त्रिभुज के केंद्र

चार ख़ास रेखाएँ, चार केंद्र

हर त्रिभुज में चार तरह की ख़ास रेखाएँ खींची जा सकती हैं। किसी एक तरह की तीनों रेखाएँ खींचिए, तो वे हमेशा एक ही बिंदु से होकर जाती हैं। यही बिंदु त्रिभुज के चार केंद्रों में से एक होता है।

SSC हर केंद्र पर दो तरह के प्रश्न पूछता है। पहला, केंद्र पर दो शीर्षों से बनने वाला कोण। दूसरा, केंद्र की शीर्षों से या भुजाओं से दूरी।

ये चार रेखाएँ हैं माध्यिका (median), कोण समद्विभाजक (angle bisector), शीर्षलंब (altitude) और लंब समद्विभाजक (perpendicular bisector)। नीचे के चित्र में त्रिभुज ABC है, और बिंदु D, E, F भुजा BC पर हैं।

• माध्यिका AD शीर्ष A को BC के मध्य-बिंदु से मिलाती है, इसलिए BD = DC।
• कोण समद्विभाजक AE कोण A को दो बराबर भागों में बाँटता है।
• शीर्षलंब AF, BC से समकोण पर मिलता है। अगर कोण B या कोण C अधिक कोण हो, तो F आगे बढ़ाई गई BC पर पड़ता है।
• BC का लंब समद्विभाजक मध्य-बिंदु D से होकर जाता है और BC पर समकोण बनाता है। यह रेखा भुजा के हिसाब से खींची जाती है, किसी शीर्ष के हिसाब से नहीं। इसलिए यह प्रायः A से होकर जाती ही नहीं।

अब देखिए कि कौन-सी तीन रेखाएँ किस केंद्र पर मिलती हैं।

अंदर या बाहर: केंद्रक (centroid) और अंतःकेंद्र (incentre) हमेशा त्रिभुज के अंदर रहते हैं। परिकेंद्र (circumcentre) और लंबकेंद्र (orthocentre) केवल न्यूनकोण त्रिभुज में अंदर होते हैं। समकोण त्रिभुज में ये त्रिभुज पर ही पड़ते हैं, और अधिककोण त्रिभुज में बाहर चले जाते हैं। आगे हर केंद्र को एक-एक करके विस्तार से देखेंगे।

समद्विभाजक बीच में: चित्र में F, E और D तीन अलग-अलग बिंदु हैं। जब AB और AC बराबर न हों, तो A से खींचे समद्विभाजक का पाद, शीर्षलंब के पाद और मध्य-बिंदु के बीच में पड़ता है। मतलब किसी भी शीर्ष से खींचा गया कोण समद्विभाजक हमेशा उसी शीर्ष से खींचे गए शीर्षलंब और माध्यिका के बीच में रहता है।

समद्विबाहु और समबाहु त्रिभुज: मान लीजिए AB = AC है। तब A से खींची माध्यिका, समद्विभाजक और शीर्षलंब, तीनों एक ही रेखा हो जाते हैं। BC का लंब समद्विभाजक भी इसी रेखा पर पड़ता है। इसलिए चारों केंद्र इसी सममित रेखा पर होते हैं, बस अलग-अलग ऊँचाई पर।

समबाहु त्रिभुज में यही बात हर शीर्ष पर लागू होती है। इसलिए वहाँ चारों केंद्र एक ही बिंदु पर आ जाते हैं।

[SSC टिप] सिद्धांत पर सीधे, एक पंक्ति वाले प्रश्न खूब आते हैं। "शीर्षों से समान दूरी" लिखा हो तो परिकेंद्र, और "भुजाओं से समान दूरी" लिखा हो तो अंतःकेंद्र। "माध्यिकाओं का मिलन बिंदु" केंद्रक है और "शीर्षलंबों का मिलन बिंदु" लंबकेंद्र। पहले दो आपस में न उलझें, इसके लिए बस इतना याद रखिए कि अंतःकेंद्र, अंतःवृत्त का केंद्र होता है। अंतःवृत्त (incircle) त्रिभुज के अंदर बैठा रहता है और भुजाओं को छूता है।

केंद्रक: माध्यिकाएँ 2 : 1 में

हर त्रिभुज की तीनों माध्यिकाएँ त्रिभुज के अंदर एक ही बिंदु पर मिलती हैं। इस बिंदु को केंद्रक कहते हैं और इसे G से दिखाते हैं।

G त्रिभुज का संतुलन बिंदु है। गत्ते का एक त्रिभुज काटकर उसके G के नीचे पेंसिल की नोक रखिए, तो त्रिभुज बिना झुके उस पर टिका रहेगा।

G हर माध्यिका को 2 : 1 में बाँटता है, और लंबा भाग शीर्ष की ओर रहता है।

$$AG : GD = 2 : 1 \qquad AG = \frac{2}{3}AD \qquad GD = \frac{1}{3}AD$$

BG : GE और CG : GF में भी यही अनुपात है। जैसे माध्यिका AD = 15 सेमी हो, तो AG = 10 सेमी और GD = 5 सेमी। अब उलटी ओर से देखिए। GD = 4 सेमी दिया हो, तो AD = 12 सेमी और AG = 8 सेमी।

2 : 1 ही क्यों: E और F, भुजाओं AC और AB के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय से FE, BC के समांतर है और उसकी आधी है। यह प्रमेय "समरूप त्रिभुज और समानुपातिकता" वाले खंड में है। अब त्रिभुज GEF और GBC का आकार एक जैसा है, और उनकी भुजाएँ 1 : 2 में हैं। इसलिए GE, GB का आधा है। बाकी माध्यिकाओं पर भी यही बात लागू होती है।

छह बराबर क्षेत्रफल: एक माध्यिका त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफल वाले दो भागों में बाँट देती है। वजह यह है कि BD = DC है, और A से दोनों भागों की ऊँचाई एक ही है।

तीनों माध्यिकाएँ खींच दीजिए, तो त्रिभुज छह छोटे त्रिभुजों में बँट जाता है। इन छहों का क्षेत्रफल बराबर होता है।

$$\text{हर छोटा त्रिभुज} = \frac{1}{6} \times \text{क्षेत्रफल } \triangle ABC$$

इससे तीन बातें सीधे निकलती हैं।

• त्रिभुज BGC, CGA और AGB में से हर एक, पूरे त्रिभुज का $\frac{1}{3}$ है।
• AFGE या BDGF जैसा चतुर्भुज दो छोटे त्रिभुजों से मिलकर बना है। यह भी पूरे का $\frac{1}{3}$ है।
• त्रिभुज ABD और ABE में से हर एक, पूरे का $\frac{1}{2}$ है।

मान लीजिए त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 72 वर्ग सेमी है। तब हर छोटा त्रिभुज 12 वर्ग सेमी का होगा। त्रिभुज BGC 24 वर्ग सेमी का होगा, और चतुर्भुज BDGF भी 24 वर्ग सेमी का।

G की ऊँचाई: GD, AD का एक-तिहाई है। इसलिए BC से G की ऊँचाई भी, BC से A की ऊँचाई का एक-तिहाई होती है। मतलब G से BC की दूरी, A से खींचे गए शीर्षलंब का $\frac{1}{3}$ है।

