समरूप त्रिभुज और समानुपातिकता

समरूप त्रिभुज: आकार एक, माप अलग

अगर एक त्रिभुज दूसरे त्रिभुज की ही बड़ी या छोटी की गई प्रति हो, तो दोनों त्रिभुज समरूप (similar) कहलाते हैं। ऐसे त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं, और सारी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में होती हैं।

इसे $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ लिखते हैं। यहाँ अक्षरों का क्रम ही बताता है कि कौन किसके संगत है। A के संगत P है, B के संगत Q और C के संगत R। इसलिए

$$\angle A = \angle P, \quad \angle B = \angle Q, \quad \angle C = \angle R \qquad \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{CA}{RP} = k$$

यह साझा अनुपात $k$ स्केल गुणक (scale factor) कहलाता है। सर्वांगसम त्रिभुज इसी की एक विशेष स्थिति हैं, जिसमें $k = 1$ होता है। सर्वांगसमता के नियम "त्रिभुज: कोण, भुजाएँ, सर्वांगसमता और पाइथागोरस प्रमेय" वाले खंड में दिए गए हैं।

तीन कसौटियाँ: दो त्रिभुजों को समरूप सिद्ध करने के लिए इन तीन में से कोई एक कसौटी काफ़ी है।

• AA: एक त्रिभुज के दो कोण दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हों, तो तीसरा कोण अपने आप बराबर हो जाता है। इसीलिए "AAA" कसौटी भी असल में यही है। जैसे एक त्रिभुज में $\angle A = 40^\circ$ और $\angle B = 75^\circ$ है, और दूसरे में $\angle P = 40^\circ$ और $\angle R = 65^\circ$। तो दूसरे त्रिभुज में $\angle Q = 75^\circ$ भी होगा, और $\triangle ABC \sim \triangle PQR$।
• SAS: एक कोण बराबर हो, और उस कोण को बनाने वाली दोनों भुजाएँ एक ही अनुपात में हों। जैसे एक त्रिभुज में AB = 6, AC = 9 और $\angle A = 50^\circ$ है, और दूसरे में PQ = 4, PR = 6 और $\angle P = 50^\circ$। यहाँ $\frac{6}{4} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ है, तो दोनों त्रिभुज समरूप हैं और अनुपात 3 : 2 है।
• SSS: भुजाओं की तीनों जोड़ियाँ एक ही अनुपात में हों। जैसे भुजाएँ 5, 6, 7 वाला त्रिभुज और भुजाएँ 7.5, 9, 10.5 वाला त्रिभुज समरूप हैं। यहाँ हर अनुपात $\frac{2}{3}$ है।

क्या नहीं चलता: दो भुजाएँ समानुपाती हों और एक कोण बराबर हो, पर वह कोण उन दोनों भुजाओं के बीच का न हो (SSA), तो इससे कुछ भी सिद्ध नहीं होता। एक बात और याद रखिए। बराबर कोणों से समरूपता सिद्ध होती है, सर्वांगसमता कभी नहीं। AA कसौटी माप के बारे में कुछ नहीं बताती।

अक्षरों का सही मिलान: सबसे पेचीदा प्रश्न यहीं से बनते हैं। मान लीजिए त्रिभुज ABC के आर-पार एक रेखा DE है। D भुजा AB पर है, E भुजा AC पर है, और $\angle ADE = \angle ACB$ है। यहाँ DE तिरछी है, BC के समांतर नहीं।

त्रिभुज ADE और ABC में कोण A साझा है, तो AA से दोनों समरूप हैं। पर ध्यान दीजिए, यहाँ D के संगत C है और E के संगत B। इसलिए

$$\triangle ADE \sim \triangle ACB \qquad \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} = \frac{DE}{CB} \qquad AD \times AB = AE \times AC$$

जैसे AB = 6 सेमी, AC = 5 सेमी और AD = 2.5 सेमी हो, तो AE = $\frac{2.5 \times 6}{5}$ = 3 सेमी।

तो कौन-सा शीर्ष किसके संगत है, यह हमेशा बराबर कोण देखकर तय कीजिए, प्रश्न में लिखे अक्षरों के क्रम से कभी नहीं। एक कच्चा चित्र बनाकर बराबर कोणों पर निशान लगा लीजिए। फिर दोनों त्रिभुजों के नाम ऐसे लिखिए कि संगत शीर्ष एक ही स्थान पर आएँ। उसके बाद ही अनुपात लिखिए।

अनुपात: लंबाई $k$ से, क्षेत्रफल $k^2$ से

मान लीजिए $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ है और $\frac{AB}{PQ} = k$ है। तो पहले त्रिभुज की हर लंबाई, दूसरे त्रिभुज की संगत लंबाई की $k$ गुनी होती है। इसमें ये सब आते हैं।

• परिमाप
• संगत शीर्षलंब, माध्यिकाएँ और कोण समद्विभाजक
• अंतःत्रिज्याएँ और परित्रिज्याएँ

क्षेत्रफल के साथ बात अलग है। त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार × ऊँचाई का आधा होता है। आधार भी $k$ गुना होता है और ऊँचाई भी, तो क्षेत्रफल $k^2$ गुना हो जाता है।

$$\frac{\text{क्षेत्रफल}(ABC)}{\text{क्षेत्रफल}(PQR)} = k^2 = \frac{AB^2}{PQ^2} = \frac{(\text{शीर्षलंब } ABC)^2}{(\text{शीर्षलंब } PQR)^2}$$

भुजाओं की जगह माध्यिकाएँ, परिमाप या संगत लंबाइयों की कोई और जोड़ी लीजिए, बात यही रहेगी।

कुछ उदाहरण देखिए।

• भुजाएँ 4 : 7 के अनुपात में हैं और छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल 48 वर्ग सेमी है। तो बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल $48 \times \frac{49}{16} = 147$ वर्ग सेमी होगा।
• परिमाप 24 सेमी और 32 सेमी हैं, तो भुजाएँ 3 : 4 में हैं और क्षेत्रफल 9 : 16 में।
• क्षेत्रफल 49 : 81 में हैं, तो हर लंबाई 7 : 9 में होगी, चाहे वह भुजा हो, माध्यिका, शीर्षलंब या परिमाप।

क्षेत्रफल से लंबाई: यहाँ पहले वर्गमूल लीजिए। मान लीजिए दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल 64 वर्ग सेमी और 100 वर्ग सेमी हैं, और छोटे त्रिभुज की एक भुजा 12 सेमी है। तो बड़े त्रिभुज की संगत भुजा $12 \times \frac{10}{8} = 15$ सेमी होगी। $12 \times \frac{100}{64}$ करना गलत है।

वर्ग क्यों आता है: किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदु मिला दीजिए। त्रिभुज अपनी ही चार छोटी प्रतियों में बँट जाता है, और हर प्रति की भुजाएँ आधी होती हैं। मतलब भुजाएँ आधी हुईं, तो क्षेत्रफल 4 से भाग हो गया। इसी तरह भुजाएँ तीन गुनी हों, तो क्षेत्रफल 9 गुना हो जाता है।

यह बात केवल त्रिभुजों की नहीं है। कोई भी दो समरूप आकृतियाँ लीजिए, जैसे दो वर्ग, दो वृत्त या दो समरूप चतुर्भुज। उनके क्षेत्रफल भी संगत लंबाइयों के वर्गों के अनुपात में होते हैं। और अगर दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों, तो $k = 1$ है, यानी दोनों सर्वांगसम हैं।

