्पर्शरेखा-लंबाइयाँ निकालने की ज़रूरत शायद ही कभी पड़ती है। ज़्यादातर प्रश्न सम्मुख भुजाओं वाले नियम से एक ही पंक्ति में हो जाते हैं।

शब्दों पर ध्यान दीजिए। "चतुर्भुज में अंतर्निहित वृत्त" हो, तो यही नियम लगेगा। पर "वृत्त में अंतर्निहित चतुर्भुज" हो, तो वह चक्रीय चतुर्भुज है, और उसके सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।

त्रिभुज के अंदर वृत्त: स्पर्शरेखा-लंबाइयाँ

त्रिभुज $ABC$ का अंतःवृत्त (incircle) भुजाओं $BC$, $CA$ और $AB$ को क्रमशः $D$, $E$ और $F$ पर छूता है। हर शीर्ष से वृत्त पर दो बराबर स्पर्शरेखाएँ हैं, इसलिए हर भुजा दो स्पर्शरेखा-लंबाइयों में बँट जाती है।

भुजाओं के नाम $a = BC$, $b = CA$ और $c = AB$ रखिए, और अर्धपरिमाप (semi-perimeter) $s = \frac{a + b + c}{2}$ लीजिए। तब

$$AF = AE = s - a \qquad BD = BF = s - b \qquad CD = CE = s - c$$

यानी हर शीर्ष से स्पर्शरेखा की लंबाई, $s$ में से उस शीर्ष के सामने वाली भुजा घटाने पर मिलती है।

जैसे $BC = 14$, $CA = 15$ और $AB = 13$ हो, तो $s = 21$। इससे $AF = 7$, $BD = 6$ और $CD = 8$ आते हैं। जाँच कर लीजिए, $BD + CD = 14 = BC$।

समकोण त्रिभुज: मान लीजिए समकोण $C$ पर है। वहाँ दो स्पर्शरेखाएँ और दो त्रिज्याएँ मिलकर एक वर्ग बनाती हैं, इसलिए $C$ से दोनों स्पर्शरेखाएँ $r$ के बराबर हैं। तो $A$ और $B$ से स्पर्शरेखाएँ $b - r$ और $a - r$ हैं। ये दोनों मिलकर कर्ण के बराबर होती हैं, यानी $(a - r) + (b - r) = c$। इससे

$$r = \frac{a + b - c}{2}$$

जैसे समकोण बनाने वाली भुजाएँ 8 और 15 हों और कर्ण 17, तो $r = \frac{8 + 15 - 17}{2} = 3$। किसी भी त्रिभुज के लिए सामान्य सूत्र $r = \frac{\Delta}{s}$ है, जो "त्रिभुज के केंद्र" वाले खंड में दिया है।

तीसरी स्पर्शरेखा: स्पर्शरेखाएँ $PA$ और $PB$ वृत्त को छूती हैं। लघु चाप के किसी बिंदु $R$ पर एक तीसरी स्पर्शरेखा खींचिए, जो $PA$ को $X$ पर और $PB$ को $Y$ पर काटे। एक बिंदु से खींची गई स्पर्शरेखाएँ बराबर होती हैं, इसलिए $XR = XA$ और $YR = YB$। तो

$$PX + XY + YP = PX + XA + YB + YP = PA + PB = 2PA$$

मतलब त्रिभुज $PXY$ का परिमाप स्पर्शरेखा की लंबाई का दोगुना होता है, $R$ चाप पर कहीं भी हो। जैसे $PA = 9$ सेमी हो, तो परिमाप 18 सेमी होगा। ([Tier 2] यहाँ यह वृत्त त्रिभुज $PXY$ का बहिर्वृत्त (excircle) है, इसलिए $PA$ उस त्रिभुज का अर्धपरिमाप है।)

$s$ में से कौन-सी भुजा घटानी है, इसमें छात्र अक्सर उलझ जाते हैं। $A$ से स्पर्शरेखा निकालनी हो, तो $a = BC$ घटाइए, यानी वह भुजा जो $A$ को नहीं छूती। जाँच के लिए दो स्पर्शरेखा-लंबाइयाँ जोड़कर देखिए, कोई एक भुजा आनी चाहिए।

दो वृत्त: स्पर्श, प्रतिच्छेद और उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ

मान लीजिए दो वृत्तों की त्रिज्याएँ $R \ge r$ हैं, और उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d$ है। अब $d$ की तुलना $R + r$ और $R - r$ से कीजिए। इसी से पता चलता है कि दोनों वृत्तों की स्थिति क्या है, और ऐसी कितनी रेखाएँ हैं जो दोनों वृत्तों को छूती हैं। इन रेखाओं को उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ (common tangents) कहते हैं।

एक ही केंद्र वाले वृत्तों में $d = 0$ होता है, इसलिए वे आख़िरी पंक्ति में आते हैं।

