रेखाएँ, कोण, चतुर्भुज और बहुभुज

कोणों के प्रकार, कोटिपूरक और संपूरक

जब दो किरणें एक ही बिंदु से निकलती हैं, तो उनके बीच एक कोण बनता है। जिस बिंदु से दोनों किरणें निकलती हैं, उसे कोण का शीर्ष (vertex) कहते हैं।

कोण कितना बड़ा है, यह इससे पता चलता है कि एक भुजा को दूसरी भुजा तक पहुँचने के लिए कितना घूमना पड़ता है। एक पूरा चक्कर 360° का होता है। माप के हिसाब से कोणों के नाम ये हैं।

हर कोण के साथ एक प्रतिवर्ती कोण (reflex angle) भी होता है। दोनों मिलकर पूरा चक्कर बनाते हैं। जैसे 72° के कोण का प्रतिवर्ती कोण 360° − 72° = 288° होता है।

जिन दो कोणों का योग 90° हो, वे कोटिपूरक कोण (complementary angles) कहलाते हैं। जिनका योग 180° हो, वे संपूरक कोण (supplementary angles) कहलाते हैं। किसी कोण $x$ के लिए

$$\text{कोटिपूरक} = 90^\circ - x \qquad \text{संपूरक} = 180^\circ - x$$

ज़्यादातर प्रश्न बस दो बातों से हल हो जाते हैं।

• कोटिपूरक केवल न्यून कोण का होता है। समकोण या उससे बड़े किसी भी कोण का कोई कोटिपूरक नहीं होता।
• संपूरक हमेशा कोटिपूरक से 90° बड़ा होता है, क्योंकि $(180^\circ - x) - (90^\circ - x) = 90^\circ$। जैसे किसी कोण का संपूरक 128° है, तो उसका कोटिपूरक 38° होगा। इसके लिए कोण ख़ुद निकालने की ज़रूरत ही नहीं पड़ती।

अनुपात में दिए कोण भागों से निकालिए। दो संपूरक कोण 4 : 5 में हों, तो कुल 9 भाग 180° के बराबर हैं। एक भाग 20° का हुआ, तो कोण 80° और 100° हैं। इसी तरह दो कोटिपूरक कोण 4 : 11 में हों, तो 15 भाग हुए और हर भाग 6° का। कोण 24° और 66° हैं।

शब्दों में दिए कोण वाले प्रश्न में वाक्य को सीधे $x$ के समीकरण में बदल लीजिए।

• "एक कोण अपने कोटिपूरक से 24° अधिक है" का मतलब है $x = (90 - x) + 24$। इससे $2x = 114$, यानी $x = 57^\circ$। जाँच लीजिए, कोटिपूरक 33° है और 57 − 33 = 24।
• "किसी कोण का संपूरक उसके कोटिपूरक का तीन गुना है" का मतलब है $180 - x = 3(90 - x)$। इससे $2x = 90$, यानी $x = 45^\circ$।

कभी प्रश्न में "कोटिपूरक का संपूरक" जैसी बात आती है। इसे भीतर से बाहर की ओर पढ़िए, यानी पहले भीतर वाला हिस्सा निकालिए। "30° के कोटिपूरक का संपूरक" मतलब 60° का संपूरक, जो 120° है। किसी भी कोण $x$ के कोटिपूरक का संपूरक $90^\circ + x$ होता है।

हल करने के बाद उत्तर पर एक बार फिर नज़र डालिए। प्रश्न कोटिपूरक की बात करे और उत्तर 96° आए, तो समझ लीजिए कि समीकरण उलटा लिख दिया है, क्योंकि जिस कोण का कोटिपूरक होता है, वह 90° से कम ही होता है।

रैखिक युग्म, शीर्षाभिमुख कोण, बिंदु पर कोण

रैखिक युग्म (linear pair) तब बनता है, जब किसी सीधी रेखा पर एक किरण खड़ी हो। किरण के दोनों ओर पास-पास दो कोण होते हैं, और ये दोनों मिलकर एक ऋजु कोण बनाते हैं। इसलिए रैखिक युग्म के दोनों कोणों का योग 180° होता है। ऊपर "कोणों के प्रकार, कोटिपूरक और संपूरक" वाली आकृति में 70° और 110° के कोण ऐसा ही एक रैखिक युग्म बनाते हैं।

यह नियम उलटा भी चलता है। पास-पास के दो कोणों का योग 180° हो, तो उनकी बाहरी भुजाएँ एक ही सीधी रेखा पर होती हैं।

शीर्षाभिमुख कोण (vertically opposite angles) तब बनते हैं, जब दो रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं। जिस बिंदु पर वे कटती हैं, वहाँ चार कोण बनते हैं। इनमें से जो दो कोण उस बिंदु के आर-पार ठीक आमने-सामने होते हैं, उन्हें शीर्षाभिमुख कोण कहते हैं। ये हमेशा बराबर होते हैं।

इसका कारण छोटा-सा है। आकृति में $\angle AOC$ और $\angle COB$ सीधी रेखा AB पर हैं, तो $y + x = 180^\circ$। $\angle AOC$ और $\angle AOD$ सीधी रेखा CD पर हैं, तो इनका योग भी 180° है। इसलिए $\angle COB$ और $\angle AOD$ दोनों $180^\circ - y$ के बराबर हैं, यानी आपस में भी बराबर हैं।

O के चारों ओर बारी-बारी से देखें, तो चारों कोण $x$, $y$, $x$, $y$ हैं, और $x + y = 180^\circ$ है। मतलब एक कोण पता हो, तो चारों पता चल जाते हैं।

एक बिंदु के चारों ओर बने सारे कोणों का योग 360° होता है। जैसे O से चार किरणें निकलती हैं और उनके बीच के कोण $x$, $2x$, $3x$ और $4x$ हैं। तो $10x = 360^\circ$, और कोण 36°, 72°, 108° और 144° हैं।

रेखा के एक ओर बने कोणों का योग 180° होता है, उस ओर किरणें चाहे कितनी भी हों। मान लीजिए तीन रेखाएँ एक ही बिंदु से गुज़रती हैं। इनसे छह कोण बनते हैं। किसी भी एक रेखा के एक ओर तीन कोण हैं, जिनका योग 180° है। बाकी तीन कोण इन्हीं के शीर्षाभिमुख हैं, इसलिए उनके मान भी यही होते हैं। जैसे एक ओर के तीन कोण $2x$, $3x$ और $4x$ हों, तो $9x = 180^\circ$ और $x = 20^\circ$। छहों कोण 40°, 60°, 80°, 40°, 60° और 80° हैं।

समद्विभाजकों के दो नियम भी याद रखिए। रैखिक युग्म के दोनों कोणों के समद्विभाजक एक-दूसरे पर लंब होते हैं, क्योंकि $x$ का आधा और $180^\circ - x$ का आधा मिलकर 90° होते हैं। और दो शीर्षाभिमुख कोणों के समद्विभाजक एक ही सीधी रेखा में होते हैं।