याद रखिए, GD हमेशा AG का आधा होता है, यानी AD का एक-तिहाई। जैसे AG = 8 सेमी हो, तो AD = 8 + 4 = 12 सेमी। यहाँ बहुत से छात्र AG को दोगुना करके AD = 16 सेमी लिख देते हैं। यह गलत है, पर 16 सेमी वाला विकल्प ज़रूर दिया होता है।

माध्यिका के तीन तथ्य

कर्ण पर माध्यिका: समकोण त्रिभुज में कर्ण पर खींची गई माध्यिका, कर्ण की आधी होती है। मान लीजिए कोण A = 90° है और D, BC का मध्य-बिंदु है। तब AD, BD और DC तीनों बराबर होते हैं।

$$AD = BD = DC = \frac{BC}{2}$$

मतलब D तीनों शीर्षों से बराबर दूरी पर है। इसलिए कर्ण का मध्य-बिंदु ही परिकेंद्र होता है। उलटी बात भी सच है। अगर माध्यिका AD, BC की आधी हो, तो कोण A = 90° होगा।

जैसे समकोण बनाने वाली भुजाएँ 9 सेमी और 12 सेमी हों, तो कर्ण 15 सेमी होगा, और उस पर माध्यिका 7.5 सेमी। समकोण वाले शीर्ष से केंद्रक की दूरी इस माध्यिका का दो-तिहाई है, यानी $\frac{2}{3} \times 7.5 = 5$ सेमी। यह दूरी हमेशा कर्ण का एक-तिहाई होती है।

माध्यिकाओं के वर्गों का योग: हर त्रिभुज में यह संबंध लागू होता है।

$$4(AD^2 + BE^2 + CF^2) = 3(AB^2 + BC^2 + CA^2)$$

अब 4 सेमी, 6 सेमी और 8 सेमी भुजाओं वाला त्रिभुज लीजिए। भुजाओं के वर्गों का योग 16 + 36 + 64 = 116 है। तो माध्यिकाओं के वर्गों का योग $\frac{3}{4} \times 116 = 87$ होगा।

केंद्रक से शीर्ष तक की दूरी अपनी माध्यिका का दो-तिहाई होती है, जैसे $GA = \frac{2}{3}AD$, और बाकी दोनों भी इसी तरह। इसी से $GA^2 + GB^2 + GC^2 = \frac{1}{3}(AB^2 + BC^2 + CA^2)$ निकलता है। इस उदाहरण में यह $\frac{116}{3}$ है।

कोई एक माध्यिका निकालनी हो, तो अपोलोनियस प्रमेय लगाइए। यह प्रमेय "त्रिभुज: कोण, भुजाएँ, सर्वांगसमता और पाइथागोरस प्रमेय" वाले खंड में है। इससे $AD^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}$ आता है। इसके तीनों रूप जोड़ दीजिए, तो ऊपर वाला सूत्र निकल आता है।

समकोण पर मिलती माध्यिकाएँ: मान लीजिए माध्यिकाएँ BE और CF, G पर समकोण बनाते हुए मिलती हैं। तब त्रिभुज BGC में G पर समकोण है, और GD उसके कर्ण BC पर माध्यिका है। इसलिए $GD = \frac{BC}{2}$। पूरी माध्यिका AD, GD का 3 गुना होती है। इससे दो नतीजे मिलते हैं।

$$AD = \frac{3}{2}BC \qquad AB^2 + AC^2 = 5BC^2$$

अपोलोनियस प्रमेय से $AB^2 + AC^2 = 2AD^2 + 2BD^2 = \frac{9}{2}BC^2 + \frac{1}{2}BC^2$ आता है। दोनों पद जोड़ दीजिए, दूसरा नतीजा मिल जाएगा।

अब उलटी स्थिति देखिए, जिसमें दोनों माध्यिकाएँ दी हों, जैसे BE = 18 सेमी और CF = 24 सेमी। हर एक का दो-तिहाई लीजिए, तो BG = 12 सेमी और CG = 16 सेमी। त्रिभुज BGC में पाइथागोरस प्रमेय से BC = 20 सेमी आता है, और फिर AD = 30 सेमी।

ध्यान रखिए, G पर समकोण वाले प्रश्न में पूरी माध्यिकाएँ पाइथागोरस में कभी नहीं लगतीं। BC के साथ जो समकोण त्रिभुज बनता है, उसमें केवल शीर्ष से G तक के भाग आते हैं, यानी हर माध्यिका का दो-तिहाई।

अंतःकेंद्र और $\angle BIC = 90^\circ + \frac{A}{2}$

त्रिभुज के तीनों कोण समद्विभाजक एक ही बिंदु पर मिलते हैं। इस बिंदु को अंतःकेंद्र कहते हैं और इसे I से दिखाते हैं।

इसकी वजह भी समझ लीजिए। किसी कोण के समद्विभाजक का हर बिंदु उस कोण की दोनों भुजाओं से बराबर दूरी पर होता है। I तीनों समद्विभाजकों पर है, इसलिए वह तीनों भुजाओं से बराबर दूरी पर है।

इस दूरी को अंतःत्रिज्या (inradius) कहते हैं और इसे $r$ लिखते हैं। I को केंद्र मानकर $r$ त्रिज्या का वृत्त खींचिए। यह वृत्त तीनों भुजाओं को अंदर से छूता है। यही अंतःवृत्त है। I हमेशा त्रिभुज के अंदर रहता है।

I पर बना कोण: त्रिभुज BIC को देखिए। इसमें B और C पर बने कोण, पूरे कोणों के आधे हैं, यानी $\angle IBC = \frac{B}{2}$ और $\angle ICB = \frac{C}{2}$। साथ ही $B + C = 180^\circ - A$ है। अब त्रिभुज BIC के तीनों कोणों का योग लगाइए।

$$\angle BIC = 180^\circ - \frac{B + C}{2} = 180^\circ - \frac{180^\circ - A}{2} = 90^\circ + \frac{A}{2}$$

इसी तरह $\angle AIB = 90^\circ + \frac{C}{2}$ और $\angle AIC = 90^\circ + \frac{B}{2}$ होते हैं। I के चारों ओर ये तीनों कोण मिलकर 360° होते हैं।

• A = 70° हो, तो $\angle BIC = 90^\circ + 35^\circ = 125^\circ$।
• $\angle BIC = 112^\circ$ दिया हो, तो $\frac{A}{2}$ = 22°, यानी A = 44°।
• $\angle BIC$ हमेशा 90° और 180° के बीच रहता है। इसलिए $\angle BIC$ के लिए 80° जैसा विकल्प दिखे, तो उसे तुरंत हटा दीजिए।

I की मदद से कोण निकालना: AI, BI और CI तीनों समद्विभाजक हैं। इसलिए किसी शीर्ष के समद्विभाजक और उसी शीर्ष वाली भुजा के बीच का कोण, उस शीर्ष के कोण का आधा होता है।