[SSC टिप] लंबाई पूछी गई हो, तो क्षेत्रफलों का अनुपात हमेशा एक गलत विकल्प के रूप में दिया होता है। क्षेत्रफल पूछा गया हो, तो लंबाइयों का अनुपात भी विकल्पों में ज़रूर होता है। इसलिए चुनने से पहले देख लीजिए कि पूछा क्या है। लंबाई के लिए $k$, क्षेत्रफल के लिए $k^2$।

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय

त्रिभुज की किसी एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा अगर बाकी दोनों भुजाओं को काटती है, तो उन्हें एक ही अनुपात में बाँटती है।

इसी को आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (basic proportionality theorem) कहते हैं। मान लीजिए त्रिभुज ABC में D भुजा AB पर है, E भुजा AC पर है, और $DE \parallel BC$ है। तो

$$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$$

यह सही क्यों है: त्रिभुज ADE और BDE लीजिए। दोनों में E से रेखा AB तक की ऊँचाई एक ही है, इसलिए उनके क्षेत्रफल AD : DB के अनुपात में हैं। इसी तरह त्रिभुज ADE और CDE के क्षेत्रफल AE : EC के अनुपात में हैं। अब त्रिभुज BDE और CDE को देखिए। दोनों का आधार DE एक है, और दोनों एक ही दो समांतर रेखाओं DE और BC के बीच हैं। इसलिए दोनों के क्षेत्रफल बराबर हैं। तो दोनों अनुपात भी बराबर होने ही चाहिए।

पूरी भुजा वाला रूप: $DE \parallel BC$ है, तो D और B पर संगत कोण बराबर हैं, और E और C पर भी। इसलिए AA से $\triangle ADE \sim \triangle ABC$, और

$$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$$

प्रश्न में DE या BC आए, तो यही रूप लगाइए। दो उदाहरण देखिए।

• AD = 4 सेमी, DB = 6 सेमी और AE = 5 सेमी है, तो EC = $5 \times \frac{6}{4}$ = 7.5 सेमी।
• AD = 3 सेमी, AB = 8 सेमी और BC = 12 सेमी है, तो DE = $12 \times \frac{3}{8}$ = 4.5 सेमी।

विलोम: इस प्रमेय का विलोम (converse) भी सच है। अगर $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ हो, तो $DE \parallel BC$ होगा। SSC इसे ऐसे पूछता है, "लंबाइयों के इनमें से किस समूह के लिए DE, BC के समांतर है?" ऐसे में हर विकल्प के दोनों अनुपात निकालिए। जिस विकल्प में दोनों बराबर आएँ, वही चुनिए।

बीजगणित वाला रूप: कभी प्रश्न ऐसे आता है, "$DE \parallel BC$, $AD = x$, $DB = x - 2$, $AE = x + 2$ और $EC = x - 1$ है। $x$ ज्ञात कीजिए।" यहाँ $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ में तिरछा गुणा कीजिए।

$$x(x - 1) = (x - 2)(x + 2) \Rightarrow x^2 - x = x^2 - 4 \Rightarrow x = 4$$

अब जाँच लीजिए कि हर लंबाई धनात्मक है। लंबाइयाँ 4, 2, 6 और 3 आती हैं, और सचमुच 4 : 2 = 6 : 3 है।

[SSC टिप] DE निकालते समय तुलना पूरी भुजा से कीजिए। $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$ लिखिए, $\frac{AD}{DB}$ नहीं। जैसे AD = 3 और DB = 5 हो, तो DE, BC का $\frac{3}{8}$ है, $\frac{3}{5}$ नहीं।

DE, BC के समांतर: क्षेत्रफल वाले प्रश्न

जब $DE \parallel BC$ हो, तो त्रिभुज ADE, त्रिभुज ABC की छोटी प्रति है, और अनुपात $\frac{AD}{AB}$ है। इसलिए

$$\frac{\text{क्षेत्रफल}(ADE)}{\text{क्षेत्रफल}(ABC)} = \left(\frac{AD}{AB}\right)^2$$

पूरे त्रिभुज में से ADE हटाने पर जो बचता है, वह समलंब चतुर्भुज DBCE है।

पूरा उदाहरण: मान लीजिए AD : DB = 2 : 3 है। पहले AD : AB बनाइए, जो 2 : 5 है। तो ADE और ABC के क्षेत्रफल 4 : 25 में होंगे। उन 25 भागों में से समलंब DBCE के हिस्से में 25 − 4 = 21 भाग आते हैं। इसलिए

$$\text{क्षेत्रफल}(ADE) : \text{क्षेत्रफल}(DBCE) = 4 : 21$$

जैसे क्षेत्रफल(ABC) = 75 वर्ग सेमी हो, तो क्षेत्रफल(ADE) = 12 वर्ग सेमी और क्षेत्रफल(DBCE) = 63 वर्ग सेमी होगा।

कोई और अनुपात दिया हो: तब भी यही तरीका चलता है।

• DE, BC का $\frac{1}{3}$ है, तो छोटा त्रिभुज पूरे त्रिभुज का $\frac{1}{9}$ है और समलंब $\frac{8}{9}$।
• क्षेत्रफल(ADE) : क्षेत्रफल(DBCE) = 9 : 16 है, तो पूरा त्रिभुज 25 भाग है। यानी $\left(\frac{AD}{AB}\right)^2 = \frac{9}{25}$, इसलिए AD : AB = 3 : 5 और AD : DB = 3 : 2।

त्रिभुज को दो बराबर भागों में बाँटना: मान लीजिए $DE \parallel BC$ है और यह रेखा त्रिभुज ABC को बराबर क्षेत्रफल वाले दो भागों में बाँटती है। तो छोटा त्रिभुज पूरे का आधा है, यानी $\left(\frac{AD}{AB}\right)^2 = \frac{1}{2}$। इससे

$$\frac{AD}{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}} \qquad AD : DB = 1 : (\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{2} + 1) : 1$$

जैसे AB = 10 सेमी हो, तो AD = $\frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$ सेमी, जो लगभग 7.07 सेमी है।

[Tier 2] और ज़्यादा बराबर भाग: BC के समांतर दो रेखाएँ त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफल वाले तीन भागों में बाँटें, तो वे AB को जिन बिंदुओं पर मिलती हैं, उनकी A से दूरियाँ $1 : \sqrt{2} : \sqrt{3}$ के अनुपात में होती हैं। वजह यह है कि A वाले कोने पर बनने वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफल 1, 2 और 3 भाग होते हैं।

[SSC टिप] सबसे आम गलती है AD : DB का ही वर्ग कर देना। AD : DB = 2 : 3 हो, तो ADE और ABC के क्षेत्रफल 4 : 25 में होते हैं, 4 : 9 में नहीं। वर्ग करने से पहले हमेशा AD : AB बना लीजिए।

मध्य-बिंदु प्रमेय

मध्य-बिंदु प्रमेय (midpoint theorem) असल में आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय ही है, बस इसमें भुजाएँ ठीक आधे पर कटती हैं।

त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है, और लंबाई में उसका आधा होता है।

जैसे F और E, भुजाओं AB और AC के मध्य-बिंदु हों, तो $FE \parallel BC$ और FE = $\frac{1}{2}$BC।

विलोम: एक भुजा के मध्य-बिंदु से दूसरी भुजा के समांतर रेखा खींचिए। यह रेखा तीसरी भुजा को उसके मध्य-बिंदु पर काटेगी।