आकृति में कोई भी हिसाब शुरू करने से पहले दो काम कीजिए। सीधी रेखाओं पर निशान लगा लीजिए, क्योंकि उन पर कोणों का योग 180° होता है। जहाँ रेखाएँ कटती हैं, उन बिंदुओं पर भी निशान लगाइए, क्योंकि वहाँ आमने-सामने के कोण बराबर होते हैं। "$x$ ज्ञात कीजिए" वाली ज़्यादातर आकृतियाँ बस इतने से हल हो जाती हैं।

समांतर रेखाएँ और तिर्यक रेखा

एक ही तल की दो रेखाएँ, जो कभी नहीं मिलतीं, समांतर रेखाएँ (parallel lines) कहलाती हैं। इसे $l \parallel m$ लिखते हैं। जो रेखा इन दोनों को काटती है, उसे तिर्यक रेखा (transversal) कहते हैं। हर कटान पर चार कोण बनते हैं, यानी कुल आठ कोण।

अगर $l \parallel m$ हो, तो इन आठ कोणों को जोड़ों में देखा जाता है, और हर जोड़े का अपना नियम है। इन जोड़ों के नाम संगत कोण (corresponding angles), एकांतर कोण (alternate angles) और सह-अंतः कोण (co-interior angles) हैं। किस जोड़े में क्या होता है, यह देखिए।

इतना सब एक साथ याद रखने का आसान ढंग यह है। दो समांतर रेखाओं को तिर्यक रेखा काटे, तो केवल दो अलग-अलग कोण बनते हैं, एक न्यून और एक अधिक। इन दोनों का योग 180° होता है। आकृति में विषम संख्या वाले सारे कोण, यानी कोण 1, 3, 5 और 7, एक ही न्यून कोण के बराबर हैं। सम संख्या वाले सारे कोण, यानी कोण 2, 4, 6 और 8, एक ही अधिक कोण के बराबर हैं। तो एक ही समूह के कोई भी दो कोण बराबर होते हैं, और एक समूह का कोई भी कोण दूसरे समूह के किसी भी कोण के साथ मिलकर 180° होता है।

उलटी दिशा में भी ये नियम चलते हैं। कोई एक संगत जोड़ा बराबर हो, या कोई एक एकांतर जोड़ा बराबर हो, या दो सह-अंतः कोणों का योग 180° हो, तो दोनों रेखाएँ समांतर होती हैं। "$x$ के किस मान के लिए $l \parallel m$ होगा?" जैसे प्रश्न इसी से हल होते हैं।

व्यंजक के रूप में दिए कोण भी इन्हीं नियमों से निकलते हैं। मान लीजिए कोण 3 और कोण 5 क्रमशः $(2x + 20)^\circ$ और $(4x - 20)^\circ$ हैं। ये एकांतर अंतः कोण हैं, इसलिए बराबर होंगे। तो $4x - 20 = 2x + 20$, यानी $x = 20$, और दोनों कोण 60° के हैं। अगर यही व्यंजक कोण 3 और कोण 6 के होते, तो ये सह-अंतः कोण होते और इनका योग 180° होता। तब $6x = 180$, यानी $x = 30$, और कोण 80° और 100° आते।

इसलिए समीकरण लिखने से पहले देख लीजिए कि प्रश्न में कौन-सा जोड़ा दिया है। उसी से पता चलेगा कि दोनों कोणों को बराबर रखना है या उनका योग 180° रखना है।

[SSC टिप] अक्षरों की शक्ल से याद रखिए। संगत कोण F के भीतर होते हैं, एकांतर कोण Z के भीतर, और सह-अंतः कोण C (या U) के भीतर। जिन दो कोणों के बीच Z बनता दिखे, वे बराबर होते हैं, और जिनके बीच C बनता दिखे, उनका योग 180° होता है।

मोड़ नियम: समांतर रेखाओं के बीच कोण

SSC के प्रश्नों में यह आकृति बहुत आती है। दो समांतर रेखाएँ होती हैं और उनके बीच एक भुजा मुड़ी हुई होती है। रेखाओं के बीच एक बिंदु E होता है, जो ऊपर वाली रेखा पर A से और नीचे वाली रेखा पर C से जुड़ा होता है। दो कोण दिए होते हैं और तीसरा पूछा जाता है।

नियम यह है कि मोड़ का कोण उन दो कोणों के योग के बराबर होता है, जो दोनों भुजाएँ समांतर रेखाओं के साथ बनाती हैं। बस ये दोनों कोण उसी ओर नापिए, जिधर मोड़ की नोक है।

$$\angle AEC = \angle BAE + \angle DCE$$

कारण समझने के लिए E से AB के समांतर एक सहायक रेखा EF खींचिए। आकृति में यह खंडित रेखा है। EF $\parallel$ AB है, तो $\angle AEF = \angle BAE = x$, क्योंकि तिर्यक रेखा AE के साथ ये एकांतर कोण हैं। EF $\parallel$ CD भी है, तो तिर्यक रेखा CE के साथ इसी तरह $\angle FEC = \angle DCE = y$। दोनों भाग मिलाने पर $\angle AEC = x + y$।

जैसे $\angle BAE = 35^\circ$ और $\angle DCE = 50^\circ$ हो, तो मोड़ 85° का होगा। नियम उलटा भी लगता है। मोड़ 100° का हो और ऊपर वाला कोण 42° का, तो नीचे वाला कोण 58° होगा।

दूसरी ओर के कोण भी दिए जा सकते हैं। कभी आकृति में हर भुजा के साथ मोड़ से दूर वाली ओर का कोण दिया होता है। तब 360° वाला नियम लगता है।

यहाँ $p = 180^\circ - x$ और $r = 180^\circ - y$ हैं, और मोड़ $q = x + y$ है। अब तीनों को जोड़ दीजिए।

$$p + q + r = 360^\circ$$

जैसे $p = 130^\circ$ और $r = 140^\circ$ हो, तो मोड़ $q = 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$ होगा।

बिंदु दोनों रेखाओं के बाहर हो, यानी E दोनों रेखाओं से परे हो, तो बात बदल जाती है। तब E पर कोण दोनों कोणों का अंतर होता है, योग नहीं।

इसका कारण भी देख लीजिए। रेखा EC ऊपर वाली रेखा को भी काटती है, और वहाँ भी कोण $q$ ही होता है, क्योंकि यह संगत कोण है। अब E और A के साथ एक छोटा त्रिभुज बनता है, जिसका A पर बाह्य कोण $p$ है। बाह्य कोण दोनों अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है। तो $p = q + \angle AEC$, यानी $\angle AEC = p - q$। बाह्य कोण वाली बात "त्रिभुज: कोण, भुजाएँ, सर्वांगसमता और पाइथागोरस प्रमेय" वाले खंड में विस्तार से है। जैसे $p = 70^\circ$ और $q = 40^\circ$ हो, तो E पर कोण 30° होगा।