जैसे $\angle IBC = 36^\circ$ और $\angle ICA = 22^\circ$ दिए हों, तो B = 72°, C = 44° और A = 64° हुए। अब $\angle BIC = 90^\circ + 32^\circ = 122^\circ$। जाँच के लिए त्रिभुज BIC से सीधे 180° − 36° − 22° कर लीजिए, यही मान आता है।

एक बात याद रखिए। तीनों आधे कोणों का योग हमेशा 90° होता है, यानी $\angle IAB + \angle IBC + \angle ICA = \frac{A + B + C}{2} = 90^\circ$। इसलिए इनमें से दो दिए हों, तो तीसरा अपने आप निकल आता है।

[SSC टिप] कोण वाले ये चारों सूत्र देखने में एक जैसे लगते हैं, और SSC अक्सर चारों के मान विकल्पों में दे देता है। A = 70° लेकर देखिए। अंतःकेंद्र पर $90^\circ + \frac{A}{2}$ = 125°, बहिःकेंद्र (excentre) पर $90^\circ - \frac{A}{2}$ = 55°, लंबकेंद्र पर $180^\circ - A$ = 110° और परिकेंद्र पर $2A$ = 140°। कौन-सा सूत्र किस केंद्र का है, यह पक्का याद कर लीजिए।

बहिःकेंद्र: बाहरी समद्विभाजक

शीर्ष B पर दो समद्विभाजक खींचे जा सकते हैं। आंतरिक समद्विभाजक कोण B को आधा करता है। बाहरी समद्विभाजक B पर बने बाह्य कोण को आधा करता है, यानी BC और आगे बढ़ाई गई AB के बीच वाले कोण को।

ये दोनों समद्विभाजक हमेशा एक-दूसरे पर लंब होते हैं। वजह सीधी है। दोनों आधों का योग $\frac{B}{2} + \frac{180^\circ - B}{2} = 90^\circ$ होता है।

बहिःकेंद्र: B और C पर बाहरी समद्विभाजक खींचिए। ये त्रिभुज के बाहर, भुजा BC के उस पार, एक बिंदु E पर मिलते हैं। कोण A का आंतरिक समद्विभाजक भी E से होकर जाता है।

E, भुजा BC से और आगे बढ़ाई गई AB और AC से बराबर दूरी पर होता है। इसलिए E एक वृत्त का केंद्र है, जिसे बहिर्वृत्त (excircle) कहते हैं। यह वृत्त BC को छूता है, और बाकी दोनों भुजाओं को आगे बढ़ाने पर उन्हें भी छूता है। हर त्रिभुज के तीन बहिःकेंद्र होते हैं, हर शीर्ष के सामने एक।

B पर बाह्य कोण 180° − B है, तो उसका आधा $90^\circ - \frac{B}{2}$ हुआ। C पर भी इसी तरह। अब त्रिभुज BEC में देखिए।

$$\angle BEC = 180^\circ - \left(90^\circ - \frac{B}{2}\right) - \left(90^\circ - \frac{C}{2}\right) = \frac{B + C}{2} = 90^\circ - \frac{A}{2}$$

इसका मतलब है $\angle BIC + \angle BEC = 180^\circ$। एक बात और देखिए। IB, BE पर लंब है और IC, CE पर लंब है। इसलिए B और C दोनों उस वृत्त पर पड़ते हैं, जिसका व्यास IE है।

एक आंतरिक, एक बाहरी: अब B का आंतरिक समद्विभाजक और C का बाहरी समद्विभाजक लीजिए। ये K पर मिलते हैं। बाह्य कोण प्रमेय से C पर बना बाह्य कोण A + B के बराबर है, तो उसका आधा $\frac{A + B}{2}$ हुआ। यही आधा कोण त्रिभुज BKC का भी बाह्य कोण है। इसलिए यह दोनों अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होगा, यानी $\frac{B}{2}$ और $\angle BKC$ के योग के।

$$\frac{A + B}{2} = \frac{B}{2} + \angle BKC \Rightarrow \angle BKC = \frac{A}{2}$$

तीनों स्थितियाँ एक साथ याद कर लीजिए।

जैसे A = 64° हो, तो तीनों स्थितियों में उत्तर क्रम से 122°, 58° और 32° आएँगे।

यहाँ प्रश्न के शब्द ध्यान से पढ़िए। "B और C पर बने बाह्य कोणों के समद्विभाजक" लिखा हो, तो घटाव वाला सूत्र लगेगा। पर "कोण B का समद्विभाजक और C पर बने बाह्य कोण का समद्विभाजक" लिखा हो, या "कोण ACD का समद्विभाजक, जहाँ BC को D तक बढ़ाया गया है", तो उत्तर केवल A का आधा होगा। दस सेकंड में एक कच्चा चित्र बना लीजिए, तुरंत साफ़ हो जाएगा कि कौन-सी स्थिति है।

अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s}$ और स्पर्शरेखाओं की लंबाई

पहले संकेत तय कर लेते हैं। भुजाओं BC, CA और AB को क्रम से $a$, $b$ और $c$ लिखेंगे। अर्धपरिमाप (semi-perimeter) $s = \frac{a + b + c}{2}$ है, और क्षेत्रफल $\Delta$।

अब I को तीनों शीर्षों से मिला दीजिए। त्रिभुज ABC तीन त्रिभुजों IBC, ICA और IAB में बँट जाता है। इनके आधार $a$, $b$ और $c$ हैं, और तीनों की ऊँचाई एक ही है, $r$। वजह यह है कि स्पर्श बिंदु तक खींची गई त्रिज्या भुजा पर समकोण बनाती है। तीनों क्षेत्रफल जोड़ दीजिए।

$$\Delta = \frac{1}{2}r(a + b + c) = r \times s \qquad \Rightarrow \qquad r = \frac{\Delta}{s}$$

केवल भुजाएँ दी हों, तो पहले क्षेत्रफल हीरोन के सूत्र $\Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ से निकालिए। क्षेत्रफल के सूत्र "क्षेत्रमिति 2D" वाले अध्याय में पूरे विस्तार से हैं।

उदाहरण के लिए भुजाएँ 17 सेमी, 25 सेमी और 28 सेमी लीजिए। तब $s = 35$, और $\Delta = \sqrt{35 \times 18 \times 10 \times 7} = \sqrt{44100} = 210$। तो $r = \frac{210}{35} = 6$ सेमी।

स्पर्शरेखाओं की लंबाई: अंतःवृत्त भुजाओं BC, CA और AB को D, E और F पर छूता है। किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्शरेखाएँ बराबर होती हैं। तो AE = AF, BD = BF और CD = CE। अब हर भुजा को उसके दो टुकड़ों का योग लिखकर हल कीजिए, तो ये लंबाइयाँ आती हैं।

$$AE = AF = s - a \qquad BD = BF = s - b \qquad CD = CE = s - c$$

ऊपर वाले त्रिभुज में $a = 28$, $b = 17$ और $c = 25$ हैं, तो $s = 35$। इसलिए AF = 7, BD = 18 और CE = 10। जाँच कर लीजिए। AB = 7 + 18 = 25, BC = 18 + 10 = 28 और CA = 10 + 7 = 17।