मध्य-बिंदु त्रिभुज: तीनों मध्य-बिंदु D, E और F मिला दीजिए। त्रिभुज DEF की हर भुजा, ABC की किसी एक भुजा की आधी होती है। जैसे FE, BC की आधी है, और बाकी दोनों भुजाओं के साथ भी ऐसा ही है। इसलिए

• कोनों वाले तीन त्रिभुज AFE, FBD और EDC, और बीच वाला त्रिभुज DEF, ये चारों छोटे त्रिभुज सर्वांगसम हैं। हर एक का क्षेत्रफल ABC के क्षेत्रफल का $\frac{1}{4}$ है।
• DEF का परिमाप, ABC के परिमाप का आधा है।
• त्रिभुज DEF, त्रिभुज ABC के समरूप है। अनुपात 1 : 2 है और कोण वही हैं।

जैसे भुजाएँ 10, 14 और 18 सेमी हों, तो त्रिभुज DEF की भुजाएँ 5, 7 और 9 सेमी होंगी और परिमाप 21 सेमी। क्षेत्रफल(ABC) = 48 वर्ग सेमी हो, तो क्षेत्रफल(DEF) = 12 वर्ग सेमी होगा। अब DEF के मध्य-बिंदु फिर से मिलाइए, तो 3 वर्ग सेमी का त्रिभुज मिलेगा। मतलब हर बार क्षेत्रफल को 4 से और परिमाप को 2 से भाग दे दीजिए।

कोई भी चतुर्भुज: किसी भी चतुर्भुज की चारों भुजाओं के मध्य-बिंदु क्रम से मिलाइए। मध्य-बिंदु प्रमेय से नई आकृति की दो आमने-सामने की भुजाएँ एक विकर्ण के समांतर होती हैं, और दोनों उसकी आधी होती हैं। बाकी दो भुजाएँ दूसरे विकर्ण के समांतर होती हैं। इसलिए नई आकृति समांतर चतुर्भुज है। उसका परिमाप दोनों विकर्णों के योग के बराबर होता है, और क्षेत्रफल चतुर्भुज का आधा। जैसे विकर्ण 12 सेमी और 18 सेमी हों, तो मध्य-बिंदु समांतर चतुर्भुज का परिमाप 30 सेमी होगा।

मध्य-बिंदु वाले प्रश्न में पहले देखिए कि रेखाखंड किस भुजा के समांतर है। फिर उस भुजा को आधा कीजिए। और रेखाखंड से भुजा निकालनी हो, तो रेखाखंड को दोगुना कीजिए। जैसे मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड 4 सेमी, 5 सेमी और 6 सेमी हों, तो मूल त्रिभुज की भुजाएँ 8, 10 और 12 सेमी हैं, और परिमाप 30 सेमी।

तीन समांतर रेखाएँ, समलंब के आर-पार रेखा

समांतर रेखाएँ तिर्यक रेखाओं को एक ही अनुपात में काटती हैं।

मतलब तीन या उससे ज़्यादा समांतर रेखाएँ दो तिर्यक रेखाओं को काटें, तो एक तिर्यक रेखा के टुकड़े उसी अनुपात में होते हैं जिसमें दूसरी तिर्यक रेखा के टुकड़े। मान लीजिए $l \parallel m \parallel n$ हैं, और ये रेखा $p$ को A, B, C पर और रेखा $q$ को D, E, F पर मिलती हैं। तो

$$\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}$$

इसकी वजह समझ लीजिए। A को F से मिलाइए। यह रेखा $m$ को एक बिंदु G पर काटेगी। त्रिभुज ACF में $BG \parallel CF$ है, तो $\frac{AB}{BC} = \frac{AG}{GF}$। त्रिभुज FAD में $GE \parallel AD$ है, तो $\frac{AG}{GF} = \frac{DE}{EF}$। यानी दोनों अनुपात बराबर हैं।

जैसे AB = 4 सेमी, BC = 6 सेमी और DF = 20 सेमी हो, तो DE : EF = 2 : 3 होगा। इसलिए DE = 8 सेमी और EF = 12 सेमी।

एक बात और। जो समांतर रेखाएँ एक तिर्यक रेखा पर बराबर टुकड़े काटती हैं, वे हर तिर्यक रेखा पर बराबर टुकड़े काटती हैं।

समलंब के आर-पार रेखा: मान लीजिए ABCD एक समलंब चतुर्भुज है, जिसमें $AB \parallel DC$ है। ऊपरी आधार $AB = a$ है और निचला आधार $DC = b$। दोनों आधारों के समांतर एक रेखा EF खींची गई है, जो असमांतर भुजा AD को E पर और BC को F पर काटती है।

अब AB, EF और DC तीनों समांतर रेखाएँ हैं, तो ये असमांतर भुजाओं को एक ही अनुपात में काटती हैं, यानी AE : ED = BF : FC। यह अनुपात $m : n$ हो, तो

$$EF = \frac{n \times a + m \times b}{m + n}$$

इसकी वजह भी देख लीजिए। विकर्ण AC खींचिए, जो EF को G पर काटता है। त्रिभुज ADC में $EG \parallel DC$ है, इसलिए $EG = \frac{m}{m + n} \times b$। त्रिभुज CAB में $GF \parallel AB$ है, इसलिए $GF = \frac{n}{m + n} \times a$। दोनों टुकड़े जोड़ दीजिए, सूत्र आ जाता है।

जैसे AB = 12 सेमी, DC = 20 सेमी और AE : ED = 1 : 3 हो, तो EF = $\frac{3 \times 12 + 1 \times 20}{4}$ = 14 सेमी।

अगर E मध्य-बिंदु हो, यानी $m = n$, तो यही सूत्र मध्य-रेखाखंड $\frac{a + b}{2}$ देता है। इसकी बात "रेखाएँ, कोण, चतुर्भुज और बहुभुज" वाले खंड में की गई है।

सूत्र में एक बात ध्यान रखिए। हर आधार के साथ असमांतर भुजा का दूर वाला टुकड़ा जुड़ता है। ऊपरी आधार $a$ के साथ $n$ आता है, जो निचला टुकड़ा है। निचले आधार $b$ के साथ $m$ आता है, जो ऊपरी टुकड़ा है। जाँच के लिए देखिए कि EF की लंबाई $a$ और $b$ के बीच आई है या नहीं। EF जिस आधार के ज़्यादा पास है, उसकी लंबाई भी उसी आधार के ज़्यादा क़रीब होनी चाहिए।

भुजाओं पर बिंदु: क्षेत्रफलों का अनुपात

क्षेत्रफल वाले कई प्रश्नों में समरूपता की ज़रूरत ही नहीं पड़ती। बस यह एक तथ्य काम आता है।

एक ही ऊँचाई वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफल उनके आधारों के अनुपात में होते हैं।

जैसे D भुजा BC पर है और BD : DC = 3 : 2 है। त्रिभुज ABD और ADC दोनों की A से ऊँचाई एक ही है, मान लीजिए $h$। तो क्षेत्रफल(ABD) : क्षेत्रफल(ADC) = 3 : 2 होगा। अगर क्षेत्रफल(ABC) = 60 वर्ग सेमी हो, तो ये दोनों 36 वर्ग सेमी और 24 वर्ग सेमी होंगे।