कभी याद न रहे कि कौन-सा नियम लगेगा, तो उस बिंदु से दी गई रेखाओं के समांतर एक सहायक रेखा खींच लीजिए। हर भाग पर एकांतर या सह-अंतः कोण मिल जाएँगे। इसमें बस दस सेकंड लगते हैं, और यह तरीका हर बार काम करता है।

समांतर रेखाओं में समद्विभाजक और अनुपात

सह-अंतः कोणों के समद्विभाजक हमेशा 90° पर मिलते हैं। मान लीजिए एक तिर्यक रेखा AB को P पर और CD को Q पर काटती है, और AB $\parallel$ CD है। तब सह-अंतः कोण $\angle BPQ$ और $\angle DQP$ का योग 180° होता है। इन दोनों के समद्विभाजक R पर मिलें, तो त्रिभुज PQR में

$$\angle RPQ + \angle RQP = \frac{\angle BPQ + \angle DQP}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$$

तो तीसरा कोण $\angle PRQ$ भी 90° का होगा। तिर्यक रेखा चाहे जितनी झुकी हो, यह कोण नहीं बदलता।

दो और बातें इसी से जुड़ी हैं। एकांतर कोणों के किसी जोड़े के समद्विभाजक, जैसे $\angle APQ$ और $\angle PQD$ के, आपस में समांतर होते हैं, क्योंकि ये PQ के साथ बराबर एकांतर कोण बनाते हैं। इसी कारण से संगत कोणों के जोड़े के समद्विभाजक भी आपस में समांतर होते हैं। यानी 90° पर मिलने वाले समद्विभाजक केवल सह-अंतः कोणों के होते हैं, या फिर रैखिक युग्म के।

मोड़ पर समद्विभाजक वाला प्रश्न भी आता है। फिर वही मोड़ वाली आकृति लीजिए, जिसमें $\angle AEC = \angle BAE + \angle DCE$ होता है। अब $\angle BAE$ और $\angle DCE$ के समद्विभाजक रेखाओं के बीच F पर मिलें, तो F भी एक मोड़ है। F पर मिलने वाली भुजाएँ समांतर रेखाओं के साथ उन दोनों कोणों के आधे कोण बनाती हैं। इसलिए $\angle AFC = \frac{1}{2}\angle AEC$। जैसे मोड़ 110° का हो, तो $\angle AFC = 55^\circ$।

अनुपात में सह-अंतः कोण दिए हों, तो याद रखिए कि उनका योग 180° है। जैसे दो सह-अंतः कोण 2 : 3 में हैं, तो 5 भाग हुए और हर भाग 36° का। कोण 72° और 108° हैं। तब दोनों कटानों के आठों कोण या तो 72° के होंगे, या 108° के।

एक कोण दूसरे का गुणज हो, तब भी यही सोच काम आती है। प्रश्न ऐसे आता है, "दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है। बने कोणों में से एक कोण, दूसरे का चार गुना है।" यहाँ दोनों कोण बराबर तो हो नहीं सकते, क्योंकि बराबर कोण एक-दूसरे के चार गुने नहीं होते। तो इनमें एक न्यून कोण $a$ है और दूसरा अधिक कोण $180^\circ - a$। अब $180 - a = 4a$ से $a = 36^\circ$ आता है, यानी कोण 36° और 144° हैं।

लंब के तीन नियम भी याद रखिए। दो समांतर रेखाओं में से किसी एक पर लंब रेखा दूसरी पर भी लंब होती है, क्योंकि संगत कोण बराबर होते हैं। किसी तीसरी रेखा पर लंब दो रेखाएँ आपस में समांतर होती हैं। और एक ही रेखा के समांतर दो रेखाएँ भी आपस में समांतर होती हैं।

बहुभुज: अंतः और बाह्य कोण

सीधी भुजाओं से बनी किसी भी बंद आकृति को बहुभुज (polygon) कहते हैं। जिस बहुभुज का हर अंतः कोण 180° से कम हो, यानी कोई भी कोना भीतर की ओर दबा न हो, वह उत्तल बहुभुज (convex polygon) कहलाता है। SSC में बहुभुज वाले प्रश्न उत्तल बहुभुज के ही होते हैं। जिस बहुभुज की सारी भुजाएँ बराबर हों और सारे कोण भी बराबर हों, उसे सम बहुभुज (regular polygon) कहते हैं।

अंतः कोणों का योग निकालने के लिए बहुभुज को त्रिभुजों में बाँट लीजिए। $n$ भुजाओं वाले बहुभुज के किसी एक शीर्ष से बाकी सभी शीर्षों तक रेखाखंड खींच दीजिए। बहुभुज $n - 2$ त्रिभुजों में बँट जाता है, और हर त्रिभुज के कोणों का योग 180° है।

$$\text{अंतः कोणों का योग} = (n - 2) \times 180^\circ$$

जैसे पंचभुज में यह योग $3 \times 180^\circ = 540^\circ$ है, षट्भुज में 720° और अष्टभुज में 1080°।

बाह्य कोणों का योग देखने के लिए बहुभुज के चारों ओर एक ही दिशा में चलते हुए हर भुजा को बारी-बारी आगे बढ़ाइए। बढ़ाए गए भाग और अगली भुजा के बीच का कोण उस शीर्ष का बाह्य कोण है। हर शीर्ष पर अंतः कोण और बाह्य कोण मिलकर एक रैखिक युग्म बनाते हैं, इसलिए

$$\text{अंतः कोण} + \text{बाह्य कोण} = 180^\circ$$

अब बहुभुज के किनारे-किनारे एक पूरा चक्कर लगाइए। हर कोने पर उतना मुड़ना पड़ता है, जितना वहाँ का बाह्य कोण है। अंत में आप फिर उसी दिशा में देख रहे होते हैं, जिधर देखते हुए चले थे। मतलब कोनों पर आप जितना मुड़े, वह सब मिलाकर ठीक एक पूरा चक्कर है।

$$e_1 + e_2 + \dots + e_n = 360^\circ \quad \text{हर उत्तल बहुभुज के लिए}$$

सम बहुभुज में सारे $n$ बाह्य कोण बराबर होते हैं। इसलिए

$$\text{प्रत्येक बाह्य कोण} = \frac{360^\circ}{n} \qquad \text{प्रत्येक अंतः कोण} = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n} = \frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n}$$