याद रखने का सीधा नियम यह है कि किसी शीर्ष से स्पर्शरेखा की लंबाई = $s$ − उस शीर्ष के सामने वाली भुजा।

समकोण त्रिभुज: मान लेते हैं कि समकोण C पर है। समकोण बनाने वाली भुजाएँ $a$ और $b$ हैं, और कर्ण $c$। I से इन दोनों भुजाओं तक त्रिज्याएँ खींचिए। ये दो त्रिज्याएँ और C के पास की दोनों भुजाएँ मिलकर C पर एक छोटा वर्ग बनाती हैं, जिसकी भुजा $r$ है। इसलिए C से दोनों स्पर्शरेखाएँ $r$ के बराबर हैं। A और B से स्पर्शरेखाएँ $b - r$ और $a - r$ होंगी, और इन दोनों का योग कर्ण के बराबर है।

$$(a - r) + (b - r) = c \qquad \Rightarrow \qquad r = \frac{a + b - c}{2}$$

जैसे 8, 15, 17 वाले त्रिभुज में $r = \frac{8 + 15 - 17}{2} = 3$ आता है। सामान्य सूत्र से भी यही मिलता है, $\frac{\Delta}{s} = \frac{60}{20} = 3$।

[SSC टिप] भाग अर्धपरिमाप से देना है, परिमाप से नहीं। $a + b + c$ से भाग दे दिया, तो उत्तर ठीक आधा आएगा। और यही आधा उत्तर प्रायः विकल्पों में दिया होता है।

परिकेंद्र और $\angle BOC = 2A$

तीनों भुजाओं के लंब समद्विभाजक एक ही बिंदु पर मिलते हैं। इसे परिकेंद्र कहते हैं और O से दिखाते हैं।

BC के लंब समद्विभाजक का हर बिंदु B और C से बराबर दूरी पर होता है। यही बात बाकी दोनों भुजाओं पर भी लागू होती है। इसलिए O तीनों शीर्षों से एक ही दूरी $R$ पर होता है, यानी $OA = OB = OC = R$।

O को केंद्र मानकर $R$ त्रिज्या का वृत्त खींचिए, तो वह A, B और C तीनों से होकर जाएगा। यह परिवृत्त (circumcircle) है, और $R$ को परित्रिज्या (circumradius) कहते हैं।

O कहाँ पड़ेगा, यह त्रिभुज के प्रकार पर निर्भर है।

O पर बना कोण: $\angle BOC$ को देखिए। यह चाप BC से केंद्र पर बना कोण है, और A उसी वृत्त पर एक बिंदु है। अगर A न्यून कोण हो, तो $\angle BOC = 2A$ होता है। पूरा प्रमेय "वृत्त: जीवा, चाप और कोण" वाले खंड में है।

OB = OC है, इसलिए त्रिभुज OBC समद्विबाहु है। 180° में से 2A घटाकर जो बचता है, वह दोनों आधार-कोणों में बराबर बँट जाता है।

$$\angle BOC = 2A \qquad \angle OBC = \angle OCB = \frac{180^\circ - 2A}{2} = 90^\circ - A$$

• A = 55° हो, तो $\angle BOC = 110^\circ$ और $\angle OBC = 35^\circ$।
• $\angle OBC = 28^\circ$ दिया हो, तो A = 90° − 28° = 62°।
• इसी तरह समद्विबाहु त्रिभुज OAB से $\angle OAB = 90^\circ - C$ मिलता है।

A अधिक कोण हो तब: अब O, BC के दूसरी ओर चला जाता है। तब 2A, O पर बना प्रतिवर्ती कोण होता है। साधारण कोण BOC पाने के लिए 2A को 360° में से घटाना होता है।

$$\angle BOC = 360^\circ - 2A \qquad \angle OBC = A - 90^\circ$$

जैसे A = 110° हो, तो $\angle BOC = 140^\circ$ और $\angle OBC = 20^\circ$।

अगर अधिक कोण B या C पर हो, तो A फिर भी न्यून ही रहता है, और $\angle BOC = 2A$ ही लगेगा। बस यह देखिए कि BC के सामने कौन-सा कोण है।

यहाँ गलती बहुत होती है। A 90° से अधिक हो, तो 2A, 180° से अधिक होगा। इतना बड़ा कोण त्रिभुज BOC का कोण हो ही नहीं सकता, इसलिए 360° में से घटाना पड़ता है। अधिककोण त्रिभुज वाले प्रश्नों में 2A वाला मान लगभग हर बार विकल्पों में दिया होता है।

परित्रिज्या: $R = \frac{abc}{4\Delta}$

किसी भी त्रिभुज की भुजाएँ $a$, $b$, $c$ हों और क्षेत्रफल $\Delta$, तो उसकी परित्रिज्या इस सूत्र से निकलती है।

$$R = \frac{abc}{4\Delta}$$

सूत्र कहाँ से आया: परिवृत्त का व्यास AP खींचिए, और BC पर शीर्षलंब AF। त्रिभुज ABP में B पर कोण 90° है, क्योंकि यह अर्धवृत्त में बना कोण है। साथ ही $\angle APB = \angle ACB$, क्योंकि दोनों एक ही चाप AB पर बने हैं। तो त्रिभुज ABP और AFC के कोण बराबर हुए। इससे $\frac{AB}{AF} = \frac{AP}{AC}$, यानी $AB \times AC = 2R \times AF$। अब $AF = \frac{2\Delta}{a}$ रख दीजिए, तो $bc = \frac{4R\Delta}{a}$ आता है। यही ऊपर वाला सूत्र है।

उदाहरण के लिए भुजाएँ 17, 25 और 28 सेमी लीजिए। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल हम ऊपर अंतःत्रिज्या वाले हिस्से में 210 वर्ग सेमी निकाल चुके हैं।

$$R = \frac{17 \times 25 \times 28}{4 \times 210} = \frac{11900}{840} = \frac{85}{6} \text{ सेमी}$$

समकोण त्रिभुज: यहाँ कर्ण ही परिवृत्त का व्यास होता है, क्योंकि कर्ण का मध्य-बिंदु परिकेंद्र है।

$$R = \frac{\text{कर्ण}}{2}$$

जैसे समकोण बनाने वाली भुजाएँ 11 और 60 हों और कर्ण 61, तो $R = 30.5$ सेमी और $r = \frac{11 + 60 - 61}{2} = 5$ सेमी।

दोनों सूत्र साथ रखिए, तो एक और बात निकलती है। समकोण बनाने वाली दोनों भुजाओं का योग $2r + 2R$ होता है। इसलिए समकोण त्रिभुज का परिमाप $2r + 4R$ होता है। इसी उदाहरण पर जाँच लीजिए, 10 + 122 = 132 = 11 + 60 + 61।

समद्विबाहु त्रिभुज: मान लीजिए $AB = AC = b$, आधार $BC = a$ और ऊँचाई $AD = h$ है। O, AD पर ही होगा, D से $h - R$ ऊँचाई पर। समकोण त्रिभुज OBD में $R^2 = (h - R)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$ लिखिए और सरल कीजिए।

$$R = \frac{h^2 + \frac{a^2}{4}}{2h} = \frac{b^2}{2h}$$

जैसे भुजाएँ 10, 10 और 12 हों, तो $h = \sqrt{100 - 36} = 8$ आता है, और $R = \frac{100}{16} = 6.25$ सेमी। क्षेत्रफल 48 है और $s = 16$, तो $r = 3$ सेमी।