जब दो वृत्त स्पर्श करते हैं, तो स्पर्श बिंदु केंद्रों को मिलाने वाली रेखा पर होता है। उस बिंदु पर उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा इस रेखा पर लंब होती है।

उदाहरण के लिए $R = 7$ सेमी और $r = 3$ सेमी लीजिए। $d = 10$ सेमी हो, तो वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, और उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ 3 हैं। $d = 4$ सेमी हो, तो आंतरिक स्पर्श है, और उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा केवल 1 है। $d = 6$ सेमी हो, तो वृत्त प्रतिच्छेद करते हैं, और स्पर्शरेखाएँ 2 हैं। $d = 12$ सेमी हो, तो वृत्त अलग-अलग हैं, और स्पर्शरेखाएँ 4 हैं। और $d = 2$ सेमी हो, तो छोटा वृत्त बड़े के अंदर है और उसे छूता भी नहीं। तब उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाओं की संख्या 0 है।

प्रत्यक्ष और अनुप्रस्थ: जिस उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा के एक ही ओर दोनों वृत्त हों, वह प्रत्यक्ष (direct) उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है। जो दोनों वृत्तों के बीच से गुज़रे और केंद्रों को मिलाने वाली रेखा को काटे, वह अनुप्रस्थ (transverse) है।

अनुप्रस्थ स्पर्शरेखाएँ दो ही हालतों में होती हैं। वृत्त अलग-अलग हों, तो ये दो होती हैं। वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हों, तो दोनों मिलकर एक हो जाती हैं, यानी स्पर्श बिंदु वाली स्पर्शरेखा।

स्पर्श वाली स्थितियों में प्रश्न उलटा भी आता है, यानी स्थिति बताकर दूरी पूछी जाती है। जैसे यह प्रश्न देखिए, "9 सेमी और 5 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्त एक-दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं। उनके केंद्रों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।" उत्तर 9 − 5 = 4 सेमी है, 14 सेमी नहीं। याद रखिए, आंतरिक स्पर्श हो तो घटाना है।

प्रत्यक्ष और अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ

मान लीजिए त्रिज्याएँ $R$ और $r$ हैं, और केंद्रों के बीच की दूरी $d$ है। उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई का मतलब है उसके दोनों स्पर्श बिंदुओं के बीच की दूरी। यह इन सूत्रों से निकलती है।

$$\text{प्रत्यक्ष: } L = \sqrt{d^2 - (R - r)^2} \qquad \text{अनुप्रस्थ: } L = \sqrt{d^2 - (R + r)^2}$$

प्रत्यक्ष स्पर्शरेखा वाला सूत्र ऐसे आता है। त्रिज्याएँ $O_1A$ और $O_2B$ दोनों स्पर्शरेखा $AB$ पर लंब हैं। अब $O_2$ से $AB$ के समांतर एक रेखा खींचिए, जो $O_1A$ से $N$ पर मिले। तो $ABO_2N$ एक आयत है, जिसमें $O_2N = AB$ और $O_1N = R - r$। अब त्रिभुज $O_1NO_2$ में पाइथागोरस लगाइए, $AB^2 = d^2 - (R - r)^2$ मिल जाता है।

अनुप्रस्थ स्पर्शरेखा में दोनों त्रिज्याएँ उलटी दिशाओं में होती हैं। रचना वही है, बस वह रेखा बढ़ाई गई $O_1A$ से मिलती है। इसलिए यहाँ $O_1N = R + r$ आता है।

जैसे $R = 6$ सेमी, $r = 2$ सेमी और $d = 10$ सेमी हो, तो प्रत्यक्ष स्पर्शरेखा $\sqrt{100 - 16} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}$ सेमी है, और अनुप्रस्थ $\sqrt{100 - 64} = 6$ सेमी। प्रत्यक्ष स्पर्शरेखा हमेशा दोनों में लंबी होती है।

केंद्रों वाली रेखा को स्पर्शरेखाएँ कहाँ काटती हैं: अनुप्रस्थ स्पर्शरेखा $O_1O_2$ को बिंदु $Q$ पर $R : r$ के अनुपात में बाँटती है। ऊपर वाले उदाहरण में $O_1Q = 10 \times \frac{6}{8} = 7.5$ सेमी और $O_2Q = 2.5$ सेमी है।

दोनों प्रत्यक्ष स्पर्शरेखाएँ, छोटे वृत्त के आगे तक बढ़ाई गई $O_1O_2$ पर एक बिंदु $X$ पर मिलती हैं। यहाँ $\frac{XO_1}{XO_2} = \frac{R}{r} = 3$ है, और साथ में $XO_1 - XO_2 = 10$ भी। इससे $XO_2 = 5$ सेमी आता है।

ये दोनों बातें समरूप समकोण त्रिभुजों से निकलती हैं। हर वृत्त की त्रिज्या और स्पर्शरेखा से ऐसा एक त्रिभुज बनता है।