कुछ सम बहुभुजों के मान ये हैं।

[SSC टिप] हर बार बाह्य कोण से शुरू कीजिए। इसमें केवल एक भाग करना होता है, $360 \div n$। फिर अंतः कोण = 180° − बाह्य कोण। ज़्यादातर गलती अंतः कोण वाले उस सूत्र में होती है, जिसके अंश में $(n - 2)$ आता है।

भुजाओं की संख्या निकालना

"कितनी भुजाएँ हैं" वाला हर प्रश्न एक ही कदम से हल होता है। किसी तरह एक बाह्य कोण $e$ निकाल लीजिए, फिर

$$n = \frac{360^\circ}{e}$$

अंतः कोण दिया हो, तो पहले उससे बाह्य कोण निकालिए। जैसे हर अंतः कोण 140° है, तो $e = 40^\circ$ और $n = 9$।

ऐसा बहुभुज हो भी सकता है या नहीं, यह भी पूछा जाता है। भुजाओं की संख्या पूर्ण संख्या होनी चाहिए, और कम से कम 3। मान लीजिए अंतः कोण 130° है। तब $e = 50^\circ$ और $360 \div 50 = 7.2$, जो पूर्ण संख्या नहीं है। मतलब 130° अंतः कोण वाला कोई सम बहुभुज नहीं होता। बाह्य कोण केवल 360 के वे भाजक हो सकते हैं, जो 120 तक हैं। ये 120°, 90°, 72°, 60°, 45°, 40°, 36°, 30°, 24°, 20°, 18°, 15°, 12°, 10°, 9°, 8°, 6°, 5°, 4°, 3°, 2° और 1° हैं।

अंतः और बाह्य कोण का अनुपात दिया हो, तो याद रखिए कि दोनों का योग 180° है। अंतः कोण : बाह्य कोण $= p : q$ हो, तो $e = \frac{180^\circ \times q}{p + q}$। जैसे अनुपात 7 : 2 है, तो $e = \frac{180 \times 2}{9} = 40^\circ$ और $n = 9$।

अनुपात $k : 1$ हो, तो और भी छोटा रास्ता है।

$$\frac{\text{अंतः कोण}}{\text{बाह्य कोण}} = \frac{(n - 2) \times 180 \div n}{360 \div n} = \frac{n - 2}{2} \quad\Rightarrow\quad n = 2k + 2$$

जैसे अंतः कोण, बाह्य कोण का 4 गुना है, तो $n = 10$। जाँच लीजिए, कोण 144° और 36° आते हैं, जो ठीक है।

अंतर दिया हो, तो योग और अंतर दोनों से समीकरण लिखिए। मान लीजिए अंतः कोण, बाह्य कोण से 108° अधिक है। तब $i + e = 180$ और $i - e = 108$, जिनसे $e = 36^\circ$ और $n = 10$ आता है।

अंतः कोणों का योग दिया हो, तो सीधे सूत्र में रखिए। जैसे योग 1980° हो, तो $(n - 2) \times 180 = 1980$, यानी $n - 2 = 11$ और $n = 13$। अगर अंतः कोणों का योग बाह्य कोणों के योग का $k$ गुना हो, तो $(n - 2) \times 180 = k \times 360$, और फिर वही $n = 2k + 2$ आता है। जैसे तीन गुना हो, तो $n = 8$, और सच में 1080 = 3 × 360 है।

दो सम बहुभुजों वाले प्रश्न भी आते हैं। मान लीजिए उनकी भुजाओं की संख्या 1 : 2 में है और अंतः कोण 3 : 4 में। भुजाएँ $n$ और $2n$ लीजिए। तब

$$\frac{180 - \frac{360}{n}}{180 - \frac{180}{n}} = \frac{3}{4} \;\Rightarrow\; 720 - \frac{1440}{n} = 540 - \frac{540}{n} \;\Rightarrow\; 180 = \frac{900}{n} \;\Rightarrow\; n = 5$$

यानी एक बहुभुज पंचभुज (108°) है और दूसरा दशभुज (144°)। जाँच कर लीजिए, 108 : 144 = 3 : 4 है।

अगर विकल्पों में भुजाओं की संख्या दी हो, तो हल करने के बजाय विकल्प जाँच लीजिए। हर विकल्प के लिए $360 \div n$ निकालिए और देखिए कि दिए गए आँकड़े किससे मेल खाते हैं। अनुपात वाला प्रश्न इस तरह एक मिनट से कम में हो जाता है।

विकर्ण और शीर्षों से बने त्रिभुज

जो दो शीर्ष पास-पास नहीं हैं, उन्हें मिलाने वाले रेखाखंड को विकर्ण (diagonal) कहते हैं।

$n$ भुजाओं वाले बहुभुज के किसी एक शीर्ष से विकर्ण कहाँ-कहाँ जाते हैं, यह देखिए। ख़ुद उस शीर्ष और उसके दोनों पड़ोसी शीर्षों को छोड़कर बाकी हर शीर्ष तक एक विकर्ण जाता है। तो हर शीर्ष से $n - 3$ विकर्ण निकलते हैं। ऐसा सारे $n$ शीर्षों पर करें, तो हर विकर्ण दो बार गिना जाता है, दोनों सिरों से एक-एक बार। इसलिए

$$\text{विकर्णों की संख्या} = \frac{n(n - 3)}{2}$$

जैसे षट्भुज में $\frac{6 \times 3}{2} = 9$ विकर्ण हैं, जिनमें से तीन A से निकलते हैं। इसी तरह अष्टभुज में 20, दशभुज में 35 और 12 भुजाओं वाले बहुभुज में 54 विकर्ण होते हैं।

इस सूत्र को दूसरी तरह से भी देख सकते हैं। $n$ शीर्षों में से कोई भी दो शीर्ष लें, तो एक रेखाखंड मिलता है। ऐसे कुल $\frac{n(n - 1)}{2}$ रेखाखंड हैं। इनमें से $n$ तो भुजाएँ हैं, और बाकी सब विकर्ण।

उलटी दिशा में भी प्रश्न आते हैं, यानी विकर्ण दिए हों और भुजाएँ पूछी जाएँ।

• 54 विकर्ण हों, तो $n(n - 3) = 108 = 12 \times 9$, यानी $n = 12$।
• विकर्ण ठीक उतने ही हों जितनी भुजाएँ, तो $\frac{n(n - 3)}{2} = n$। इससे $n - 3 = 2$ और $n = 5$। ऐसा बहुभुज केवल पंचभुज है।
• विकर्ण भुजाओं के $k$ गुने हों, तो $n - 3 = 2k$, यानी $n = 2k + 3$। जैसे विकर्ण भुजाओं के दोगुने हों, तो $n = 7$ और विकर्ण 14 होंगे।