सबसे आसान तरीका यह है कि पहले क्षेत्रफल निकाल लीजिए। क्षेत्रफल हाथ में आ गया, तो $r = \frac{\Delta}{s}$ और $R = \frac{abc}{4\Delta}$ दोनों एक-एक पंक्ति के काम हैं। समकोण त्रिभुज में यह सब छोड़ दीजिए। वहाँ $R$ कर्ण का आधा है, और $r$ के लिए समकोण बनाने वाली भुजाओं के योग में से कर्ण घटाकर आधा कर दीजिए।

लंबकेंद्र और $\angle BHC = 180^\circ - A$

त्रिभुज के तीनों शीर्षलंब AD, BE और CF एक ही बिंदु पर मिलते हैं। इसे लंबकेंद्र कहते हैं और H से दिखाते हैं। H कहाँ पड़ेगा, यह त्रिभुज के प्रकार से तय होता है।

H पर बना कोण: चतुर्भुज AFHE लीजिए। इसमें E और F पर समकोण हैं, इसलिए बाकी दोनों कोणों का योग 180° होगा। तो $\angle FHE = 180^\circ - A$। $\angle BHC$ और $\angle FHE$ शीर्षाभिमुख कोण हैं, इसलिए दोनों बराबर हैं।

$$\angle BHC = 180^\circ - A$$

इसी तरह $\angle AHC = 180^\circ - B$ और $\angle AHB = 180^\circ - C$। जैसे A = 65° हो, तो $\angle BHC = 115^\circ$। उलटी ओर से, $\angle BHC = 140^\circ$ दिया हो, तो A = 40°।

H के पास के कोण: हर शीर्षलंब किसी एक भुजा के साथ समकोण त्रिभुज बनाता है। इसलिए शीर्षों के पास के छोटे कोण सब "90° में से कुछ घटाकर" निकलते हैं। समकोण त्रिभुज BEC में $\angle HBC = 90^\circ - C$ है। इसी तरह बाकी कोण भी मिल जाते हैं।

$$\angle HBC = 90^\circ - C \qquad \angle HCB = 90^\circ - B \qquad \angle HBA = \angle HCA = 90^\circ - A$$

याद रखिए, किसी शीर्ष पर शीर्षलंब और भुजा के बीच का कोण = 90° − उस भुजा के दूसरे सिरे पर बना कोण।

अधिककोण त्रिभुज: अगर A अधिक कोण हो, तो H बाहर, A के उस पार चला जाता है। फिर भी $\angle BHC = 180^\circ - A$ ही सही रहता है। जैसे A = 120° हो, तो यह कोण 60° होगा। अगर अधिक कोण B या C पर हो, तो $\angle BHC$ = A ही होता है।

यहाँ छात्र अक्सर $180^\circ - A$ (लंबकेंद्र) और $90^\circ + \frac{A}{2}$ (अंतःकेंद्र) में उलझ जाते हैं। दोनों का मान केवल A = 60° पर बराबर होता है। किसी और कोण पर गलत सूत्र लगते ही उत्तर गलत हो जाता है।

दो शीर्षलंब और कुछ कोण दिए हों, तो पहले "90° में से" वाले कोण लिख लीजिए। उसके बाद बाकी कोण समकोण त्रिभुजों से अपने आप निकल आते हैं।

समबाहु त्रिभुज: सब केंद्र एक जगह

भुजा $a$ वाले समबाहु त्रिभुज में हर माध्यिका ही शीर्षलंब है और वही कोण समद्विभाजक भी। साथ ही वह एक लंब समद्विभाजक पर भी पड़ती है। इसलिए G, I, O और H चारों एक ही बिंदु पर आ जाते हैं।

इन सब रेखाओं की लंबाई त्रिभुज की ऊँचाई के बराबर है।

$$h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$$

यह केंद्र हर माध्यिका को 2 : 1 में बाँटता है। शीर्ष तक इसकी दूरी $R$ है और भुजा तक दूरी $r$। इसलिए ये संबंध मिलते हैं।

$$R = \frac{2}{3}h = \frac{a}{\sqrt{3}} \qquad r = \frac{1}{3}h = \frac{a}{2\sqrt{3}} \qquad R = 2r \qquad R + r = h$$

जैसे $a = 18$ सेमी हो, तो $h = 9\sqrt{3}$, $R = 6\sqrt{3}$ और $r = 3\sqrt{3}$ सेमी। अब उलटी ओर से देखिए। $r = 5$ सेमी दिया हो, तो $h = 15$ सेमी, $R = 10$ सेमी और $a = 2\sqrt{3}\,r = 10\sqrt{3}$ सेमी।

सामान्य सूत्रों से भी इसकी जाँच हो जाती है। $\Delta = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ और $s = \frac{3a}{2}$ है। तो $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ और $R = \frac{a^3}{4\Delta} = \frac{a}{\sqrt{3}}$, यानी वही नतीजे।

दोनों वृत्तों की त्रिज्याएँ 1 : 2 में हैं। इसलिए परिवृत्त का क्षेत्रफल, अंतःवृत्त के क्षेत्रफल का 4 गुना होता है।

अंदर का कोई भी बिंदु: समबाहु त्रिभुज के अंदर कोई भी बिंदु P लीजिए और उससे तीनों भुजाओं पर लंब डालिए। इन तीनों लंबों का योग हमेशा त्रिभुज की ऊँचाई के बराबर होता है।

वजह देखिए। P को तीनों शीर्षों से मिलाइए। तीनों छोटे त्रिभुजों का आधार एक ही है, $a$। तो $\frac{1}{2}a(p_1 + p_2 + p_3) = \frac{1}{2}ah$, यानी $p_1 + p_2 + p_3 = h$।

जैसे तीनों दूरियाँ 3, 4 और 5 सेमी हों, तो $h = 12$ सेमी, और भुजा $\frac{2h}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}$ सेमी।

[SSC टिप] क्रम $r : R : h = 1 : 2 : 3$ याद कर लीजिए। $r$, $R$, $h$ या $a$ में से कोई एक पता हो, तो बाकी सब निकल आते हैं। $r$ को 2 से गुणा कीजिए तो $R$ मिलेगा, 3 से गुणा कीजिए तो $h$, और $2\sqrt{3}$ से गुणा कीजिए तो भुजा। प्रश्न में लिखा हो कि त्रिभुज के कोई दो केंद्र एक ही बिंदु हैं, जैसे केंद्रक और अंतःकेंद्र, तो त्रिभुज समबाहु है।

समद्विभाजक-शीर्षलंब कोण, ऑयलर रेखा, $OI^2$

समद्विभाजक और शीर्षलंब के बीच का कोण: A से दो रेखाएँ खींचिए। AE, कोण A का समद्विभाजक है और AF शीर्षलंब। मान लीजिए B, C से बड़ा है।