यही तथ्य छोटे त्रिभुज के अंदर फिर से लगता है। मान लीजिए E, AD पर है और AE : ED = 1 : 2 है। त्रिभुज BAE और BED की B से ऊँचाई एक है, तो क्षेत्रफल(BED) = $\frac{2}{3} \times 36 = 24$ वर्ग सेमी।

जब दोनों त्रिभुजों में एक कोण साझा हो: D भुजा AB पर है और E भुजा AC पर। यहाँ DE का BC के समांतर होना ज़रूरी नहीं है। तब

$$\frac{\text{क्षेत्रफल}(ADE)}{\text{क्षेत्रफल}(ABC)} = \frac{AD}{AB} \times \frac{AE}{AC}$$

इसकी वजह सीधी है। त्रिभुज ADE और ADC की D से ऊँचाई एक है, तो उनके क्षेत्रफल AE : AC में हैं। त्रिभुज ADC और ABC की C से ऊँचाई एक है, तो उनके क्षेत्रफल AD : AB में हैं। अब दोनों अनुपातों का गुणा कर दीजिए।

जैसे AD, AB का $\frac{1}{3}$ हो और AE, AC का $\frac{3}{4}$, तो त्रिभुज ADE, त्रिभुज ABC का $\frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ होगा।

तीनों भुजाओं पर बिंदु: मान लीजिए D, E और F भुजाओं BC, CA और AB को ऐसे बाँटते हैं कि BD : DC = CE : EA = AF : FB = 1 : 3 है। कोने वाला त्रिभुज AFE पूरे क्षेत्रफल का $\frac{AF}{AB} \times \frac{AE}{AC} = \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{16}$ है। बाकी दोनों कोने भी इतने ही हैं। तीनों कोने मिलाकर $\frac{9}{16}$ हुए, तो त्रिभुज DEF, त्रिभुज ABC का $\frac{7}{16}$ है।

[SSC टिप] समरूप त्रिभुजों की ओर जाने से पहले ऐसे दो त्रिभुज ढूँढिए जिनका ऊपरी शीर्ष एक हो और आधार एक ही रेखा पर हों। उनके क्षेत्रफल आधारों के अनुपात में होते हैं। "D, BC को … के अनुपात में बाँटता है" जैसे ज़्यादातर प्रश्न इसी से एक कदम में हो जाते हैं।

कोण समद्विभाजक प्रमेय

त्रिभुज के किसी कोण का समद्विभाजक सामने की भुजा को बाकी दोनों भुजाओं के अनुपात में बाँटता है।

इसे कोण समद्विभाजक प्रमेय (angle bisector theorem) कहते हैं। मान लीजिए AD कोण A को समद्विभाजित करता है और D भुजा BC पर है। तो

$$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \qquad BD = \frac{a \times c}{b + c} \qquad DC = \frac{a \times b}{b + c}$$

जहाँ $a = BC$, $b = CA$ और $c = AB$ है।

ऐसा क्यों: त्रिभुज ABD और ADC की A से ऊँचाई एक है, तो उनके क्षेत्रफल BD : DC में हैं। पर D समद्विभाजक पर है, इसलिए वह AB से और AC से बराबर दूरी पर है। इन बराबर दूरियों को ऊँचाई मान लीजिए, तो वही दोनों क्षेत्रफल AB : AC में आते हैं।

जैसे AB = 6 सेमी, AC = 9 सेमी और BC = 10 सेमी हो, तो BD : DC = 6 : 9 = 2 : 3। यानी BD = 4 सेमी और DC = 6 सेमी।

इसका विलोम भी सच है। अगर BD : DC = AB : AC हो, तो AD कोण A को समद्विभाजित करता है।

AD पर अंतःकेंद्र कहाँ है: अंतःकेंद्र I रेखा AD पर ही होता है। त्रिभुज ABD में रेखा BI कोण B को समद्विभाजित करती है, इसलिए

$$AI : ID = AB : BD = c : \frac{ac}{b + c} = (b + c) : a$$

6, 9, 10 वाले त्रिभुज में AI : ID = 15 : 10 = 3 : 2 आता है।

[Tier 2] बाहरी समद्विभाजक: A पर बने बाह्य कोण का समद्विभाजक आगे बढ़ाई गई रेखा BC से E पर मिलता है। यह BC को बाहर से उसी अनुपात में बाँटता है, यानी $\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC}$। अगर दोनों भुजाओं में AB छोटी है, तो E, B के पार आता है। AC छोटी हो, तो E, C के पार आता है।

जैसे AB = 4 सेमी, AC = 8 सेमी और BC = 6 सेमी हो, तो E, B के पार होगा। BE : EC = 1 : 2 है और EC − BE = 6, तो BE = 6 सेमी और EC = 12 सेमी।

A पर आंतरिक और बाहरी समद्विभाजक हमेशा एक-दूसरे पर लंब होते हैं।

[Tier 2] समद्विभाजक की लंबाई: इसके लिए $AD^2 = AB \times AC - BD \times DC$ लगता है। 6, 9, 10 वाले त्रिभुज में $AD^2 = 54 - 24 = 30$, तो AD = $\sqrt{30}$ सेमी।

यहाँ एक गलती बहुत होती है। B के पास वाली भुजा, B के पास वाले टुकड़े के साथ जाती है। मतलब BD का जोड़ AB से है और DC का AC से। इन्हें उलट देने पर ऊपर वाले उदाहरण में BD = 6 और DC = 4 आ जाता है, और यही गलत मान विकल्पों में रखा होता है।

समकोण त्रिभुज, कर्ण पर शीर्षलंब

त्रिभुज ABC में कोण A = 90° है, और AD कर्ण BC पर शीर्षलंब है। यह शीर्षलंब त्रिभुज को दो छोटे समकोण त्रिभुजों में बाँट देता है, और तीनों त्रिभुज समरूप होते हैं।

$$\triangle DBA \sim \triangle DAC \sim \triangle ABC$$

वजह AA है। $\angle BAD$ और $\angle C$ दोनों $90^\circ - \angle B$ के बराबर हैं, और $\angle DAC$ और $\angle B$ दोनों $90^\circ - \angle C$ के बराबर।

इन तीनों त्रिभुजों के अनुपात लिखने पर पाँच नतीजे मिलते हैं। इन्हें ज़बानी याद कर लीजिए।

$$AD^2 = BD \times DC \qquad AB^2 = BD \times BC \qquad AC^2 = CD \times CB$$

$$AD = \frac{AB \times AC}{BC} \qquad \frac{1}{AD^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2}$$

शब्दों में कहें तो शीर्षलंब का वर्ग, कर्ण के दोनों टुकड़ों के गुणनफल के बराबर है। और कर्ण के अलावा हर भुजा का वर्ग, उस भुजा से लगे टुकड़े और पूरे कर्ण के गुणनफल के बराबर है।

चौथा नतीजा क्षेत्रफल को दो तरह से लिखकर आता है, $\frac{1}{2}AB \times AC = \frac{1}{2}BC \times AD$। पाँचवाँ नतीजा इसी का वर्ग करके और $BC^2 = AB^2 + AC^2$ रखकर मिलता है।

भुजाएँ दी हों: मान लीजिए AB = 15 सेमी और AC = 20 सेमी है, तो BC = 25 सेमी। अब AD = $\frac{15 \times 20}{25}$ = 12 सेमी, BD = $\frac{15^2}{25}$ = 9 सेमी और DC = 25 − 9 = 16 सेमी। जाँच भी कर लीजिए, $12^2 = 9 \times 16 = 144$, और $\frac{1}{225} + \frac{1}{400} = \frac{1}{144}$।

