त्वरित पुनरावृत्ति

रेखाएँ और कोण

• कोटिपूरक कोणों का योग $90^\circ$ होता है और संपूरक कोणों का $180^\circ$। एक बिंदु के चारों ओर बने सारे कोणों का योग $360^\circ$ होता है।
• शीर्षाभिमुख कोण आपस में बराबर होते हैं। रैखिक युग्म के दोनों कोणों का योग $180^\circ$ होता है।
• दो समांतर रेखाओं को कोई तिर्यक रेखा काटे, तो संगत कोण बराबर होते हैं और एकांतर कोण भी। सह-अंतः कोणों (co-interior angles) का योग $180^\circ$ होता है।
• मोड़ के नियम से $\angle BED = x + y$ होता है। मोड़ की नोक दूसरी ओर हो, यानी नीचे दिए चित्र से उलटी ओर, तो मोड़ पर बना कोण और दोनों सिरों पर बने कोण, तीनों का योग $360^\circ$ होता है।

• सह-अंतः कोणों के समद्विभाजक आपस में $90^\circ$ पर मिलते हैं।
• मोड़ वाले प्रश्नों में छात्र अक्सर दूसरी ओर के कोण ले लेते हैं। कोण हमेशा उसी ओर के लीजिए, जिस ओर मोड़ की नोक है।

बहुभुज

• किसी भी बहुभुज के अंतः कोणों का योग $(n - 2) \times 180^\circ$ होता है। बाह्य कोणों का योग हमेशा $360^\circ$ ही होता है।
• सम बहुभुज में प्रत्येक बाह्य कोण $= \frac{360^\circ}{n}$ और प्रत्येक अंतः कोण $= 180^\circ - \frac{360^\circ}{n}$ होता है।
• कोण दिया हो और भुजाओं की संख्या निकालनी हो, तो $n = \frac{360}{\text{बाह्य कोण}}$ लगाइए। अगर अंतः कोण : बाह्य कोण $= p : q$ दिया हो, तो $n = \frac{2(p + q)}{q}$ होता है।
• विकर्णों की संख्या $\frac{n(n - 3)}{2}$ होती है। जैसे दशभुज में 35 विकर्ण होते हैं।
• पंचभुज अकेला ऐसा बहुभुज है, जिसमें विकर्ण ठीक उतने ही होते हैं जितनी भुजाएँ।
• $360$ को बाह्य कोण से भाग देने पर पूरी संख्या न आए, तो समझ जाइए कि ऐसा कोई सम बहुभुज होता ही नहीं।

चतुर्भुज

• चतुर्भुज के चारों कोणों का योग $360^\circ$ होता है। $\angle A$ और $\angle B$ के समद्विभाजक आपस में $\frac{\angle C + \angle D}{2}$ के कोण पर मिलते हैं।
• समांतर चतुर्भुज में आसन्न कोणों का योग $180^\circ$ होता है और विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। साथ ही इसमें $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$ होता है।
• आयत के दोनों विकर्ण बराबर होते हैं। वर्ग का विकर्ण $a\sqrt{2}$ होता है।
• समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे के लंब समद्विभाजक होते हैं। इसीलिए उसमें $d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$ होता है।
• समलंब चतुर्भुज में असमांतर भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड $= \frac{AB + CD}{2}$ होता है। इसके विकर्ण एक-दूसरे को $AB : CD$ के अनुपात में काटते हैं।
• पतंग के विकर्ण एक-दूसरे पर लंब होते हैं।
• पाइथागोरस प्रमेय लगाने से पहले विकर्णों को आधा कर लीजिए। पूरा विकर्ण रख देने से उत्तर गलत आता है।