समकोण त्रिभुज ABF में $\angle BAF = 90^\circ - B$ है। साथ ही $\angle BAE = \frac{A}{2} = 90^\circ - \frac{B + C}{2}$। दोनों रेखाओं के बीच का कोण इन दोनों का अंतर है।

$$\angle EAF = \frac{B - C}{2}$$

सामान्य रूप में यह $\frac{|B - C|}{2}$ है, यानी बाकी दोनों कोणों के अंतर का आधा। जैसे B = 72° और C = 38° हो, तो यह कोण 17° होगा। B = C हो, तो दोनों रेखाएँ एक ही हो जाती हैं और कोण 0 रह जाता है।

[Tier 2] ऑयलर रेखा: हर त्रिभुज में परिकेंद्र O, केंद्रक G और लंबकेंद्र H एक ही सीधी रेखा पर होते हैं। इसी रेखा को ऑयलर रेखा (Euler line) कहते हैं। G बाकी दोनों के बीच में रहता है।

$$HG = 2\,GO \qquad OH = 3\,OG$$

जैसे OG = 5 सेमी हो, तो GH = 10 सेमी और OH = 15 सेमी। इसी सोच से एक और तथ्य निकलता है। AH, O से BC की दूरी का दोगुना होता है।

अंतःकेंद्र सामान्यतः इस रेखा पर नहीं होता। वह इस पर केवल समद्विबाहु त्रिभुज में आता है, और वहाँ ऑयलर रेखा ही सममित रेखा होती है। समबाहु त्रिभुज में यह रेखा सिमटकर एक बिंदु रह जाती है।

[Tier 2] O और I के बीच की दूरी: यह दूरी इस सूत्र से निकलती है।

$$OI^2 = R^2 - 2Rr$$

ऊपर लिया गया 10, 10, 12 भुजाओं वाला त्रिभुज देखिए। इसमें $R = \frac{25}{4}$ और $r = 3$ है। तब $OI^2 = \frac{625}{16} - \frac{75}{2} = \frac{25}{16}$, तो OI = $\frac{5}{4}$ सेमी।

$OI^2$ कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए हर त्रिभुज में $R \ge 2r$ होता है। $R = 2r$ केवल समबाहु त्रिभुज में होता है, जहाँ O और I एक ही बिंदु हैं।

ध्यान रखिए, समद्विभाजक और शीर्षलंब के बीच का कोण निकालने में कोण A का कोई काम नहीं है। इसमें केवल B और C लगते हैं। प्रश्न में A और B दिए हों, तो पहले C निकालिए, फिर अंतर का आधा लीजिए।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

त्रिभुज ABC की माध्यिकाएँ AD और BE, G पर मिलती हैं। यदि AD = 18 सेमी और BE = 24 सेमी है, तो AG + GE का मान क्या है? (a) 20 सेमी (b) 28 सेमी (c) 21 सेमी (d) 14 सेमी

उत्तर: G हर माध्यिका को शीर्ष की ओर से 2 : 1 में बाँटता है। AG, AD का दो-तिहाई है, यानी $\frac{2}{3} \times 18 = 12$ सेमी। GE, BE का छोटा भाग है, यानी एक-तिहाई, तो $\frac{1}{3} \times 24 = 8$ सेमी। अब AG + GE = 12 + 8 = (a) 20 सेमी। कुछ लोग GE की जगह BG (16 सेमी) ले लेते हैं और 28 सेमी लिख देते हैं, जो गलत है।

प्रश्न 2

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 96 वर्ग सेमी है और G इसका केंद्रक है। D और F क्रमशः BC और AB के मध्य-बिंदु हैं। चतुर्भुज BDGF का क्षेत्रफल कितना है? (a) 24 वर्ग सेमी (b) 48 वर्ग सेमी (c) 32 वर्ग सेमी (d) 16 वर्ग सेमी

उत्तर: तीनों माध्यिकाएँ त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफल वाले छह छोटे त्रिभुजों में बाँटती हैं। हर एक का क्षेत्रफल $\frac{96}{6} = 16$ वर्ग सेमी है। चतुर्भुज BDGF इनमें से दो त्रिभुजों, BDG और BGF, से मिलकर बना है। तो उसका क्षेत्रफल 2 × 16 = (c) 32 वर्ग सेमी है।

प्रश्न 3

त्रिभुज ABC में $\angle A = 90^\circ$, AB = 12 सेमी और AC = 16 सेमी है। G केंद्रक है। AG की लंबाई कितनी है? (a) 10 सेमी (b) $\frac{20}{3}$ सेमी (c) $\frac{40}{3}$ सेमी (d) 8 सेमी

उत्तर: पहले कर्ण निकाल लेते हैं, $BC = \sqrt{144 + 256} = 20$ सेमी। समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर खींची माध्यिका कर्ण की आधी होती है, तो AD = 10 सेमी। G इस माध्यिका पर शीर्ष से दो-तिहाई दूरी पर है, इसलिए $AG = \frac{2}{3} \times 10$ = (b) $\frac{20}{3}$ सेमी। जल्दी जाँचना हो, तो याद रखिए कि समकोण त्रिभुज में AG हमेशा कर्ण का एक-तिहाई होता है।

प्रश्न 4

त्रिभुज ABC की माध्यिकाएँ BE और CF, G पर समकोण बनाते हुए मिलती हैं। यदि BE = 12 सेमी और CF = 9 सेमी है, तो तीसरी माध्यिका AD की लंबाई कितनी है? (a) 10 सेमी (b) 5 सेमी (c) 22.5 सेमी (d) 15 सेमी

उत्तर: G पर बने समकोण त्रिभुज में माध्यिकाओं के केवल शीर्ष वाले भाग आते हैं। BG = $\frac{2}{3} \times 12 = 8$ सेमी और CG = $\frac{2}{3} \times 9 = 6$ सेमी। समकोण त्रिभुज BGC में $BC = \sqrt{64 + 36} = 10$ सेमी। GD इस त्रिभुज के कर्ण पर माध्यिका है, तो GD = 5 सेमी। G माध्यिका AD को 2 : 1 में बाँटता है, इसलिए AD = 3 × GD = (d) 15 सेमी। जल्दबाज़ी में कुछ लोग पूरी माध्यिकाएँ पाइथागोरस में लगा देते हैं। उन्हें BC = 15 सेमी मिलता है और फिर AD = 22.5 सेमी, जो गलत है।

प्रश्न 5

एक त्रिभुज की भुजाएँ 6 सेमी, 8 सेमी और 12 सेमी हैं। इसकी तीनों माध्यिकाओं के वर्गों का योग (वर्ग सेमी में) कितना है? (a) 183 (b) 244 (c) 122 (d) $\frac{976}{3}$

उत्तर: यहाँ यह सूत्र लगेगा, $4(\text{माध्यिकाओं के वर्गों का योग}) = 3(\text{भुजाओं के वर्गों का योग})$। भुजाओं के वर्गों का योग 36 + 64 + 144 = 244 है। तो माध्यिकाओं वाला योग $\frac{3}{4} \times 244$ = (a) 183 होगा। त्रिभुज सचमुच बनता है या नहीं, यह भी देख लेते हैं। 6 + 8 > 12 है, तो बनता है।