कर्ण के टुकड़े दिए हों: जैसे BD = 2 सेमी और DC = 8 सेमी है। तो AD = $\sqrt{2 \times 8}$ = 4 सेमी, AB = $\sqrt{2 \times 10} = 2\sqrt{5}$ सेमी और AC = $\sqrt{8 \times 10} = 4\sqrt{5}$ सेमी।

यहाँ ध्यान रखिए कि हर भुजा के साथ कर्ण का वही टुकड़ा लगता है जो उसे छूता है। $AB^2 = BD \times BC$ है, क्योंकि B, AB पर भी है और BD पर भी। AB को DC से जोड़ देना आम चूक है। ऐसा करने पर दोनों भुजाओं के मान आपस में बदल जाते हैं।

समलंब के विकर्ण और चार त्रिभुज

ABCD एक समलंब चतुर्भुज है, जिसमें $AB \parallel DC$ है, और विकर्ण AC और BD बिंदु O पर मिलते हैं। $AB \parallel DC$ होने से एकांतर कोण बराबर हैं, $\angle OAB = \angle OCD$ और $\angle OBA = \angle ODC$। इसलिए $\triangle AOB \sim \triangle COD$, और अनुपात AB : DC है। इससे

$$\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{DC}$$

मतलब विकर्ण एक-दूसरे को समांतर भुजाओं के अनुपात में काटते हैं। समलंब से जुड़ा यह तथ्य "रेखाएँ, कोण, चतुर्भुज और बहुभुज" वाले खंड में भी आता है। इसका विलोम भी सच है। किसी चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को एक ही अनुपात में काटें, तो वह समलंब चतुर्भुज है।

चारों क्षेत्रफल: मान लीजिए त्रिभुज AOB और COD के क्षेत्रफल $p$ और $q$ हैं। तो

• $p : q = AB^2 : DC^2$, क्योंकि दोनों त्रिभुज समरूप हैं।
• त्रिभुज AOD और BOC के क्षेत्रफल बराबर हैं। वजह यह है कि त्रिभुज ABD और ABC का आधार AB एक है और ऊँचाई भी एक है। इन दोनों में त्रिभुज AOB तो है ही, साथ में एक-एक बगल वाला त्रिभुज है। दोनों में से AOB हटा दीजिए, तो बगल वाले दोनों त्रिभुज भी बराबर निकलते हैं।
• हर बगल वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\sqrt{pq}$ होता है। वजह देखिए। त्रिभुज AOB और AOD की A से ऊँचाई एक है, तो उनके क्षेत्रफल BO : OD = AB : DC के अनुपात में हैं। और $\frac{DC}{AB} = \sqrt{\frac{q}{p}}$ है, इसलिए क्षेत्रफल(AOD) = $p\sqrt{\frac{q}{p}} = \sqrt{pq}$।
• पूरा समलंब $p + q + 2\sqrt{pq} = (\sqrt{p} + \sqrt{q})^2$ होता है।

जैसे AB = 8 सेमी, DC = 12 सेमी और क्षेत्रफल(AOB) = 16 वर्ग सेमी हो। तो $q = 16 \times \frac{9}{4} = 36$ वर्ग सेमी। हर बगल वाला त्रिभुज $\sqrt{16 \times 36}$ = 24 वर्ग सेमी का है। पूरा समलंब 16 + 36 + 48 = 100 वर्ग सेमी है, यानी $(4 + 6)^2$।

[Tier 2] O से होकर रेखा: O से होकर दोनों आधारों के समांतर एक रेखाखंड खींचिए, जिसके सिरे असमांतर भुजाओं पर हों। अगर आधार $a$ और $b$ हैं, तो इसकी लंबाई $\frac{2ab}{a + b}$ होती है, और O इसका मध्य-बिंदु होता है। जैसे आधार 8 सेमी और 12 सेमी हों, तो लंबाई $\frac{192}{20} = 9.6$ सेमी होगी।

याद रखिए, दोनों बगल वाले त्रिभुज बराबर होते हैं, और हर एक का क्षेत्रफल ऊपर और नीचे वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के गुणनफल का वर्गमूल होता है। इसलिए चार में से कोई दो क्षेत्रफल पता हों, और उनमें एक ऊपर या नीचे वाला त्रिभुज हो, तो पूरा समलंब निकल आता है। कुल योग की जाँच $(\sqrt{p} + \sqrt{q})^2$ से कर लीजिए।

छाया, लैंप पोस्ट और दो खंभे

धूप: सूर्य की किरणें समांतर होती हैं। इसलिए किसी एक समय पर हर सीधी खड़ी वस्तु अपनी छाया के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाती है, और ये सारे त्रिभुज समरूप होते हैं। मतलब ऊँचाई और छाया का अनुपात सबके लिए एक ही होता है।

जैसे 2 मीटर की छड़ी की छाया 1.5 मीटर है, और उसी समय एक इमारत की छाया 24 मीटर है। तो इमारत की ऊँचाई $24 \times \frac{2}{1.5}$ = 32 मीटर होगी।

लैंप पोस्ट: लैंप की बात अलग है। उसकी किरणें एक ही बिंदु से चारों ओर फैलती हैं। मान लीजिए लैंप L, 4.8 मीटर ऊँचा है, और 1.6 मीटर लंबा एक व्यक्ति उसके आधार से 4 मीटर दूर खड़ा है। लैंप की जो किरण उसके सिर के ठीक ऊपर से गुज़रती है, वह भूमि पर S पर पहुँचती है। यही छाया का सिरा है।

छाया $s$ मीटर लंबी मान लीजिए। अब व्यक्ति और लैंप, दोनों के साथ एक-एक समकोण त्रिभुज बनता है, और S पर दोनों का कोण एक ही है। इसलिए ये दोनों त्रिभुज समरूप हैं, और

$$\frac{1.6}{s} = \frac{4.8}{4 + s} \Rightarrow 1.6(4 + s) = 4.8s \Rightarrow s = 2 \text{ मीटर}$$

सामान्य रूप में, ऊँचाई $h$ वाला व्यक्ति ऊँचाई $H$ वाले लैंप से दूरी $d$ पर खड़ा हो, तो छाया की लंबाई $\frac{h \times d}{H - h}$ होती है। यानी छाया, दूरी का एक निश्चित भाग है। इसलिए जो व्यक्ति स्थिर चाल से लैंप से दूर जा रहा है, उसकी छाया भी स्थिर चाल से बढ़ती है।

दो खंभे: दो खंभे समतल भूमि पर सीधे खड़े हैं। पहले खंभे की ऊँचाई $a$ है और दूसरे की $b$। पहले खंभे के ऊपरी सिरे से दूसरे खंभे के आधार तक एक रेखा खींचिए, और दूसरे खंभे के ऊपरी सिरे से पहले खंभे के आधार तक एक और रेखा। ये दोनों रेखाएँ एक-दूसरे को एक बिंदु P पर काटती हैं। P की ऊँचाई यह होती है।

$$h = \frac{ab}{a + b}$$

हैरानी की बात यह है कि यह ऊँचाई खंभों के बीच की दूरी पर निर्भर ही नहीं करती। जैसे 6 मीटर और 12 मीटर के खंभे हों, तो $h = \frac{72}{18} = 4$ मीटर।