त्रिभुज के कोण और भुजाएँ

• त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^\circ$ होता है। बाह्य कोण दोनों अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
• बड़ी भुजा हमेशा बड़े कोण के सामने होती है।
• त्रिभुज असमिका के अनुसार $|a - b| < c < a + b$ होता है। दोनों ओर चिह्न "से कम" का है, "बराबर" का नहीं। यानी कोई भुजा बाकी दोनों के योग या अंतर के बराबर नहीं हो सकती।
• $c$ सबसे लंबी भुजा हो, तो बाकी दो भुजाओं के वर्गों का योग देखिए। $a^2 + b^2 > c^2$ हो तो न्यूनकोण त्रिभुज है, $= c^2$ हो तो समकोण त्रिभुज, और $< c^2$ हो तो अधिककोण त्रिभुज।
• समद्विबाहु त्रिभुज में बराबर भुजाओं के सामने के कोण बराबर होते हैं। समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण $60^\circ$ होता है और उसकी ऊँचाई $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ होती है।
• [Tier 2] A से माध्यिका खींची हो, तो $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$ होता है।
• कई समद्विबाहु त्रिभुज एक के बाद एक जुड़े हों, तो किसी एक कोण से शुरू कीजिए और बाह्य कोणों के सहारे उसे आगे बढ़ाते जाइए।

सर्वांगसमता

• सर्वांगसमता के नियम SSS, SAS, ASA, AAS और RHS हैं। SAS में कोण दोनों भुजाओं के बीच वाला होना चाहिए, और RHS का मतलब है समकोण, कर्ण और भुजा।
• SSA और AAA नियम नहीं हैं। केवल कोण बराबर हों, तो त्रिभुज समरूप ही होते हैं, सर्वांगसम नहीं।
• $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ लिखा हो, तो A का जोड़ा P से है, B का Q से और C का R से। इसलिए $AB = PQ$ और $\angle B = \angle Q$ होगा।
• त्रिभुज सर्वांगसम सिद्ध हो जाएँ, तो बाकी हर संगत भाग भी बराबर होता है। इसी को सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग (CPCT) वाला नियम कहते हैं।
• समद्विबाहु त्रिभुज में ऊपर वाले शीर्ष से कोण समद्विभाजक खींचिए। त्रिभुज दो सर्वांगसम हिस्सों में बँट जाता है, इसलिए वही रेखा माध्यिका भी है और शीर्षलंब भी।
• क्षेत्रफल या परिमाप बराबर होने से यह सिद्ध नहीं होता कि त्रिभुज सर्वांगसम हैं।

पाइथागोरस प्रमेय और समकोण त्रिभुज

• (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (20, 21, 29), (9, 40, 41), (12, 35, 37) और (11, 60, 61), ये पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean triplet) पक्के याद रखिए। इनके गुणज भी त्रिक होते हैं।
• समकोण बनाने वाली एक भुजा विषम संख्या $m$ हो, तो बाकी दो भुजाएँ $\frac{m^2 - 1}{2}$ और $\frac{m^2 + 1}{2}$ होती हैं।
• 30-60-90 त्रिभुज में भुजाएँ $1 : \sqrt{3} : 2$ के अनुपात में होती हैं। सबसे छोटी भुजा $30^\circ$ के सामने होती है।
• 45-45-90 त्रिभुज में भुजाएँ $1 : 1 : \sqrt{2}$ के अनुपात में होती हैं।
• कर्ण पर खींची माध्यिका कर्ण की आधी होती है।
• कर्ण दिया हो और दूसरी भुजा निकालनी हो, तो वर्ग घटाइए, जोड़िए नहीं।

त्रिभुज के केंद्र

• अंतःकेंद्र पर $\angle BIC = 90^\circ + \frac{A}{2}$ होता है, और बहिःकेंद्र (excentre) पर $\angle BEC = 90^\circ - \frac{A}{2}$।
• परिकेंद्र पर $\angle BOC = 2A$ होता है। पर कोण A अधिक कोण हो, तो यह $360^\circ - 2A$ होता है।
• लंबकेंद्र (orthocentre) पर $\angle BHC = 180^\circ - A$ होता है। कोण B या C अधिक कोण हो, तो यह कोण $A$ के बराबर होता है।
• केंद्रक के लिए $AG = \frac{2}{3}AD$ याद रखिए। B और C से खींची माध्यिकाएँ आपस में $90^\circ$ पर मिलें, तो $AB^2 + AC^2 = 5BC^2$ होता है।
• A से खींचे गए कोण समद्विभाजक और शीर्षलंब के बीच का कोण $\frac{|B - C|}{2}$ होता है।
• [Tier 2] ऑयलर रेखा पर $HG = 2GO$ होता है।
• ध्यान रखिए कि अंतःकेंद्र और बहिःकेंद्र के सूत्र आपस में बदल न जाएँ। दोनों PYQ अभ्यास सेटों के प्रश्नों में यह गलती बहुत होती है।