प्रश्न 6

त्रिभुज ABC में $\angle B = 90^\circ$ है और BD, AC पर खींची गई माध्यिका है। यदि BD = 6.5 सेमी और AB = 5 सेमी है, तो BC कितना है? (a) 13 सेमी (b) 8 सेमी (c) 12 सेमी (d) 10 सेमी

उत्तर: कर्ण पर माध्यिका कर्ण की आधी होती है। तो AC = 2 × 6.5 = 13 सेमी। अब पाइथागोरस लगाते हैं, $BC = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144}$ = (c) 12 सेमी।

प्रश्न 7

I, त्रिभुज ABC का अंतःकेंद्र है और $\angle BIC = 117^\circ$ है। $\angle BAC$ का मान क्या है? (a) 63° (b) 27° (c) 36° (d) 54°

उत्तर: अंतःकेंद्र पर $\angle BIC = 90^\circ + \frac{A}{2}$ होता है। तो $\frac{A}{2} = 117^\circ - 90^\circ = 27^\circ$, और A = (d) 54°।

प्रश्न 8

त्रिभुज ABC में I अंतःकेंद्र है, $\angle IBC = 32^\circ$ और $\angle ICA = 24^\circ$ है। $\angle BAC$ का मान क्या है? (a) 68° (b) 124° (c) 56° (d) 34°

उत्तर: BI और CI समद्विभाजक हैं, तो दिया गया हर कोण किसी एक शीर्ष-कोण का आधा है। इसलिए B = 2 × 32° = 64° और C = 2 × 24° = 48°। अब A = 180° − 64° − 48° = (a) 68°। जाँच भी कर लेते हैं। $\angle BIC$ को 90° + 34° = 124° होना चाहिए, और त्रिभुज BIC में 180° − 32° − 24° = 124° ही आता है। दोनों मान मिल गए।

प्रश्न 9

त्रिभुज ABC में $\angle A = 76^\circ$ है। BC को D तक बढ़ाया गया है। $\angle ABC$ का समद्विभाजक और $\angle ACD$ का समद्विभाजक K पर मिलते हैं। $\angle BKC$ का मान क्या है? (a) 52° (b) 38° (c) 128° (d) 76°

उत्तर: $\angle ACD$, C पर बना बाह्य कोण है, इसलिए यह A + B के बराबर है। उसका आधा $\frac{A + B}{2}$ हुआ। त्रिभुज BKC में यही आधा कोण C पर बना बाह्य कोण है। तो यह $\angle KBC + \angle BKC = \frac{B}{2} + \angle BKC$ के बराबर है। दोनों ओर से $\frac{B}{2}$ हटा देते हैं, तो $\angle BKC = \frac{A}{2}$ = (b) 38° आता है।

प्रश्न 10

त्रिभुज ABC के B और C पर बने बाह्य कोणों के समद्विभाजक E पर मिलते हैं। यदि $\angle BEC = 57^\circ$ है, तो $\angle A$ का मान क्या है? (a) 33° (b) 114° (c) 66° (d) 123°

उत्तर: दोनों समद्विभाजक बाहरी हैं, तो $\angle BEC = 90^\circ - \frac{A}{2}$ लगेगा। इससे $\frac{A}{2} = 90^\circ - 57^\circ = 33^\circ$, और A = (c) 66°।

प्रश्न 11

उस त्रिभुज की अंतःत्रिज्या कितनी है, जिसकी भुजाएँ 9 सेमी, 10 सेमी और 17 सेमी हैं? (a) 2 सेमी (b) 1 सेमी (c) 4 सेमी (d) 3 सेमी

उत्तर: पहले अर्धपरिमाप निकाल लेते हैं, $s = \frac{9 + 10 + 17}{2} = 18$। हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल $\sqrt{18 \times 9 \times 8 \times 1} = \sqrt{1296} = 36$ वर्ग सेमी है। तो $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{36}{18}$ = (a) 2 सेमी। पूरे परिमाप 36 से भाग दे दिया, तो 1 सेमी आएगा, जो गलत है। एक बात और देखिए। यह त्रिभुज अधिककोण है, क्योंकि $17^2 > 9^2 + 10^2$। फिर भी $r = \frac{\Delta}{s}$ लगता है, क्योंकि यह सूत्र हर त्रिभुज पर लागू होता है।

प्रश्न 12

त्रिभुज ABC का अंतःवृत्त BC, CA और AB को क्रमशः D, E और F पर स्पर्श करता है। यदि AB = 15 सेमी, BC = 19 सेमी और CA = 10 सेमी है, तो BD कितना है? (a) 7 सेमी (b) 12 सेमी (c) 3 सेमी (d) 9.5 सेमी

उत्तर: अर्धपरिमाप $s = \frac{15 + 19 + 10}{2} = 22$ है। B से स्पर्शरेखा की लंबाई = $s$ − B के सामने वाली भुजा, और B के सामने वाली भुजा CA है। तो BD = 22 − 10 = (b) 12 सेमी। जाँच कर लेते हैं, $CD = s - AB = 7$, और BD + CD = 19 = BC।

प्रश्न 13

एक समकोण त्रिभुज की दो छोटी भुजाएँ 12 सेमी और 35 सेमी हैं। इसकी अंतःत्रिज्या कितनी है? (a) 10 सेमी (b) 18.5 सेमी (c) 6 सेमी (d) 5 सेमी

उत्तर: कर्ण $\sqrt{144 + 1225} = \sqrt{1369} = 37$ सेमी है। समकोण त्रिभुज में $r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{12 + 35 - 37}{2} = \frac{10}{2}$ = (d) 5 सेमी। क्षेत्रफल को अर्धपरिमाप से भाग देकर भी जाँच सकते हैं, $\frac{210}{42} = 5$, वही आया।

प्रश्न 14

O, एक न्यूनकोण त्रिभुज ABC का परिकेंद्र है और $\angle OBC = 34^\circ$ है। $\angle BAC$ का मान क्या है? (a) 68° (b) 112° (c) 56° (d) 34°

उत्तर: OB और OC दोनों त्रिज्याएँ हैं, तो OB = OC और त्रिभुज OBC समद्विबाहु है। इसलिए $\angle OCB = 34^\circ$ भी है। फिर $\angle BOC = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ$। केंद्र पर बना कोण A पर बने कोण का दोगुना होता है, तो A = $\frac{112^\circ}{2}$ = (c) 56°। एक ही कदम में करना हो, तो $\angle OBC = 90^\circ - A$ लगाइए।

प्रश्न 15

त्रिभुज ABC में $\angle BAC = 115^\circ$ है और O परिकेंद्र है। $\angle BOC$ का मान क्या है? (a) 130° (b) 230° (c) 65° (d) 115°

उत्तर: A अधिक कोण है, तो O त्रिभुज के बाहर होगा, BC के उस पार, A की उलटी ओर। 2A = 230° है, और यह O पर बना प्रतिवर्ती कोण है। तो कोण BOC = 360° − 230° = (a) 130°। 230° वाला विकल्प गलत है, क्योंकि इतना बड़ा कोण त्रिभुज BOC का कोण हो ही नहीं सकता।