[SSC टिप] प्रत्यक्ष में $R - r$ आता है और अनुप्रस्थ में $R + r$। सबसे ज़्यादा गलती इन्हीं दोनों को आपस में बदल देने से होती है। जल्दी जाँचने के लिए याद रखिए कि अनुप्रस्थ स्पर्शरेखा छोटी होती है, और वह तभी बनती है जब $d > R + r$ हो। वृत्त स्पर्श करते हों, तो उसकी लंबाई शून्य होती है।

स्पर्श करते वृत्त और तीन वृत्त

बाह्य रूप से स्पर्श करते दो वृत्त: इनमें $d = R + r$ होता है। इसे प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा वाले सूत्र में रखिए।

$$AB = \sqrt{(R + r)^2 - (R - r)^2} = \sqrt{4Rr} = 2\sqrt{Rr}$$

जैसे त्रिज्याएँ 8 सेमी और 2 सेमी हों, तो $AB = 2\sqrt{16} = 8$ सेमी।

अब मान लीजिए दोनों वृत्त $P$ पर स्पर्श करते हैं। $P$ पर उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा खींचिए, जो $AB$ से $M$ पर मिलती है। $M$ से हर वृत्त पर दो स्पर्शरेखाएँ हैं, इसलिए $MA = MP$ और $MP = MB$। इसलिए $M$, $AB$ का मध्य-बिंदु है, और $MP = \sqrt{Rr}$। मतलब $P$ उस वृत्त पर है जिसका व्यास $AB$ है। तो

$$\angle APB = 90^\circ$$

यह बाह्य रूप से स्पर्श करते किन्हीं भी दो वृत्तों के लिए सही है। इसी तरह $MO_1$ और $MO_2$, $M$ पर बने दोनों कोणों को समद्विभाजित करती हैं। वे दोनों कोण मिलकर 180° हैं, इसलिए $\angle O_1MO_2 = 90^\circ$ भी होता है।

एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते तीन वृत्त: इनके केंद्रों को मिलाने से एक त्रिभुज बनता है। उसकी हर भुजा दो त्रिज्याओं के योग के बराबर है, इसलिए उसका परिमाप $2(r_1 + r_2 + r_3)$ है।

उलटा भी हो सकता है। केंद्रों के बीच की दूरियाँ दी हों, तो हर त्रिज्या अर्धपरिमाप में से उसके केंद्र के सामने वाली भुजा घटाने पर मिलती है। यह ठीक त्रिभुज की स्पर्शरेखा-लंबाइयों जैसा है।

जैसे केंद्र $A$, $B$, $C$ हैं, और $AB = 5$, $BC = 6$ और $CA = 7$। तो $s = 9$। अब $A$ पर त्रिज्या $s - BC = 3$ है, $B$ पर $s - CA = 2$ और $C$ पर $s - AB = 4$। जाँच कर लीजिए, $3 + 2 = 5$, $2 + 4 = 6$ और $3 + 4 = 7$।

$r$ त्रिज्या वाले तीन बराबर वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श करें, तो उनके केंद्रों से $2r$ भुजा वाला समबाहु त्रिभुज बनता है।

[Tier 2] बीच की खाली जगह में छोटा वृत्त: $r_1$ और $r_2$ त्रिज्या वाले दो वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं, और एक सरल रेखा को भी। इन दोनों के बीच की खाली जगह में एक छोटा वृत्त है, जो दोनों वृत्तों को और उसी रेखा को छूता है। इसकी त्रिज्या $r_3$ हो, तो

$$\frac{1}{\sqrt{r_3}} = \frac{1}{\sqrt{r_1}} + \frac{1}{\sqrt{r_2}}$$

इसका कारण यह है कि स्पर्श करते दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा $2\sqrt{Rr}$ होती है। सरल रेखा पर तीनों जोड़ों के स्पर्श बिंदुओं की दूरी इसी से लिखिए, तो $2\sqrt{r_1 r_3} + 2\sqrt{r_3 r_2} = 2\sqrt{r_1 r_2}$ आता है। जैसे दोनों बड़े वृत्तों की त्रिज्या 4 हो, तो $\frac{1}{\sqrt{r_3}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$, यानी $r_3 = 1$।

स्पर्श करते वृत्तों में सीधे $2\sqrt{Rr}$ लगाइए। यह पूरे सूत्र से तेज़ है।

"$\angle APB = 90^\circ$" वाला छोटा-सा, झटपट हो जाने वाला प्रश्न पेपर बनाने वालों को बहुत पसंद है। इसके विकल्पों में 60° और "ज्ञात नहीं किया जा सकता" भी दिए होते हैं।

वर्ग, त्रिभुज और दूसरे वृत्तों में वृत्त

"एक आकृति के अंदर दूसरी" वाले प्रश्नों में बस दो दूरियों में से एक चाहिए होती है, केंद्र से भुजा तक की दूरी या केंद्र से शीर्ष तक की।