अंतःत्रिज्या और परित्रिज्या

• किसी भी त्रिभुज में अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s}$ और परित्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta}$ होती है।
• समकोण त्रिभुज में $r = \frac{a + b - c}{2}$ और $R = \frac{c}{2}$ होता है।
• समबाहु त्रिभुज में $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ और $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ होता है। यहाँ $R = 2r$ है, और $r : R : h = 1 : 2 : 3$।
• A, B और C से अंतःवृत्त तक स्पर्शरेखाओं की लंबाई क्रमशः $s - a$, $s - b$ और $s - c$ होती है।
• [Tier 2] $OI^2 = R^2 - 2Rr$ भी याद रखिए।
• अंतःवृत्त BC को D पर स्पर्श करे, तो $BD = s - b$ होता है, जहाँ $b = CA$ है। छात्र अक्सर यहाँ गलत भुजा घटा देते हैं।

समरूप त्रिभुज

• समरूपता की कसौटियाँ AA, SAS और SSS हैं।
• भुजाएँ, परिमाप, ऊँचाइयाँ, माध्यिकाएँ और कोण समद्विभाजक, सब एक ही समरूपता अनुपात $k$ में होते हैं। पर क्षेत्रफल $k^2$ के अनुपात में होते हैं।
• समकोण त्रिभुज में कर्ण पर शीर्षलंब AD खींचा हो, तो $AD^2 = BD \times DC$, $AB^2 = BD \times BC$, $AC^2 = DC \times BC$ और $AD = \frac{AB \times AC}{BC}$ होता है।
• BC पर कोई बिंदु D हो और $\angle ADC = \angle BAC$ हो, तो भी $AC^2 = DC \times BC$ होता है।
• छाया और लैंप वाले प्रश्नों में दो समरूप त्रिभुज पहचानिए और उनकी भुजाओं का मिलान कीजिए।
• क्षेत्रफलों के अनुपात से लंबाई निकालनी हो, तो पहले उस अनुपात का वर्गमूल लीजिए।

समानुपातिकता प्रमेय

• आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT) के अनुसार $DE \parallel BC$ हो, तो $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ होता है। इसका विलोम भी सही है।
• यहाँ त्रिभुज ADE और पूरे त्रिभुज का समरूपता अनुपात $\frac{AD}{AB}$ है। $AD : DB = m : n$ हो, तो त्रिभुज ADE का क्षेत्रफल : चतुर्भुज DBCE का क्षेत्रफल $= m^2 : (m + n)^2 - m^2$ होता है।
• मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार, दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा का आधा होता है।
• कोण समद्विभाजक प्रमेय से $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$ होता है। [Tier 2] बाह्य कोण का समद्विभाजक BC को बाहर की ओर इसी अनुपात में बाँटता है।
• समलंब चतुर्भुज में $\frac{AO}{OC} = \frac{AB}{CD}$ होता है। साथ ही त्रिभुज AOD और त्रिभुज BOC के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
• $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$ होता है, $\frac{AD}{DB}$ नहीं। हर में पूरी भुजा आती है, उसका टुकड़ा नहीं।

जीवा और चाप

• केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। इसी से $d^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2 = r^2$ मिलता है।
• बराबर जीवाएँ केंद्र से बराबर दूरी पर होती हैं। जो जीवा केंद्र के ज़्यादा पास हो, वह ज़्यादा लंबी होती है।
• दो समांतर जीवाएँ केंद्र की एक ही ओर हों, तो उनके बीच की दूरी $d_1 - d_2$ होती है। केंद्र के अलग-अलग ओर हों, तो $d_1 + d_2$।
• दो वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा उनके केंद्रों को मिलाने वाली रेखा पर लंब होती है, और वही रेखा उसे समद्विभाजित करती है।
• वृत्त के भीतर दो जीवाएँ एक-दूसरे को काटें, तो $AE \times EB = CE \times ED$ होता है।
• हिसाब में पूरी जीवा नहीं, उसका आधा लीजिए।