प्रश्न 16

त्रिभुज ABC में AB = AC = 15 सेमी और BC = 18 सेमी है। इसकी परित्रिज्या कितनी है? (a) 9 सेमी (b) $\frac{15}{2}$ सेमी (c) 12 सेमी (d) $\frac{75}{8}$ सेमी

उत्तर: A से खींचा गया शीर्षलंब BC के मध्य-बिंदु पर पड़ता है, तो $h = \sqrt{15^2 - 9^2} = 12$ सेमी। समद्विबाहु त्रिभुज में $R = \frac{b^2}{2h} = \frac{225}{24}$ = (d) $\frac{75}{8}$ सेमी। सामान्य सूत्र से भी जाँच लेते हैं। क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 18 \times 12 = 108$, तो $R = \frac{15 \times 15 \times 18}{4 \times 108} = \frac{4050}{432} = \frac{75}{8}$।

प्रश्न 17

एक समकोण त्रिभुज की परित्रिज्या 8.5 सेमी और अंतःत्रिज्या 3 सेमी है। इसका परिमाप कितना है? (a) 34 सेमी (b) 40 सेमी (c) 37 सेमी (d) 46 सेमी

उत्तर: कर्ण ही व्यास है, तो $c = 2 \times 8.5 = 17$ सेमी। $r = \frac{a + b - c}{2}$ से समकोण बनाने वाली भुजाओं का योग $a + b = 2r + c = 6 + 17 = 23$ सेमी आता है। तो परिमाप = 23 + 17 = (b) 40 सेमी। सीधे सूत्र से भी यही आता है, परिमाप $= 2r + 4R = 6 + 34 = 40$। ऐसी भुजाएँ सचमुच मिलती भी हैं। $a + b = 23$ और $a^2 + b^2 = 289$ से भुजाएँ 8 और 15 आती हैं।

प्रश्न 18

उस त्रिभुज की परित्रिज्या कितनी है, जिसकी भुजाएँ 13 सेमी, 20 सेमी और 21 सेमी हैं? (a) $\frac{65}{6}$ सेमी (b) $\frac{65}{3}$ सेमी (c) $\frac{14}{3}$ सेमी (d) $\frac{21}{2}$ सेमी

उत्तर: यहाँ पहले क्षेत्रफल चाहिए। $s = 27$ है, और हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल $\sqrt{27 \times 14 \times 7 \times 6} = \sqrt{15876} = 126$ वर्ग सेमी। अब $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{13 \times 20 \times 21}{4 \times 126} = \frac{5460}{504}$ = (a) $\frac{65}{6}$ सेमी। कुछ लोग सबसे लंबी भुजा को व्यास मानकर $\frac{21}{2}$ सेमी लिख देते हैं। यह केवल समकोण त्रिभुज में सही होता है।

प्रश्न 19

H, एक न्यूनकोण त्रिभुज ABC का लंबकेंद्र है और $\angle BHC = 128^\circ$ है। $\angle BAC$ का मान क्या है? (a) 64° (b) 76° (c) 52° (d) 38°

उत्तर: लंबकेंद्र पर $\angle BHC = 180^\circ - A$ होता है। तो A = 180° − 128° = (c) 52°। भूल से अंतःकेंद्र वाला नियम $90^\circ + \frac{A}{2} = 128^\circ$ लगा दिया, तो 76° आएगा, जो गलत है।

प्रश्न 20

न्यूनकोण त्रिभुज ABC में शीर्षलंब BE और CF, H पर मिलते हैं। यदि $\angle ABC = 62^\circ$ और $\angle ACB = 54^\circ$ है, तो $\angle HCA$ का मान क्या है? (a) 36° (b) 28° (c) 64° (d) 26°

उत्तर: पहले तीसरा कोण निकालते हैं, A = 180° − 62° − 54° = 64°। CF, AB पर लंब है, तो त्रिभुज AFC में F पर समकोण है। इस त्रिभुज का C वाला कोण $\angle HCA$ है और A वाला कोण 64°। तो $\angle HCA = 90^\circ - 64^\circ$ = (d) 26°।

प्रश्न 21

P, एक समबाहु त्रिभुज के अंदर स्थित एक बिंदु है। P से तीनों भुजाओं की लंबवत दूरियाँ 3 सेमी, 4 सेमी और 8 सेमी हैं। त्रिभुज की भुजा कितनी है? (a) 15 सेमी (b) $10\sqrt{3}$ सेमी (c) $5\sqrt{3}$ सेमी (d) 30 सेमी

उत्तर: अंदर के किसी बिंदु से तीनों भुजाओं की दूरियों का योग हमेशा त्रिभुज की ऊँचाई के बराबर होता है। तो $h = 3 + 4 + 8 = 15$ सेमी। अब $\frac{\sqrt{3}}{2}a = 15$ से $a = \frac{30}{\sqrt{3}}$ = (b) $10\sqrt{3}$ सेमी।

प्रश्न 22

एक समबाहु त्रिभुज की अंतःत्रिज्या 4 सेमी है। इसकी भुजा की लंबाई कितनी है? (a) $4\sqrt{3}$ सेमी (b) 12 सेमी (c) $8\sqrt{3}$ सेमी (d) 8 सेमी

उत्तर: समबाहु त्रिभुज में $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ होता है। तो $a = 2\sqrt{3} \times 4$ = (c) $8\sqrt{3}$ सेमी। दूसरे रास्ते से भी कर सकते हैं। क्रम $r : R : h = 1 : 2 : 3$ है, तो ऊँचाई 3 × 4 = 12 सेमी। फिर $a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}$।

प्रश्न 23

त्रिभुज ABC में $\angle B = 68^\circ$ और $\angle C = 44^\circ$ है। $\angle A$ के समद्विभाजक और A से खींचे गए शीर्षलंब के बीच का कोण कितना है? (a) 24° (b) 22° (c) 34° (d) 12°

उत्तर: A से खींचे समद्विभाजक और शीर्षलंब के बीच का कोण, बाकी दोनों कोणों के अंतर का आधा होता है। तो यह कोण $\frac{68^\circ - 44^\circ}{2}$ = (d) 12° है। लंबे तरीके से भी देख लेते हैं। A = 68° है, तो समद्विभाजक AB के साथ 34° बनाता है। शीर्षलंब AB के साथ 90° − 68° = 22° बनाता है। दोनों का अंतर 34° − 22° = 12° है।

प्रश्न 24

[Tier 2] O, G और H एक विषमबाहु त्रिभुज के क्रमशः परिकेंद्र, केंद्रक और लंबकेंद्र हैं। यदि OH = 12 सेमी है, तो GH कितना है? (a) 4 सेमी (b) 8 सेमी (c) 6 सेमी (d) 9 सेमी

उत्तर: O, G और H ऑयलर रेखा पर होते हैं, और HG = 2GO। मतलब G, OH को O की ओर से 1 : 2 में बाँटता है। तो OG = 4 सेमी और GH = (b) 8 सेमी। G, OH को आधा-आधा नहीं बाँटता, इसलिए 6 सेमी गलत है।