$a$ भुजा वाला वर्ग: अंदर वाला वृत्त चारों भुजाओं को छूता है, तो उसका व्यास $a$ है और $r = \frac{a}{2}$। बाहर वाला वृत्त चारों शीर्षों से होकर जाता है, तो उसका व्यास विकर्ण के बराबर है, यानी $a\sqrt{2}$। इसलिए $R = \frac{a}{\sqrt{2}}$। दोनों का अनुपात $R : r = \sqrt{2} : 1$ होता है।

जैसे 10 सेमी भुजा वाले वर्ग में $r = 5$ सेमी और $R = 5\sqrt{2}$ सेमी है। उलटा सोचें, तो $R$ त्रिज्या वाले वृत्त में जो सबसे बड़ा वर्ग समा सकता है, उसकी भुजा $R\sqrt{2}$ है।

त्रिभुज: समकोण त्रिभुज में $r = \frac{a + b - c}{2}$ और $R = \frac{c}{2}$, क्योंकि कर्ण ही परिवृत्त का व्यास है। $a$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज में $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ और $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = 2r$। बाकी केंद्रों की बात "त्रिभुज के केंद्र" वाले खंड में है।

अर्धवृत्त में सबसे बड़ा वृत्त: $R$ त्रिज्या वाले अर्धवृत्त में सबसे बड़ा वृत्त व्यास को उसके मध्य-बिंदु पर छूता है, और चाप को सबसे ऊपर वाले बिंदु पर। इसलिए उसका व्यास $R$ है और त्रिज्या $\frac{R}{2}$।

[Tier 2] चतुर्थांश में सबसे बड़ा वृत्त: $R$ त्रिज्या वाला चौथाई वृत्त, यानी चतुर्थांश (quadrant) लीजिए। इसके अंदर वह वृत्त चाहिए जो दोनों सीधे किनारों और चाप को छूता है। उसका केंद्र कोने वाले समकोण के समद्विभाजक पर होता है, कोने से $r\sqrt{2}$ की दूरी पर। इसमें $r$ जोड़ें, तो चाप तक पहुँच जाते हैं।

$$r\sqrt{2} + r = R \;\Rightarrow\; r = \frac{R}{\sqrt{2} + 1} = R(\sqrt{2} - 1)$$

जैसे $R = 10$ सेमी हो, तो $r = 10(\sqrt{2} - 1)$, यानी लगभग 4.14 सेमी।

वृत्त के अंदर वृत्त: $R$ त्रिज्या वाले वृत्त के अंदर दो बराबर वृत्त हैं, जो एक-दूसरे को और बड़े वृत्त को छूते हैं। तो हर एक की त्रिज्या $\frac{R}{2}$ है, क्योंकि उनके दोनों व्यास मिलकर बड़े वृत्त का एक व्यास बनाते हैं।

[Tier 2] तीन बराबर वृत्त एक-दूसरे को और बड़े वृत्त को छूते हों, तो उनके केंद्रों से $2r$ भुजा वाला समबाहु त्रिभुज बनता है। इस त्रिभुज का केंद्र हर शीर्ष से $\frac{2r}{\sqrt{3}}$ दूर है। इसमें $r$ जोड़ने पर $R$ मिलता है, जिससे $r = \frac{\sqrt{3}R}{2 + \sqrt{3}} = (2\sqrt{3} - 3)R$ आता है।

एक नियम याद रख लीजिए। कोई वृत्त किसी समकोण वाले कोने में दोनों भुजाओं को छूता हो, तो उसका केंद्र कोने से $r\sqrt{2}$ दूर होता है। चतुर्थांश और "कोने में वृत्त" वाले ज़्यादातर प्रश्न इसी एक बात से हल हो जाते हैं।

हल किए गए उदाहरण

अब कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं।

प्रश्न 1

एक बिंदु $P$, 11 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से 61 सेमी की दूरी पर है। $P$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्शरेखा की लंबाई कितनी है? (a) 50 सेमी (b) $\sqrt{3842}$ सेमी (c) 60 सेमी (d) 72 सेमी

उत्तर: त्रिज्या स्पर्शरेखा से समकोण पर मिलती है, इसलिए यहाँ $OP$ समकोण त्रिभुज का कर्ण है। तो स्पर्शरेखा $= \sqrt{61^2 - 11^2} = \sqrt{3721 - 121} = \sqrt{3600}$ = (c) 60 सेमी।

प्रश्न 2

एक बिंदु $P$ से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्शरेखा 20 सेमी लंबी है, और $P$ वृत्त के केंद्र से 29 सेमी की दूरी पर है। वृत्त की त्रिज्या कितनी है? (a) 21 सेमी (b) 9 सेमी (c) $\sqrt{1241}$ सेमी (d) 49 सेमी