ऐसा क्यों होता है, यह देखिए। P की ऊँचाई $h$ मान लीजिए। समरूप त्रिभुजों से $\frac{h}{a}$, खंभों के बीच के फ़ासले का वह भाग है जो P के ठीक नीचे वाले बिंदु से दूसरे खंभे तक है। और $\frac{h}{b}$ वह भाग है जो पहले खंभे से P के नीचे वाले बिंदु तक है। दोनों भाग मिलकर पूरा फ़ासला हैं, तो $\frac{h}{a} + \frac{h}{b} = 1$। यहीं से ऊपर वाला सूत्र आता है।

लैंप पोस्ट वाले प्रश्नों में एक चूक बहुत आम है। लैंप वाले त्रिभुज का आधार (दूरी + छाया) होता है, जो छाया के सिरे से नापा जाता है। केवल व्यक्ति और लैंप के बीच की दूरी ले लेना गलत है।

हल किए गए उदाहरण

अब कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं।

प्रश्न 1

त्रिभुजों का निम्नलिखित में से कौन-सा युग्म अनिवार्य रूप से समरूप है? (a) भुजाएँ 3, 4, 6 सेमी और भुजाएँ 6, 8, 10 सेमी (b) एक में AB = 6, AC = 4.5, $\angle B = 40^\circ$ और दूसरे में PQ = 8, PR = 6, $\angle Q = 40^\circ$ (c) दो समद्विबाहु त्रिभुज, जिनकी बराबर भुजाएँ 5 सेमी और 10 सेमी हैं (d) एक में $\angle A = 50^\circ$, $\angle B = 60^\circ$ और दूसरे में $\angle P = 60^\circ$, $\angle R = 70^\circ$

उत्तर: हर युग्म को एक-एक करके जाँचते हैं। पहले युग्म में $\frac{6}{3} = 2$ और $\frac{8}{4} = 2$ है, पर $\frac{10}{6} \neq 2$, तो SSS नहीं लगता। दूसरे युग्म में दो भुजाएँ और एक कोण है, पर वह कोण उन भुजाओं के बीच का नहीं है (SSA)। इन संख्याओं से हर त्रिभुज दो अलग आकारों में बन सकता है, तो समरूप होना ज़रूरी नहीं। तीसरे में कोणों के बारे में कुछ दिया ही नहीं है, और दो समद्विबाहु त्रिभुजों के ऊपरी कोण बिलकुल अलग हो सकते हैं। चौथे में तीसरे कोण निकाल लेते हैं, $\angle C = 70^\circ$ और $\angle Q = 50^\circ$। अब दोनों त्रिभुजों के कोण 50°, 60° और 70° हैं, तो AA लग जाता है। उत्तर (d) एक में $\angle A = 50^\circ$, $\angle B = 60^\circ$ और दूसरे में $\angle P = 60^\circ$, $\angle R = 70^\circ$ है।

प्रश्न 2

एक त्रिभुज की भुजाएँ 5 सेमी, 7 सेमी और 9 सेमी हैं। इसके समरूप एक अन्य त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा 15 सेमी है। दूसरे त्रिभुज का परिमाप कितना है? (a) 63 सेमी (b) 45 सेमी (c) 105 सेमी (d) 27 सेमी

उत्तर: दोनों की सबसे छोटी भुजाएँ एक-दूसरे के संगत हैं, तो स्केल गुणक $\frac{15}{5} = 3$ है। परिमाप भी इसी गुणक से बढ़ता है। तो दूसरे त्रिभुज का परिमाप 3 × (5 + 7 + 9) = 3 × 21 = (a) 63 सेमी है।

प्रश्न 3

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ है और इनके क्षेत्रफल क्रमशः 100 वर्ग सेमी और 169 वर्ग सेमी हैं। यदि EF = 19.5 सेमी है, तो BC कितना है? (a) 25.35 सेमी (b) 13 सेमी (c) 15 सेमी (d) 10 सेमी

उत्तर: क्षेत्रफलों का अनुपात भुजाओं के अनुपात का वर्ग होता है। तो भुजाएँ $\sqrt{100} : \sqrt{169} = 10 : 13$ के अनुपात में हैं। BC के संगत भुजा EF है, इसलिए BC = $19.5 \times \frac{10}{13}$ = (c) 15 सेमी।

प्रश्न 4

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल 36 वर्ग सेमी और 100 वर्ग सेमी हैं। छोटे त्रिभुज का एक शीर्षलंब 4.5 सेमी है। बड़े त्रिभुज का संगत शीर्षलंब कितना है? (a) 12.5 सेमी (b) 7.5 सेमी (c) 2.7 सेमी (d) 10 सेमी

उत्तर: लंबाइयाँ क्षेत्रफलों के वर्गमूलों के अनुपात में होती हैं, यानी $\sqrt{36} : \sqrt{100} = 6 : 10 = 3 : 5$। तो बड़ा शीर्षलंब $4.5 \times \frac{5}{3}$ = (b) 7.5 सेमी है।

प्रश्न 5

त्रिभुज ABC में D भुजा AB पर और E भुजा AC पर इस प्रकार हैं कि $\angle ADE = \angle ACB$ है। यदि AD = 4 सेमी, AE = 5 सेमी और AC = 10 सेमी है, तो AB कितना है? (a) 12.5 सेमी (b) 8 सेमी (c) 10 सेमी (d) 6.25 सेमी

उत्तर: ध्यान दीजिए, यहाँ DE, BC के समांतर नहीं है। त्रिभुज ADE और ACB में कोण A साझा है और $\angle ADE = \angle ACB$ है। तो $\triangle ADE \sim \triangle ACB$, जिसमें D के संगत C है और E के संगत B। अब $\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$, यानी $\frac{4}{10} = \frac{5}{AB}$, तो AB = (a) 12.5 सेमी। यही बात AD × AB = AE × AC वाले रूप से भी दिखती है, 4 × 12.5 = 5 × 10। जो लोग DE को BC के समांतर मान लेते हैं, उन्हें 8 सेमी मिलता है, जो गलत है।

प्रश्न 6

त्रिभुज ABC में $DE \parallel BC$ है, जहाँ D भुजा AB पर और E भुजा AC पर स्थित है। यदि AD = 3.6 सेमी, DB = 5.4 सेमी और AE = 2.4 सेमी है, तो EC कितना है? (a) 1.6 सेमी (b) 4.8 सेमी (c) 6 सेमी (d) 3.6 सेमी

उत्तर: आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$, यानी $\frac{3.6}{5.4} = \frac{2.4}{EC}$। बायाँ पक्ष $\frac{2}{3}$ है, तो EC = $2.4 \times \frac{3}{2}$ = (d) 3.6 सेमी।

प्रश्न 7

त्रिभुज ABC में $DE \parallel BC$ है, जहाँ D भुजा AB पर और E भुजा AC पर स्थित है। यदि $AD = x + 2$, $DB = x - 1$, $AE = x + 7$ और $EC = x + 1$ है (सभी सेमी में), तो $x$ का मान क्या है? (a) 5 (b) 2 (c) 3 (d) 4

उत्तर: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ में तिरछा गुणा करते हैं, $(x + 2)(x + 1) = (x - 1)(x + 7)$। दोनों ओर खोलने पर $x^2 + 3x + 2 = x^2 + 6x - 7$ आता है। वर्ग वाले पद कट जाते हैं और $3x = 9$ बचता है, तो $x$ = (c) 3। जाँच भी कर लेते हैं। लंबाइयाँ 5, 2, 10 और 4 सेमी आती हैं, सब धनात्मक हैं, और 5 : 2 = 10 : 4 है।