वृत्त में कोण

• एक ही चाप से केंद्र पर बना कोण, परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है।
• एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं। अर्धवृत्त में बना कोण $90^\circ$ होता है।
• बराबर जीवाएँ बराबर कोण अंतरित करती हैं।
• C दीर्घ चाप पर हो, तो $\angle OAB = 90^\circ - \angle ACB$ होता है।
• [Tier 2] दो जीवाएँ वृत्त के भीतर एक-दूसरे को काटें, तो वहाँ बना कोण $=$ दोनों कटे चापों के योग का आधा होता है। दो छेदक रेखाएँ वृत्त के बाहर मिलें, तो वहाँ बना कोण दोनों चापों के अंतर का आधा होता है।
• कोण वाला बिंदु लघु चाप पर हो, तो केंद्र वाले कोण का सीधा आधा नहीं लेना है। तब कोण = $180^\circ - \frac{1}{2}\angle AOB$ होता है।

चक्रीय चतुर्भुज

• चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग $180^\circ$ होता है।
• इसका बाह्य कोण अंतः अभिमुख कोण के बराबर होता है।
• इसका विलोम भी सही है। किसी चतुर्भुज में सम्मुख कोणों के किसी एक जोड़े का योग $180^\circ$ हो, तो वह चतुर्भुज चक्रीय होता है।
• आयत, वर्ग और समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज चक्रीय होते हैं। समांतर चतुर्भुज केवल तब चक्रीय होता है, जब वह आयत हो।
• AB और DC को बढ़ाने पर वे P पर मिलें, और AD और BC को बढ़ाने पर Q पर। A वह शीर्ष है जो P और Q दोनों से दूर है। तब $2\angle A + \angle P + \angle Q = 180^\circ$ होता है।
• ये नियम तभी लगते हैं, जब चारों शीर्ष वृत्त पर हों।

स्पर्शरेखा

• स्पर्श बिंदु पर स्पर्शरेखा त्रिज्या पर लंब होती है।
• बिंदु P से खींची गई स्पर्शरेखा की लंबाई $\sqrt{OP^2 - r^2}$ होती है।
• P से खींची दोनों स्पर्शरेखाएँ बराबर होती हैं। साथ ही $\angle APB + \angle AOB = 180^\circ$ होता है।

• स्पर्शरेखा और जीवा के बीच का कोण $=$ दूसरे वृत्तखंड में बना कोण। इसे एकांतर वृत्तखंड (alternate segment) प्रमेय कहते हैं।
• P से एक स्पर्शरेखा और एक छेदक रेखा खींची हो, तो $PT^2 = PA \times PB$ होता है।
• जो चतुर्भुज वृत्त के परिगत हो, उसमें $AB + CD = AD + BC$ होता है।
• स्पर्शरेखा की लंबाई वाले सूत्र में OP केंद्र से P की दूरी है, वृत्त से नहीं।

दो वृत्त और उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ

• दो वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करें, तो $d = R + r$ होता है। आंतरिक रूप से स्पर्श करें, तो $d = R - r$।
• वृत्त एक-दूसरे से अलग हों तो 4 उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ होती हैं, बाह्य रूप से स्पर्श करें तो 3, प्रतिच्छेद करें तो 2, आंतरिक रूप से स्पर्श करें तो 1, और एक वृत्त दूसरे के भीतर हो तो 0।
• प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा (direct common tangent) की लंबाई $\sqrt{d^2 - (R - r)^2}$ होती है, और अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा (transverse common tangent) की $\sqrt{d^2 - (R + r)^2}$। वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हों, तो प्रत्यक्ष स्पर्शरेखा $= 2\sqrt{Rr}$ होती है।
• तीन वृत्त हों और हर वृत्त बाकी दोनों को स्पर्श करे, तो तीनों केंद्रों को मिलाकर एक त्रिभुज बनाइए। किसी वृत्त की त्रिज्या निकालनी हो, तो इस त्रिभुज के आधे परिमाप में से वह भुजा घटा दीजिए जो उस वृत्त के केंद्र के सामने है।
• [Tier 2] दो वृत्त एक ही रेखा पर टिके हों और एक-दूसरे को स्पर्श करते हों, और उनके नीचे की खाली जगह में एक छोटा वृत्त दोनों वृत्तों और रेखा को स्पर्श करे। तब उस छोटे वृत्त की त्रिज्या के लिए $\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{R}} + \frac{1}{\sqrt{r}}$ होता है।
• प्रत्यक्ष स्पर्शरेखा के सूत्र में $R - r$ आता है, योग नहीं। छात्र अक्सर दोनों सूत्र आपस में उलट देते हैं।