शीर्षों से बने त्रिभुज गिनना भी आसान है। उत्तल बहुभुज के कोई भी तीन शीर्ष लीजिए, एक त्रिभुज बन जाएगा, क्योंकि उनमें से कोई तीन एक रेखा पर नहीं होते। तो त्रिभुजों की संख्या उतनी ही है, जितने तरीकों से 3 शीर्ष चुने जा सकते हैं।

$$\text{त्रिभुजों की संख्या} = \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}$$

जैसे अष्टभुज के शीर्षों से $\frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 56$ त्रिभुज बनते हैं।

ध्यान रखिए, यह गिनती उन $n - 2$ त्रिभुजों से अलग है, जो एक शीर्ष से विकर्ण खींचने पर बनते हैं। वह तो कोणों के योग वाली आकृति है।

[Tier 2] बहुभुज से भुजा साझा करने वाले त्रिभुज भी गिने जा सकते हैं। शीर्षों से बने त्रिभुजों को इस हिसाब से छाँटिए कि उनकी कितनी भुजाएँ बहुभुज की भी भुजाएँ हैं।

जैसे अष्टभुज में ये संख्याएँ 8, 32 और 16 हैं। जाँच लीजिए, 8 + 32 + 16 = 56।

[SSC टिप] मान लीजिए पूछा गया है, "35 विकर्णों वाले बहुभुज में कितनी भुजाएँ?" तब 35 को दोगुना कीजिए, 70 आएगा। अब 70 को ऐसी दो संख्याओं के गुणनफल में तोड़िए, जिनका अंतर 3 हो। 10 × 7 = 70 है, तो बड़ी संख्या 10 ही भुजाओं की संख्या है।

चतुर्भुज: कोणों का योग और समद्विभाजक

कोई भी चतुर्भुज एक विकर्ण से दो त्रिभुजों में बँट जाता है। इसलिए उसके चारों कोणों का योग $2 \times 180^\circ = 360^\circ$ होता है। जैसे कोण 3 : 4 : 5 : 6 में हों, तो कुल 18 भाग हुए और हर भाग 20° का। कोण 60°, 80°, 100° और 120° हैं।

दो आसन्न कोणों के समद्विभाजकों के बीच का कोण भी पूछा जाता है। मान लीजिए चतुर्भुज ABCD में $\angle A$ और $\angle B$ के समद्विभाजक O पर मिलते हैं। तब त्रिभुज AOB में

$$\angle AOB = 180^\circ - \frac{\angle A + \angle B}{2} = \frac{360^\circ - (\angle A + \angle B)}{2} = \frac{\angle C + \angle D}{2}$$

मतलब $\angle A$ और $\angle B$ अलग-अलग जानने की ज़रूरत ही नहीं है। जैसे $\angle C = 120^\circ$ और $\angle D = 80^\circ$ हो, तो $\angle AOB = 100^\circ$।

दो बाह्य कोणों के समद्विभाजकों का भी ऐसा ही नियम है। A और B पर बाह्य कोणों के समद्विभाजक भुजा AB की ओर, चतुर्भुज के बाहर मिलते हैं, और उनके बीच $\frac{\angle A + \angle B}{2}$ का कोण बनता है। कारण यह है कि हर बाह्य समद्विभाजक AB के साथ $90^\circ - \frac{\angle A}{2}$ या $90^\circ - \frac{\angle B}{2}$ का कोण बनाता है।

[Tier 2] दो सम्मुख कोणों के समद्विभाजक भी आपस में एक कोण बनाते हैं। $\angle B$ और $\angle D$ के समद्विभाजकों के बीच $\frac{|\angle A - \angle C|}{2}$ का कोण होता है। समांतर चतुर्भुज (parallelogram) में $\angle A = \angle C$ होता है, इसलिए वहाँ ये दोनों समद्विभाजक समांतर होते हैं।

मध्य-बिंदु चतुर्भुज का नियम बहुत काम का है। किसी भी चतुर्भुज की चारों भुजाओं के मध्य-बिंदु क्रम से मिलाइए, तो हमेशा एक समांतर चतुर्भुज बनता है। इसका कारण मध्य-बिंदु प्रमेय (midpoint theorem) है, जो "समरूप त्रिभुज और समानुपातिकता" वाले खंड में है। नई आकृति की भुजाएँ मूल चतुर्भुज के विकर्णों के समांतर होती हैं और उनसे आधी होती हैं। इसलिए नई आकृति कैसी होगी, यह इन्हीं विकर्णों पर निर्भर करता है।

समद्विभाजक वाले प्रश्न में जिन दो कोणों के समद्विभाजक नहीं खींचे गए, उनका योग लीजिए और उसे आधा कर दीजिए, $\angle AOB = \frac{\angle C + \angle D}{2}$। सही उत्तर का संपूरक, यानी $180^\circ - \frac{\angle C + \angle D}{2}$, लगभग हमेशा विकल्पों में होता है। इसलिए जाँच लीजिए कि प्रश्न असल में कौन-सा कोण माँग रहा है।

समांतर चतुर्भुज, आयत और वर्ग

जिस चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं के दोनों जोड़े समांतर हों, उसे समांतर चतुर्भुज कहते हैं। इसके बाकी सारे गुण इसी एक बात से निकलते हैं।

• सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं, और सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं।
• आसन्न कोणों का योग 180° होता है, क्योंकि ये समांतर भुजाओं के बीच सह-अंतः कोण हैं।
• विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, यानी हर विकर्ण दूसरे को दो बराबर हिस्सों में काटता है।
• हर विकर्ण आकृति को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में बाँटता है।

पर साधारण समांतर चतुर्भुज के विकर्ण न बराबर होते हैं, न एक-दूसरे पर लंब।

समांतर चतुर्भुज की पहचान के लिए चार में से कोई एक बात काफ़ी है। सम्मुख भुजाओं के दोनों जोड़े बराबर हों, या सम्मुख कोणों के दोनों जोड़े बराबर हों, या विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करें, या फिर सम्मुख भुजाओं का एक जोड़ा बराबर भी हो और समांतर भी।

आसन्न कोणों के समद्विभाजक समांतर चतुर्भुज में 90° पर मिलते हैं। $\angle A + \angle B = 180^\circ$ है, तो दोनों के आधों का योग 90° हुआ, और समद्विभाजक समकोण पर मिलते हैं। यह फिर वही सह-अंतः कोणों वाली बात है, बस यहाँ AD $\parallel$ BC है। चारों समद्विभाजक खींचें, तो बीच में एक आयत घिर जाता है।

विकर्णों के वर्गों का योग भी काम का नियम है। किसी भी समांतर चतुर्भुज ABCD में

$$AC^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 2(AB^2 + BC^2)$$

जैसे भुजाएँ 9 सेमी और 8 सेमी हैं और एक विकर्ण 11 सेमी है। तो $121 + BD^2 = 2(81 + 64) = 290$, यानी $BD^2 = 169$, और दूसरा विकर्ण 13 सेमी है।