प्रश्न 8

त्रिभुज ABC में $DE \parallel BC$ है, जहाँ D भुजा AB पर और E भुजा AC पर स्थित है। यदि AD = 2 सेमी, DB = 5 सेमी और BC = 21 सेमी है, तो DE कितना है? (a) 8.4 सेमी (b) 6 सेमी (c) 15 सेमी (d) 10.5 सेमी

उत्तर: DE की तुलना पूरी भुजा AB से होती है, DB से नहीं। तो $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{2}{7}$, और DE = $21 \times \frac{2}{7}$ = (b) 6 सेमी। अगर भूल से $\frac{AD}{DB} = \frac{2}{5}$ ले लिया, तो 8.4 सेमी आ जाएगा, जो गलत है।

प्रश्न 9

त्रिभुज ABC में $DE \parallel BC$ है, जहाँ D भुजा AB पर और E भुजा AC पर स्थित है, तथा AD : DB = 3 : 4 है। त्रिभुज ADE के क्षेत्रफल और समलंब चतुर्भुज DBCE के क्षेत्रफल का अनुपात क्या है? (a) 9 : 49 (b) 9 : 16 (c) 3 : 4 (d) 9 : 40

उत्तर: पहले AD : AB बना लेते हैं, जो 3 : 7 है। त्रिभुज ADE, त्रिभुज ABC के समरूप है और इसी अनुपात में, तो दोनों के क्षेत्रफल 9 : 49 में हैं। समलंब बाकी भाग है, यानी 49 − 9 = 40 भाग। इसलिए क्षेत्रफल(ADE) : क्षेत्रफल(DBCE) = (d) 9 : 40।

प्रश्न 10

BC के समांतर एक रेखा AB को D पर और AC को E पर काटती है, तथा त्रिभुज ABC को समान क्षेत्रफल वाले दो भागों में बाँटती है। यदि AB = 12 सेमी है, तो AD कितना है? (a) 6 सेमी (b) $3\sqrt{2}$ सेमी (c) $6\sqrt{2}$ सेमी (d) $(12 - 6\sqrt{2})$ सेमी

उत्तर: त्रिभुज ADE, त्रिभुज ABC का आधा है, तो $\left(\frac{AD}{AB}\right)^2 = \frac{1}{2}$, यानी $\frac{AD}{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}}$। इसलिए AD = $\frac{12}{\sqrt{2}}$ = (c) $6\sqrt{2}$ सेमी, जो लगभग 8.49 सेमी है। कई लोग लंबाई ही आधी करके 6 सेमी लिख देते हैं। यह गलत है, क्योंकि आधा तो क्षेत्रफल हुआ है, लंबाई नहीं।

प्रश्न 11

P, Q और R त्रिभुज ABC की भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं, तथा X, Y और Z त्रिभुज PQR की भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं। यदि त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 96 वर्ग सेमी है, तो त्रिभुज XYZ का क्षेत्रफल कितना है? (a) 6 वर्ग सेमी (b) 12 वर्ग सेमी (c) 24 वर्ग सेमी (d) 3 वर्ग सेमी

उत्तर: त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदु मिलाने पर आधी भुजाओं वाला त्रिभुज मिलता है, जिसका क्षेत्रफल एक-चौथाई होता है। तो त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल $\frac{96}{4} = 24$ वर्ग सेमी है। फिर यही बात दोहराते हैं, तो त्रिभुज XYZ का क्षेत्रफल $\frac{24}{4}$ = (a) 6 वर्ग सेमी है।

प्रश्न 12

त्रिभुज ABC में D, AB का मध्य-बिंदु है। D से होकर BC के समांतर खींची गई रेखा AC से E पर मिलती है। यदि AC = 11 सेमी और BC = 9 सेमी है, तो AE + DE का मान क्या है? (a) 11 सेमी (b) 10 सेमी (c) 9 सेमी (d) 20 सेमी

उत्तर: मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से E, AC का मध्य-बिंदु है, तो AE = 5.5 सेमी। अब D और E दोनों मध्य-बिंदु हैं, इसलिए DE, BC का आधा है, यानी 4.5 सेमी। तो AE + DE = (b) 10 सेमी।

प्रश्न 13

तीन समांतर रेखाएँ एक तिर्यक रेखा को A, B, C पर और दूसरी तिर्यक रेखा को D, E, F पर काटती हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। यदि AB = 5 सेमी, BC = 7 सेमी और DF = 24 सेमी है, तो DE कितना है? (a) 10 सेमी (b) 14 सेमी (c) 12 सेमी (d) 8 सेमी

उत्तर: समांतर रेखाएँ दोनों तिर्यक रेखाओं को एक ही अनुपात में काटती हैं, तो DE : EF = AB : BC = 5 : 7। पूरा DF 12 भाग है, जो 24 सेमी के बराबर है, तो एक भाग 2 सेमी हुआ। इसलिए DE = 5 × 2 = (a) 10 सेमी।

प्रश्न 14

ABCD एक समलंब चतुर्भुज है, जिसमें $AB \parallel DC$, AB = 10 सेमी और DC = 25 सेमी है। E भुजा AD पर और F भुजा BC पर इस प्रकार हैं कि $EF \parallel AB$ और AE : ED = 2 : 3 है। EF कितना है? (a) 19 सेमी (b) 17.5 सेमी (c) 14 सेमी (d) 16 सेमी

उत्तर: विकर्ण AC खींच लेते हैं, जो EF को G पर काटता है। त्रिभुज ADC में $EG \parallel DC$ है और AE : AD = 2 : 5, तो EG = $\frac{2}{5} \times 25 = 10$ सेमी। त्रिभुज CAB में $GF \parallel AB$ है और CG : CA = CF : CB = 3 : 5, तो GF = $\frac{3}{5} \times 10 = 6$ सेमी। अब EF = 10 + 6 = (d) 16 सेमी। सूत्र से भी यही आता है, $\frac{3 \times 10 + 2 \times 25}{5} = 16$। अगर सूत्र में 2 और 3 की जगह आपस में बदल दी, तो गलत मान 19 सेमी आ जाता है।

प्रश्न 15

त्रिभुज ABC में D भुजा BC पर इस प्रकार है कि BD : DC = 2 : 3 है, और E, AD का मध्य-बिंदु है। यदि त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 80 वर्ग सेमी है, तो त्रिभुज BED का क्षेत्रफल कितना है? (a) 32 वर्ग सेमी (b) 24 वर्ग सेमी (c) 16 वर्ग सेमी (d) 8 वर्ग सेमी

उत्तर: त्रिभुज ABD और ADC की A से ऊँचाई एक है, तो क्षेत्रफल(ABD) = $\frac{2}{5} \times 80 = 32$ वर्ग सेमी। अब त्रिभुज ABD के अंदर त्रिभुज BAE और BED देखते हैं। इनकी B से ऊँचाई एक है और आधार भी बराबर हैं (AE = ED)। तो क्षेत्रफल(BED) = $\frac{32}{2}$ = (c) 16 वर्ग सेमी।