उत्तर: त्रिज्या, स्पर्शरेखा और $OP$ मिलकर एक त्रिभुज बनाते हैं, जिसमें स्पर्श बिंदु पर समकोण है। इसका कर्ण $OP = 29$ है। तो $r = \sqrt{29^2 - 20^2} = \sqrt{841 - 400} = \sqrt{441}$ = (a) 21 सेमी।

प्रश्न 3

$PA$ और $PB$, बिंदु $P$ से $O$ केंद्र वाले वृत्त पर खींची गई स्पर्शरेखाएँ हैं। यदि $\angle APB = 64^\circ$ है, तो $\angle OAB$ का मान क्या है? (a) 58° (b) 116° (c) 64° (d) 32°

उत्तर: $P$ पर बना कोण और $O$ पर बना कोण मिलकर 180° होते हैं, तो $\angle AOB = 116^\circ$। त्रिभुज $OAB$ में $OA = OB$ है, क्योंकि दोनों त्रिज्याएँ हैं। इसलिए $\angle OAB = \frac{180^\circ - 116^\circ}{2}$ = (d) 32°। यह $\angle APB$ का ठीक आधा है, जैसा होना चाहिए। 58° वाला विकल्प $\angle PAB$ है, यानी स्पर्शरेखा और जीवा के बीच का कोण। उसे चुनना गलत होगा।

प्रश्न 4

9 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त पर बिंदु $P$ से खींची गई दो स्पर्शरेखाएँ एक-दूसरे से 60° का कोण बनाती हैं। प्रत्येक स्पर्शरेखा की लंबाई कितनी है? (a) 18 सेमी (b) $9\sqrt{3}$ सेमी (c) 9 सेमी (d) $3\sqrt{3}$ सेमी

उत्तर: $OP$ रेखा 60° वाले कोण को आधा-आधा बाँट देती है, तो $\angle OPA = 30^\circ$। त्रिभुज $OAP$ में समकोण $A$ पर है, यानी यह 30°-60°-90° वाला त्रिभुज है। इसमें 30° के सामने की भुजा कर्ण की आधी होती है। यहाँ वह भुजा $OA = 9$ है, तो $OP = 18$ सेमी। 60° के सामने की भुजा छोटी भुजा की $\sqrt{3}$ गुनी होती है, इसलिए $PA$ = (b) $9\sqrt{3}$ सेमी।

प्रश्न 5

$PA$ और $PB$, $O$ केंद्र वाले वृत्त की स्पर्शरेखाएँ हैं, और $\angle APB = 72^\circ$ है। $C$ दीर्घ चाप $AB$ पर स्थित एक बिंदु है। $\angle ACB$ का मान क्या है? (a) 36° (b) 108° (c) 54° (d) 126°

उत्तर: पहले केंद्र पर बना कोण निकाल लेते हैं, $\angle AOB = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$। $C$ दीर्घ चाप पर है, तो वहाँ इसका आधा कोण बनेगा, यानी $\angle ACB$ = (c) 54°। सीधे $90^\circ - \frac{72^\circ}{2}$ से भी यही आता है। 126° वाला विकल्प लघु चाप के बिंदु का कोण है, इसलिए वह गलत है।

प्रश्न 6

एक ही केंद्र वाले दो वृत्तों की त्रिज्याएँ 50 सेमी और 14 सेमी हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई कितनी है, जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है? (a) 96 सेमी (b) 48 सेमी (c) 72 सेमी (d) $4\sqrt{674}$ सेमी

उत्तर: जीवा छोटे वृत्त को छूती है, इसलिए छोटे वृत्त की त्रिज्या उस पर लंब है। केंद्र से जीवा पर डाला गया यह लंब जीवा को आधा-आधा बाँटता है। आधी जीवा $\sqrt{50^2 - 14^2} = \sqrt{2304} = 48$ सेमी है, तो पूरी जीवा (a) 96 सेमी है।

प्रश्न 7

एक बिंदु $P$ से किसी वृत्त पर एक स्पर्शरेखा $PT$ और एक छेदक रेखा $PAB$ खींची गई है। यदि $PA = 4$ सेमी और $AB = 5$ सेमी है, तो $PT$ की लंबाई कितनी है? (a) $2\sqrt{5}$ सेमी (b) 3 सेमी (c) 4.5 सेमी (d) 6 सेमी

उत्तर: यहाँ पूरी छेदक लंबाई चाहिए, $PB = PA + AB = 9$ सेमी। अब $PT^2 = PA \times PB = 4 \times 9 = 36$, तो $PT$ = (d) 6 सेमी। कई छात्र $PA \times AB = 20$ ले लेते हैं और $2\sqrt{5}$ सेमी पर पहुँच जाते हैं। यह बहुत आम चूक है।