आयत वह समांतर चतुर्भुज है, जिसका एक कोण समकोण हो। तब चारों कोण समकोण हो जाते हैं। आयत के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित भी करते हैं और बराबर भी होते हैं, इसलिए चारों आधे विकर्ण बराबर होते हैं। पाइथागोरस प्रमेय से विकर्ण = $\sqrt{l^2 + b^2}$ होता है। जैसे 15 सेमी × 8 सेमी वाले आयत का विकर्ण 17 सेमी है।

वर्ग बराबर भुजाओं वाला आयत है, और साथ ही एक समचतुर्भुज (rhombus) भी। इसके विकर्ण बराबर होते हैं, एक-दूसरे को 90° पर समद्विभाजित करते हैं, और हर कोने के कोण को 45° के दो हिस्सों में बाँटते हैं। भुजा $a$ वाले वर्ग का विकर्ण $a\sqrt{2}$ होता है।

चारों आकृतियों के विकर्णों को एक साथ देखिए।

हर वर्ग एक आयत भी है और एक समचतुर्भुज भी। हर आयत और हर समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है। पर उलटी दिशा में इनमें से कोई भी बात सही नहीं है। इन आकृतियों पर "कौन-सा कथन सत्य है" वाले प्रश्न इसी तालिका से हल हो जाते हैं। दो बातों में छात्र अक्सर गलती करते हैं। आयत के विकर्ण एक-दूसरे पर लंब नहीं होते, और समचतुर्भुज के विकर्ण बराबर नहीं होते।

समचतुर्भुज, समलंब चतुर्भुज और पतंग

समचतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं। यह एक समांतर चतुर्भुज भी है, इसलिए इसके सम्मुख कोण बराबर होते हैं और आसन्न कोणों का योग 180° होता है। इसके विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, और शीर्ष कोणों को भी समद्विभाजित करते हैं।

विकर्ण समचतुर्भुज को चार सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों में बाँट देते हैं। हर त्रिभुज में समकोण बनाने वाली भुजाएँ $\frac{d_1}{2}$ और $\frac{d_2}{2}$ हैं, और कर्ण $a$ है।

$$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \quad\Rightarrow\quad d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$$

जैसे विकर्ण 24 सेमी और 10 सेमी हों, तो उनके आधे 12 और 5 हैं, और भुजा 13 सेमी है। अगर भुजा 10 सेमी और एक विकर्ण 12 सेमी हो, तो $144 + d_2^2 = 400$, और दूसरा विकर्ण 16 सेमी आता है। और अगर समचतुर्भुज का एक कोण 60° हो, तो छोटा विकर्ण दो भुजाओं के साथ मिलकर समबाहु त्रिभुज बनाता है। मतलब छोटा विकर्ण भुजा के बराबर होता है।

समलंब चतुर्भुज (trapezium) में समांतर भुजाओं का ठीक एक जोड़ा होता है। मान लीजिए समलंब चतुर्भुज ABCD में AB $\parallel$ DC है। तब ये तीन बातें सही होती हैं।

• हर तिरछी भुजा के साथ वाले दोनों कोणों का योग 180° होता है, $\angle A + \angle D = \angle B + \angle C = 180^\circ$।
• तिरछी भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड MN दोनों आधारों के समांतर होता है, और उसकी लंबाई दोनों आधारों के योग की आधी होती है।
• विकर्ण एक-दूसरे को समांतर भुजाओं के अनुपात में काटते हैं।

$$MN = \frac{AB + DC}{2} \qquad \frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{DC}$$

जैसे AB = 18 सेमी और DC = 12 सेमी हो, तो मध्य-रेखाखंड 15 सेमी का होगा। अगर विकर्ण AC = 20 सेमी हो, तो वह 3 : 2 में कटेगा, यानी AO = 12 सेमी और OC = 8 सेमी। विकर्णों का यह अनुपात समरूप त्रिभुजों AOB और COD से आता है, जो "समरूप त्रिभुज और समानुपातिकता" वाले खंड में है।

समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज में तिरछी भुजाएँ बराबर होती हैं। हर आधार पर बने दोनों कोण आपस में बराबर होते हैं, और विकर्ण भी बराबर होते हैं।

पतंग (kite) में पास-पास वाली बराबर भुजाओं के दो जोड़े होते हैं, AB = AD और CB = CD। विकर्ण AC उन दो शीर्षों को मिलाता है, जहाँ बराबर भुजाएँ मिलती हैं, और यही पतंग की सममिति रेखा है। यह $\angle A$ और $\angle C$ को समद्विभाजित करता है, और दूसरे विकर्ण BD का लंब समद्विभाजक है। B और D पर, यानी असमान भुजाओं के बीच, कोण बराबर होते हैं।

[SSC टिप] समचतुर्भुज में पहले दोनों विकर्णों को आधा कीजिए, फिर पाइथागोरस त्रिक ढूँढिए। आधे 5 और 12 हों, तो भुजा 13 है। 8 और 15 हों तो 17, और 9 और 12 हों तो 15। आधा करना भूल गए, तो भुजा दोगुनी आएगी, और यही गलत मान हमेशा विकल्पों में होता है।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

दो संपूरक कोणों का अनुपात 7 : 11 है। इनमें से छोटा कोण कितना है? (a) 110° (b) 35° (c) 70° (d) 100°

उत्तर: संपूरक कोणों का योग 180° होता है। 7 + 11 = 18 भाग हुए, तो एक भाग 10° का है। छोटा कोण 7 भाग का है, यानी (c) 70°।

प्रश्न 2

किसी कोण का कोटिपूरक कोण उसके संपूरक कोण का एक-चौथाई है। वह कोण कितना है? (a) 30° (b) 60° (c) 45° (d) 72°

उत्तर: सीधे समीकरण लिख लेते हैं, $90 - x = \frac{1}{4}(180 - x)$। दोनों ओर 4 से गुणा करने पर $360 - 4x = 180 - x$, यानी $3x = 180$। तो कोण (b) 60° है। जाँच कर लेते हैं, कोटिपूरक 30° है और संपूरक 120°, और 30 सच में 120 का एक-चौथाई है। 30° वाला विकल्प चुनना गलत होगा, क्योंकि वह कोटिपूरक है, कोण नहीं।

प्रश्न 3

दी गई आकृति में रेखाएँ AB और CD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि $\angle AOC = (3x + 12)^\circ$ और $\angle BOD = (5x - 28)^\circ$ है, तो $\angle BOC$ का मान क्या है?