प्रश्न 16

त्रिभुज ABC की भुजाओं BC, CA और AB पर क्रमशः बिंदु D, E और F इस प्रकार हैं कि BD : DC = CE : EA = AF : FB = 1 : 2 है। यदि त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 63 वर्ग सेमी है, तो त्रिभुज DEF का क्षेत्रफल कितना है? (a) 7 वर्ग सेमी (b) 21 वर्ग सेमी (c) 14 वर्ग सेमी (d) 28 वर्ग सेमी

उत्तर: पहले कोने वाला त्रिभुज AFE लेते हैं। AF, AB का $\frac{1}{3}$ है। CE : EA = 1 : 2 है, तो AE, AC का $\frac{2}{3}$ है। इसलिए AFE का क्षेत्रफल पूरे का $\frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$ है, यानी 14 वर्ग सेमी। बाकी दोनों कोने भी इतने ही हैं, तो तीनों कोने मिलाकर 42 वर्ग सेमी हुए। त्रिभुज DEF बचा हुआ भाग है, यानी 63 − 42 = (b) 21 वर्ग सेमी।

प्रश्न 17

त्रिभुज ABC में AB = 14 सेमी, AC = 21 सेमी और BC = 20 सेमी है। कोण A का समद्विभाजक BC से D पर मिलता है। BD कितना है? (a) 8 सेमी (b) 12 सेमी (c) 10 सेमी (d) 7 सेमी

उत्तर: समद्विभाजक BC को अपने दोनों ओर की भुजाओं के अनुपात में बाँटता है, तो BD : DC = AB : AC = 14 : 21 = 2 : 3। BC के 5 भाग हुए, तो एक भाग 4 सेमी का है। इसलिए BD = 2 × 4 = (a) 8 सेमी।

प्रश्न 18

त्रिभुज ABC में कोण A का समद्विभाजक BC से D पर मिलता है। यदि BD = 3 सेमी, DC = 5 सेमी और AB = 6 सेमी है, तो AC कितना है? (a) 3.6 सेमी (b) 8 सेमी (c) 2.5 सेमी (d) 10 सेमी

उत्तर: $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$ लगाते हैं, यानी $\frac{6}{AC} = \frac{3}{5}$। तो AC = (d) 10 सेमी। जाँच भी कर लेते हैं। त्रिभुज की भुजाएँ 6, 8 और 10 सेमी आती हैं, और ऐसा त्रिभुज बन सकता है, तो उत्तर ठीक है।

प्रश्न 19

[Tier 2] त्रिभुज ABC में AB = 9 सेमी, AC = 6 सेमी और BC = 5 सेमी है। A पर बने बाह्य कोण का समद्विभाजक, आगे बढ़ाई गई भुजा BC से E पर मिलता है। CE कितना है? (a) 15 सेमी (b) 2 सेमी (c) 10 सेमी (d) 3 सेमी

उत्तर: बाहरी समद्विभाजक BC को बाहर से AB : AC = 9 : 6 = 3 : 2 के अनुपात में बाँटता है, तो BE : CE = 3 : 2। AC छोटी भुजा है, इसलिए E, C के पार आएगा, और BE − CE = BC = 5 सेमी। यह अंतर एक भाग के बराबर है, तो एक भाग 5 सेमी का हुआ। इसलिए CE = 2 × 5 = (c) 10 सेमी, और BE = 15 सेमी।

प्रश्न 20

त्रिभुज ABC में $\angle A = 90^\circ$ है और AD, BC पर लंब है। यदि BD = 4 सेमी और DC = 9 सेमी है, तो AD कितना है? (a) 6.5 सेमी (b) 6 सेमी (c) 5 सेमी (d) 13 सेमी

उत्तर: कर्ण पर शीर्षलंब का वर्ग, कर्ण के दोनों टुकड़ों के गुणनफल के बराबर होता है। $AD^2 = BD \times DC = 4 \times 9 = 36$, तो AD = (b) 6 सेमी। 6.5 सेमी तो BC का आधा है। यह कर्ण पर माध्यिका की लंबाई है, शीर्षलंब की नहीं।

प्रश्न 21

त्रिभुज ABC में $\angle A = 90^\circ$, AB = 9 सेमी और AC = 12 सेमी है। AD, BC पर शीर्षलंब है। AD कितना है? (a) 7.5 सेमी (b) 5.4 सेमी (c) 9.6 सेमी (d) 7.2 सेमी

उत्तर: पहले BC निकाल लेते हैं, BC = $\sqrt{81 + 144} = 15$ सेमी। अब क्षेत्रफल को दो तरह से लिखते हैं, AB × AC = BC × AD। तो AD = $\frac{9 \times 12}{15}$ = (d) 7.2 सेमी।

प्रश्न 22

त्रिभुज ABC में $\angle A = 90^\circ$ है और AD, BC पर लंब है। यदि BD = 5 सेमी और BC = 20 सेमी है, तो AB कितना है? (a) 10 सेमी (b) $5\sqrt{3}$ सेमी (c) $10\sqrt{3}$ सेमी (d) 15 सेमी

उत्तर: कर्ण के अलावा किसी भुजा का वर्ग, उससे लगे टुकड़े और पूरे कर्ण के गुणनफल के बराबर होता है। तो $AB^2 = BD \times BC = 5 \times 20 = 100$, और AB = (a) 10 सेमी।

प्रश्न 23

ABCD एक समलंब चतुर्भुज है, जिसमें $AB \parallel DC$ और AB = 2 DC है। इसके विकर्ण O पर मिलते हैं। यदि त्रिभुज COD का क्षेत्रफल 12 वर्ग सेमी है, तो समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल कितना है? (a) 84 वर्ग सेमी (b) 60 वर्ग सेमी (c) 108 वर्ग सेमी (d) 144 वर्ग सेमी

उत्तर: त्रिभुज AOB और COD समरूप हैं और अनुपात 2 : 1 है, तो क्षेत्रफल(AOB) = 4 × 12 = 48 वर्ग सेमी। हर बगल वाला त्रिभुज $\sqrt{48 \times 12} = 24$ वर्ग सेमी का है। कुल क्षेत्रफल 12 + 48 + 24 + 24 = (c) 108 वर्ग सेमी है। जाँच के लिए देखिए, $(\sqrt{12} + \sqrt{48})^2 = (3\sqrt{12})^2$ भी यही देता है।

प्रश्न 24

1.5 मीटर लंबी एक लड़की एक लैंप पोस्ट के आधार से 1.4 मीटर/सेकंड की चाल से दूर जा रही है। लैंप भूमि से 5 मीटर की ऊँचाई पर है। 5 सेकंड बाद उसकी छाया कितनी लंबी होगी? (a) 2.1 मीटर (b) 3 मीटर (c) 10 मीटर (d) 2.5 मीटर

उत्तर: 5 सेकंड में लड़की लैंप के आधार से 1.4 × 5 = 7 मीटर दूर पहुँच जाती है। छाया $s$ मीटर मान लेते हैं। लड़की और लैंप, दोनों के साथ एक-एक समकोण त्रिभुज बनता है, और छाया के सिरे पर दोनों का कोण एक ही है। ये समरूप हैं, तो $\frac{1.5}{s} = \frac{5}{7 + s}$। तिरछा गुणा करने पर $1.5(7 + s) = 5s$, यानी $10.5 = 3.5s$, और $s$ = (b) 3 मीटर। अगर लैंप वाले त्रिभुज का आधार केवल 7 मीटर ले लिया, तो 2.1 मीटर आएगा। यह गलत है, क्योंकि लैंप वाले त्रिभुज का आधार छाया के सिरे तक नापा जाता है।