प्रश्न 8

एक बाह्य बिंदु $P$ से वृत्त पर दो छेदक रेखाएँ $PAB$ और $PCD$ खींची गई हैं। यदि $PA = 5$ सेमी, $AB = 7$ सेमी और $PC = 6$ सेमी है, तो $CD$ की लंबाई कितनी है? (a) 10 सेमी (b) 4 सेमी (c) $\frac{35}{6}$ सेमी (d) 6 सेमी

उत्तर: लंबाइयाँ $P$ से पूरी-पूरी लेनी हैं, तो $PB = 5 + 7 = 12$ सेमी। अब $PC \times PD = PA \times PB = 60$, जिससे $PD = 10$ सेमी आता है। तो $CD = PD - PC = 10 - 6$ = (b) 4 सेमी।

प्रश्न 9

एक बिंदु $P$ से किसी वृत्त पर एक स्पर्शरेखा $PT$ और एक छेदक रेखा $PAB$ खींची गई है। यदि $PT = 14$ सेमी और $PA = 7$ सेमी है, तो जीवा $AB$ की लंबाई कितनी है? (a) 21 सेमी (b) 28 सेमी (c) 14 सेमी (d) 7 सेमी

उत्तर: $PT^2 = PA \times PB$ में मान रखते हैं, तो $196 = 7 \times PB$, यानी $PB = 28$ सेमी। जीवा वृत्त के अंदर वाला भाग है, इसलिए $AB = 28 - 7$ = (a) 21 सेमी।

प्रश्न 10

किसी वृत्त के बिंदु $A$ पर खींची गई स्पर्शरेखा, जीवा $AB$ के साथ 58° का कोण बनाती है। जीवा $AB$, लघु चाप $AB$ पर स्थित बिंदु $D$ पर कितना कोण अंतरित करती है? (a) 58° (b) 116° (c) 122° (d) 32°

उत्तर: एकांतर वृत्तखंड प्रमेय से दीर्घ चाप के किसी भी बिंदु पर $AB$ से 58° का कोण बनता है। पर $D$ लघु चाप पर है, यानी जीवा की दूसरी ओर, जहाँ 58° वाला कोण बना है। इसलिए वहाँ कोण $180^\circ - 58^\circ$ = (c) 122° होगा।

प्रश्न 11

$AB$ एक वृत्त का व्यास है, और वृत्त के बिंदु $C$ पर खींची गई स्पर्शरेखा, बढ़ाई गई $AB$ से $B$ के आगे बिंदु $P$ पर मिलती है। यदि $\angle CAB = 32^\circ$ है, तो $\angle CPA$ का मान क्या है? (a) 32° (b) 58° (c) 64° (d) 26°

उत्तर: एकांतर वृत्तखंड प्रमेय से $\angle PCB = \angle CAB = 32^\circ$। $AB$ व्यास है, तो $\angle ACB = 90^\circ$, और इसलिए $\angle ABC = 58^\circ$। अब $\angle ABC$, त्रिभुज $PBC$ का $B$ पर बना बाह्य कोण है। तो $58^\circ = \angle CPB + 32^\circ$, और $\angle CPA$ = (d) 26°। सीधा रास्ता भी है, $90^\circ - 2 \times 32^\circ = 26^\circ$।

प्रश्न 12

त्रिभुज $ABC$ एक वृत्त में बना है। $A$ पर खींची गई स्पर्शरेखा एक ओर $AB$ के साथ 70° का और दूसरी ओर $AC$ के साथ 48° का कोण बनाती है। $\angle BAC$ का मान क्या है? (a) 70° (b) 62° (c) 48° (d) 118°

उत्तर: स्पर्शरेखा एक सीधी रेखा है, इसलिए उसके साथ $A$ पर बने तीनों कोणों का योग 180° है। तो $70^\circ + \angle BAC + 48^\circ = 180^\circ$, यानी $\angle BAC$ = (b) 62°। एकांतर वृत्तखंड प्रमेय से जाँच भी कर लेते हैं। $\angle ACB = 70^\circ$ और $\angle ABC = 48^\circ$ हैं, और $62^\circ + 70^\circ + 48^\circ = 180^\circ$ आता है।

प्रश्न 13

एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज $ABCD$ इस प्रकार खींचा गया है कि उसकी चारों भुजाएँ वृत्त को स्पर्श करती हैं। यदि $AB = 8$ सेमी, $BC = 11$ सेमी और $CD = 10$ सेमी है, तो $AD$ की लंबाई कितनी है? (a) 7 सेमी (b) 13 सेमी (c) 9 सेमी (d) 29 सेमी

उत्तर: चतुर्भुज वृत्त के परिगत है, इसलिए सम्मुख भुजाओं के योग बराबर हैं, $AB + CD = AD + BC$। मान रखने पर $8 + 10 = AD + 11$, तो $AD$ = (a) 7 सेमी।