(a) 72° (b) 20° (c) 128° (d) 108°

उत्तर: $\angle AOC$ और $\angle BOD$ शीर्षाभिमुख कोण हैं, तो दोनों बराबर हैं। $5x - 28 = 3x + 12$, यानी $2x = 40$ और $x = 20$। तो $\angle AOC = 72^\circ$। अब $\angle BOC$ सीधी रेखा AB पर $\angle AOC$ के ठीक बगल में है, इसलिए $\angle BOC = 180^\circ - 72^\circ$ = (d) 108°।

प्रश्न 4

दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है। दो एकांतर अंतः कोण $(4x - 15)^\circ$ और $(2x + 35)^\circ$ हैं। इस प्रकार बने प्रत्येक अधिक कोण का माप कितना है? (a) 95° (b) 85° (c) 25° (d) 105°

उत्तर: एकांतर अंतः कोण बराबर होते हैं, तो $4x - 15 = 2x + 35$। इससे $2x = 50$ और $x = 25$। दोनों कोण $4 \times 25 - 15 = 85^\circ$ के हैं, पर यह तो न्यून कोण है। अधिक कोण इसका संपूरक होगा, 180° − 85° = (a) 95°। 85° तो न्यून कोण है। वह तब सही होता, जब प्रश्न न्यून कोण पूछता।

प्रश्न 5

दी गई आकृति में AB $\parallel$ CD, $\angle BAE = 42^\circ$ और $\angle DCE = 63^\circ$ है। $x = \angle AEC$ का मान क्या है?

(a) 75° (b) 105° (c) 21° (d) 255°

उत्तर: E दोनों समांतर रेखाओं के बीच एक मोड़ है, और दोनों दिए गए कोण उसी ओर हैं, जिधर मोड़ की नोक है। तो मोड़ का कोण दोनों का योग होगा, $x = 42^\circ + 63^\circ$ = (b) 105°। कारण देखना हो, तो E से AB के समांतर एक रेखा खींच लीजिए। वह $x$ को 42° और 63° में बाँट देती है, क्योंकि दोनों ओर एकांतर कोण बनते हैं।

प्रश्न 6

दी गई आकृति में दोनों क्षैतिज रेखाएँ समांतर हैं, $\angle GAE = 125^\circ$ और $\angle HCE = 140^\circ$ है। $x = \angle AEC$ का मान क्या है?

(a) 265° (b) 85° (c) 15° (d) 95°

उत्तर: इस बार दिए गए कोण मोड़ से दूर वाली ओर हैं, तो 360° वाला नियम लगेगा। $125 + x + 140 = 360$, जिससे (d) 95° आता है। दूसरा तरीका भी है। पहले दोनों कोणों के संपूरक ले लेते हैं, $180 - 125 = 55^\circ$ और $180 - 140 = 40^\circ$। ये मोड़ वाली ओर के कोण हैं, तो $55 + 40 = 95^\circ$।

प्रश्न 7

दी गई आकृति में AB $\parallel$ CD है और एक तिर्यक रेखा इन्हें P और Q पर काटती है। $\angle BPQ$ और $\angle DQP$ के समद्विभाजक R पर मिलते हैं। यदि $\angle BPQ = 64^\circ$ है, तो $\angle PQR$ का मान क्या है?

(a) 32° (b) 26° (c) 58° (d) 90°

उत्तर: $\angle BPQ$ और $\angle DQP$ सह-अंतः कोण हैं, तो $\angle DQP = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$। QR इसे आधा करती है, इसलिए $\angle PQR$ = (c) 58°। त्रिभुज PQR से जाँच कर लेते हैं। $\angle QPR = 32^\circ$ है, और $\angle PRQ = 90^\circ$, क्योंकि सह-अंतः कोणों के समद्विभाजक हमेशा समकोण पर मिलते हैं। $32 + 90 + 58 = 180$, तो उत्तर ठीक है।

प्रश्न 8

एक सम बहुभुज का प्रत्येक अंतः कोण 162° है। इसमें कितनी भुजाएँ हैं? (a) 20 (b) 18 (c) 9 (d) 12

उत्तर: पहले बाह्य कोण निकाल लेते हैं, $180^\circ - 162^\circ = 18^\circ$। तो भुजाओं की संख्या = $360 \div 18$ = (a) 20। ध्यान रखिए, 18 तो बाह्य कोण है, भुजाओं की संख्या नहीं।

प्रश्न 9

एक सम बहुभुज का प्रत्येक अंतः कोण, उसके प्रत्येक बाह्य कोण से 108° अधिक है। इस बहुभुज में कितने विकर्ण हैं? (a) 10 (b) 45 (c) 70 (d) 35

उत्तर: अंतः कोण और बाह्य कोण का योग 180° है और अंतर 108°। योग में से अंतर घटाएँ, तो बाह्य कोण का दोगुना बचता है, $180 - 108 = 72$। तो बाह्य कोण 36° है। भुजाएँ $360 \div 36 = 10$ हैं, और विकर्ण $\frac{10 \times 7}{2}$ = (d) 35।

प्रश्न 10

एक सम बहुभुज के प्रत्येक अंतः कोण और प्रत्येक बाह्य कोण का अनुपात 5 : 1 है। इसमें कितनी भुजाएँ हैं? (a) 10 (b) 12 (c) 6 (d) 11

उत्तर: दोनों कोणों का योग 180° है, और कुल 6 भाग हैं। तो बाह्य कोण = $180 \div 6 = 30^\circ$। भुजाएँ = $360 \div 30$ = (b) 12। छोटे रास्ते से भी यही आता है, $n = 2k + 2$, जहाँ $k = 5$।

प्रश्न 11

किसी बहुभुज के अंतः कोणों का योग 2160° है। इसमें कितनी भुजाएँ हैं? (a) 12 (b) 13 (c) 14 (d) 16

उत्तर: $(n - 2) \times 180 = 2160$, तो $n - 2 = 12$, और $n$ = (c) 14। कुछ लोग 12 पर ही रुक जाते हैं, पर वह तो केवल $n - 2$ है। $n$ के लिए 2 वापस जोड़ना पड़ता है।

प्रश्न 12

दो सम बहुभुजों की भुजाओं की संख्या का अनुपात 2 : 3 है और उनके अंतः कोणों का अनुपात 9 : 10 है। उनकी भुजाओं की संख्या क्रमशः कितनी है? (a) 8 और 12 (b) 6 और 9 (c) 4 और 6 (d) 10 और 15

उत्तर: यहाँ विकल्प जाँचना सबसे तेज़ है। 8 और 12 भुजाएँ लें, तो बाह्य कोण 45° और 30° हैं, और अंतः कोण 135° और 150°। 135 : 150 = 9 : 10 है, तो उत्तर (a) 8 और 12 है। बाकी विकल्प मेल नहीं खाते। 6 और 9 से 120° और 140° आते हैं (6 : 7), 4 और 6 से 90° और 120° (3 : 4), और 10 और 15 से 144° और 156° (12 : 13)।