प्रश्न 14

त्रिभुज $ABC$ का अंतःवृत्त $BC$ को $D$ पर स्पर्श करता है। यदि $AB = 9$ सेमी, $BC = 11$ सेमी और $CA = 12$ सेमी है, तो $BD$ की लंबाई कितनी है? (a) 7 सेमी (b) 5.5 सेमी (c) 4 सेमी (d) 5 सेमी

उत्तर: पहले अर्धपरिमाप निकालते हैं, $s = \frac{9 + 11 + 12}{2} = 16$ सेमी। $B$ से स्पर्शरेखा की लंबाई, $s$ में से $B$ के सामने वाली भुजा घटाने पर मिलती है। वह भुजा $CA$ है, तो $BD = 16 - 12$ = (c) 4 सेमी। जाँच के लिए $CD = 16 - 9 = 7$ निकाल लेते हैं। $4 + 7 = 11 = BC$, यानी हिसाब ठीक है।

प्रश्न 15

$PA$ और $PB$, बिंदु $P$ से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्शरेखाएँ हैं, जिनमें से प्रत्येक 12 सेमी लंबी है। एक तीसरी स्पर्शरेखा लघु चाप $AB$ के बिंदु $R$ पर वृत्त को स्पर्श करती है और $PA$ को $X$ पर तथा $PB$ को $Y$ पर काटती है। त्रिभुज $PXY$ का परिमाप कितना है? (a) 12 सेमी (b) 36 सेमी (c) 18 सेमी (d) 24 सेमी

उत्तर: एक बिंदु से खींची गई स्पर्शरेखाएँ बराबर होती हैं, तो $XA = XR$ और $YB = YR$। इसलिए $PXY$ का परिमाप $PX + XR + RY + YP = PX + XA + YB + YP = PA + PB$ है। दोनों स्पर्शरेखाएँ 12 सेमी की हैं, तो परिमाप (d) 24 सेमी है, $R$ चाप पर कहीं भी हो।

प्रश्न 16

एक समकोण त्रिभुज की समकोण बनाने वाली दो भुजाएँ 28 सेमी और 45 सेमी हैं। उस वृत्त की त्रिज्या कितनी है जो इस त्रिभुज की तीनों भुजाओं को स्पर्श करता है? (a) 20 सेमी (b) 10 सेमी (c) 26.5 सेमी (d) 7 सेमी

उत्तर: कर्ण $\sqrt{28^2 + 45^2} = \sqrt{784 + 2025} = \sqrt{2809} = 53$ सेमी है। समकोण त्रिभुज के अंतःवृत्त के लिए $r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{28 + 45 - 53}{2}$ = (b) 10 सेमी।

प्रश्न 17

एक समकोण त्रिभुज का कर्ण 26 सेमी है और उसके अंतःवृत्त की त्रिज्या 4 सेमी है। त्रिभुज का परिमाप कितना है? (a) 60 सेमी (b) 34 सेमी (c) 52 सेमी (d) 68 सेमी

उत्तर: इसी सूत्र $r = \frac{a + b - c}{2}$ से समकोण बनाने वाली दोनों भुजाओं का योग निकाल लेते हैं, $a + b = 2r + c = 8 + 26 = 34$ सेमी। अब परिमाप $a + b + c = 34 + 26$ = (a) 60 सेमी। (समकोण बनाने वाली भुजाएँ 10 सेमी और 24 सेमी हैं, क्योंकि $10^2 + 24^2 = 26^2$।)

प्रश्न 18

7 सेमी त्रिज्या वाला एक वृत्त एक वर्ग के अंदर उसकी चारों भुजाओं को स्पर्श करता हुआ खींचा गया है। एक दूसरा वृत्त वर्ग के चारों शीर्षों से होकर जाता है। दूसरे वृत्त की त्रिज्या कितनी है? (a) 14 सेमी (b) $7\sqrt{3}$ सेमी (c) $7\sqrt{2}$ सेमी (d) $14\sqrt{2}$ सेमी

उत्तर: अंदर वाला वृत्त वर्ग की सम्मुख भुजाओं को छूता है, इसलिए वर्ग की भुजा उसके व्यास के बराबर है, यानी 14 सेमी। बाहर वाला वृत्त सम्मुख शीर्षों से होकर जाता है, तो उसका व्यास वर्ग का विकर्ण है, $14\sqrt{2}$ सेमी। इसकी त्रिज्या (c) $7\sqrt{2}$ सेमी है। $14\sqrt{2}$ सेमी पर रुक जाना गलत है, क्योंकि वह व्यास है, त्रिज्या नहीं।

प्रश्न 19

27 सेमी और 12 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं। उनकी प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई कितनी है? (a) 39 सेमी (b) 18 सेमी (c) 15 सेमी (d) 36 सेमी

उत्तर: वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, तो केंद्रों के बीच की दूरी $27 + 12 = 39$ सेमी है। प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा $\sqrt{39^2 - (27 - 12)^2} = \sqrt{1521 - 225} = \sqrt{1296}$ = (d) 36 सेमी। स्पर्श करते वृत्तों में इससे जल्दी वाला तरीका भी है, $2\sqrt{27 \times 12} = 2 \times 18 = 36$।