प्रश्न 13

एक बहुभुज में 44 विकर्ण हैं। इसमें कितनी भुजाएँ हैं? (a) 8 (b) 12 (c) 11 (d) 9

उत्तर: $\frac{n(n - 3)}{2} = 44$, तो $n(n - 3) = 88$। अब ऐसी दो संख्याएँ चाहिए, जिनका अंतर 3 हो और गुणनफल 88। ये 11 और 8 हैं, तो भुजाएँ (c) 11 हैं।

प्रश्न 14

9 भुजाओं वाले एक नवभुज के शीर्षों को मिलाकर कितने त्रिभुज बनाए जा सकते हैं? (a) 7 (b) 84 (c) 27 (d) 504

उत्तर: 9 शीर्षों में से कोई भी तीन शीर्ष चुन लें, एक त्रिभुज बन जाता है। इसलिए त्रिभुजों की संख्या $\frac{9 \times 8 \times 7}{6}$ = (b) 84 है।

प्रश्न 15

एक चतुर्भुज के कोणों का अनुपात 2 : 3 : 4 : 6 है। सबसे बड़ा कोण कितना है? (a) 120° (b) 96° (c) 216° (d) 144°

उत्तर: चारों कोणों का योग 360° है। $2 + 3 + 4 + 6 = 15$ भाग हुए, तो एक भाग 24° का है। कोण 48°, 72°, 96° और 144° हैं, और सबसे बड़ा (d) 144° है।

प्रश्न 16

दिए गए चतुर्भुज ABCD में $\angle C = 100^\circ$ और $\angle D = 60^\circ$ है। $\angle A$ और $\angle B$ के समद्विभाजक O पर मिलते हैं। $\angle AOB$ का मान क्या है?

(a) 80° (b) 100° (c) 160° (d) 40°

उत्तर: $\angle A + \angle B = 360^\circ - 160^\circ = 200^\circ$, तो A और B पर बने आधे कोणों का योग 100° है। त्रिभुज AOB में $\angle AOB = 180^\circ - 100^\circ$ = (a) 80°। छोटे रास्ते से भी यही आता है, $\frac{\angle C + \angle D}{2} = \frac{160^\circ}{2}$। 100° वाला विकल्प आधे कोणों का योग है, O पर बना कोण नहीं।

प्रश्न 17

किसी समांतर चतुर्भुज का एक कोण, अपने आसन्न कोण के दोगुने से 24° कम है। बड़ा कोण कितना है? (a) 68° (b) 112° (c) 136° (d) 78°

उत्तर: समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180° होता है। छोटा कोण $x$ मान लेते हैं, तो $x + (2x - 24) = 180$। इससे $3x = 204$ और $x = 68^\circ$। बड़ा कोण = $2 \times 68 - 24$ = (b) 112°।

प्रश्न 18

समांतर चतुर्भुज ABCD में $\angle A$ और $\angle B$ के समद्विभाजक भुजा CD के एक बिंदु P पर मिलते हैं। यदि AD = 7 सेमी है, तो AB कितना है?

(a) 7 सेमी (b) $7\sqrt{2}$ सेमी (c) 14 सेमी (d) 21 सेमी

उत्तर: AP, $\angle A$ को समद्विभाजित करती है, तो $\angle DAP = \angle PAB$। AB $\parallel$ DC है, इसलिए $\angle PAB = \angle DPA$, क्योंकि ये एकांतर कोण हैं। तो त्रिभुज ADP में A और P पर कोण बराबर हैं, यानी यह समद्विबाहु है और DP = AD = 7 सेमी। इसी तरह त्रिभुज BCP से CP = BC = 7 सेमी। अब AB = DC = DP + PC = (c) 14 सेमी। याद रखिए, दोनों समद्विभाजक CD पर मिलें, तो AB हमेशा AD का दोगुना होता है।

प्रश्न 19

एक समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ 6 सेमी और 7 सेमी हैं तथा उसका एक विकर्ण 7 सेमी है। दूसरा विकर्ण कितना है? (a) 6 सेमी (b) $\sqrt{219}$ सेमी (c) $\sqrt{170}$ सेमी (d) 11 सेमी

उत्तर: समांतर चतुर्भुज में विकर्णों के वर्गों का योग, भुजाओं के वर्गों के योग का दोगुना होता है। तो $7^2 + d^2 = 2(36 + 49) = 170$, यानी $d^2 = 121$, और दूसरा विकर्ण (d) 11 सेमी है। जो लोग ज्ञात विकर्ण का वर्ग घटाना भूल जाते हैं, वे $\sqrt{170}$ सेमी लिख देते हैं।

प्रश्न 20

एक समचतुर्भुज के विकर्ण 42 सेमी और 56 सेमी हैं। उसकी प्रत्येक भुजा की लंबाई कितनी है? (a) 35 सेमी (b) 70 सेमी (c) 49 सेमी (d) 98 सेमी

उत्तर: समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। तो हर भुजा एक ऐसे समकोण त्रिभुज का कर्ण है, जिसकी बाकी दो भुजाएँ 21 सेमी और 28 सेमी हैं। भुजा = $\sqrt{441 + 784} = \sqrt{1225}$ = (a) 35 सेमी।

प्रश्न 21

समचतुर्भुज ABCD में $\angle ABC = 124^\circ$ है। $\angle ACD$ का मान क्या है? (a) 62° (b) 28° (c) 56° (d) 34°

उत्तर: समचतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180° होता है, तो $\angle BCD = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$। विकर्ण AC, $\angle BCD$ को समद्विभाजित करता है, इसलिए $\angle ACD$ 56° का आधा है, यानी (b) 28°। दूसरा तरीका भी है। त्रिभुज ACD में AD = DC है और $\angle ADC = 124^\circ$, तो हर आधार कोण $\frac{180 - 124}{2} = 28^\circ$ है।

प्रश्न 22

समलंब चतुर्भुज ABCD में AB $\parallel$ DC, AB = 21 सेमी और DC = 15 सेमी है। विकर्ण O पर मिलते हैं और AC = 24 सेमी है। AO की लंबाई और AD तथा BC के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड की लंबाई क्रमशः कितनी है? (a) 10 सेमी और 18 सेमी (b) 14 सेमी और 36 सेमी (c) 14 सेमी और 18 सेमी (d) 12 सेमी और 18 सेमी

उत्तर: विकर्ण एक-दूसरे को समांतर भुजाओं के अनुपात में काटते हैं, तो AO : OC = 21 : 15 = 7 : 5। यानी AO, 24 सेमी के 12 भागों में से 7 भाग है, जो 14 सेमी हुआ। मध्य-रेखाखंड समांतर भुजाओं के योग का आधा होता है, $\frac{21 + 15}{2} = 18$ सेमी। तो उत्तर (c) 14 सेमी और 18 सेमी है। विकल्प में दिया 10 सेमी असल में OC है, यानी विकर्ण का छोटा हिस्सा।