प्रश्न 20

7 सेमी और 2 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी 15 सेमी है। अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई कितनी है? (a) $10\sqrt{2}$ सेमी (b) 12 सेमी (c) 9 सेमी (d) $2\sqrt{14}$ सेमी

उत्तर: अनुप्रस्थ स्पर्शरेखा में त्रिज्याओं का योग लगता है। तो लंबाई $\sqrt{15^2 - (7 + 2)^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144}$ = (b) 12 सेमी। $10\sqrt{2}$ सेमी प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई है, जिसमें $7 - 2$ लगता है। वह यहाँ पूछी ही नहीं गई।

प्रश्न 21

दो वृत्त एक-दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं। बड़े वृत्त की त्रिज्या 15 सेमी है और केंद्रों के बीच की दूरी 6 सेमी है। छोटे वृत्त की त्रिज्या और उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाओं की संख्या क्रमशः क्या है? (a) 9 सेमी और 3 (b) 21 सेमी और 2 (c) 9 सेमी और 1 (d) 21 सेमी और 1

उत्तर: आंतरिक स्पर्श में $d = R - r$ होता है। तो $6 = 15 - r$, यानी $r = 9$ सेमी। आंतरिक रूप से स्पर्श करते वृत्तों की केवल एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा होती है, वही रेखा जो स्पर्श बिंदु से होकर जाती है। इसलिए उत्तर (c) 9 सेमी और 1 है।

प्रश्न 22

11 सेमी और 4 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्तों की प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा 24 सेमी लंबी है। उनके केंद्रों के बीच की दूरी कितनी है? (a) 25 सेमी (b) $\sqrt{801}$ सेमी (c) 24 सेमी (d) 15 सेमी

उत्तर: प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा वाले सूत्र में मान रखते हैं, $24^2 = d^2 - (11 - 4)^2$। इससे $d^2 = 576 + 49 = 625$, तो $d$ = (a) 25 सेमी।

प्रश्न 23

दो वृत्त एक-दूसरे को $P$ पर बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं। एक प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा उन्हें $A$ और $B$ पर स्पर्श करती है। $\angle APB$ का मान क्या है? (a) 60° (b) 90° (c) 120° (d) यह त्रिज्याओं पर निर्भर करता है

उत्तर: $P$ पर उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा खींचते हैं, जो $AB$ से $M$ पर मिलती है। $M$ से $MA$ और $MP$ पहले वृत्त की स्पर्शरेखाएँ हैं, तो $MA = MP$। इसी तरह $MP$ और $MB$ दूसरे वृत्त की स्पर्शरेखाएँ हैं, तो $MP = MB$। यानी $M$, $AB$ का मध्य-बिंदु है और $MP = \frac{AB}{2}$। मतलब $P$ उस वृत्त पर है जिसका व्यास $AB$ है। अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है, इसलिए $\angle APB$ = (b) 90°, त्रिज्याएँ चाहे कुछ भी हों।

प्रश्न 24

तीन वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं। उनके केंद्रों के बीच की दूरियाँ 10 सेमी, 13 सेमी और 15 सेमी हैं। सबसे बड़े वृत्त की त्रिज्या कितनी है? (a) 6 सेमी (b) 7.5 सेमी (c) 19 सेमी (d) 9 सेमी

उत्तर: त्रिज्याएँ $x$, $y$ और $z$ मान लेते हैं। वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, तो $x + y = 10$, $y + z = 13$ और $z + x = 15$। तीनों को जोड़ने पर $2(x + y + z) = 38$, यानी $x + y + z = 19$। अब इसमें से बारी-बारी से हर जोड़ा घटा देते हैं। त्रिज्याएँ $19 - 13 = 6$, $19 - 15 = 4$ और $19 - 10 = 9$ आती हैं। सबसे बड़ी त्रिज्या (d) 9 सेमी है।

प्रश्न 25

[Tier 2] 40 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से 50 सेमी की दूरी पर स्थित बिंदु $P$ से स्पर्शरेखाएँ $PA$ और $PB$ खींची गई हैं। जीवा $AB$ की लंबाई कितनी है? (a) 24 सेमी (b) 48 सेमी (c) 30 सेमी (d) 60 सेमी

उत्तर: स्पर्शरेखा की लंबाई $PA = \sqrt{2500 - 1600} = 30$ सेमी है। $OP$ रेखा $AB$ की लंब समद्विभाजक है। इसलिए $AB$ का आधा हिस्सा, समकोण त्रिभुज $OAP$ में $A$ से कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब है। यह $\frac{OA \times PA}{OP} = \frac{40 \times 30}{50} = 24$ सेमी आता है। तो पूरी जीवा $AB$ = (b) 48 सेमी।