शॉर्टकट और तेज़ तरीके

समांतर रेखाओं के बीच मोड़

SSC ज्यामिति के ज़्यादातर प्रश्न किसी एक तथ्य पर टिके होते हैं। कभी वह समांतर रेखाओं के बीच का मोड़ होता है, कभी केंद्र पर बना कोण, कभी केंद्र से जीवा की दूरी और कभी स्पर्शरेखा की लंबाई। शुरू के कुछ सेकंड में यह तथ्य पहचान लिया, तो हल प्रायः तीन पंक्तियों से ज़्यादा का नहीं होता।

इसके लिए एक आदत डालिए। हर प्रश्न पर अपनी एक कच्ची आकृति बनाइए, भले ही प्रश्न के साथ आकृति छपी हो। जो कुछ दिया है, सब उसी आकृति पर लिख दीजिए।

अब पहले तथ्य से शुरू करते हैं, यानी समांतर रेखाओं के बीच का मोड़। दो समांतर रेखाएँ होती हैं और उनके बीच से एक रास्ता मुड़कर जाता है, कभी तीर की नोक जैसा और कभी टेढ़ा-मेढ़ा। प्रश्न में मोड़ पर बना कोण पूछा जाता है।

अगर मोड़ की नोक उसी ओर निकली है जिधर A और C हैं, जैसा नीचे की आकृति में है, तो काम बहुत आसान है। मोड़ की दोनों भुजाएँ समांतर रेखाओं से जो दो कोण बनाती हैं, उन्हें जोड़ दीजिए। मोड़ का कोण इन्हीं दोनों के योग के बराबर होता है।

$$\angle BED = \angle ABE + \angle CDE$$

ऐसा क्यों होता है, यह भी देख लीजिए। E से AB के समांतर एक रेखा खींचिए, जो आकृति में बिंदुदार दिखाई गई है। यह रेखा कोण BED को दो भागों में बाँट देती है। हर भाग, दिए गए किसी एक कोण का एकांतर कोण है। इसलिए दोनों भाग जोड़ने पर वही योग आता है।

उलटा मामला: मोड़ की नोक दूसरी ओर हो, यानी E, B और D से भी आगे दाईं ओर निकल जाए, तो तीनों कोणों का योग $360^\circ$ होता है। सूत्र में लिखें, तो $\angle ABE + \angle BED + \angle CDE = 360^\circ$।

कई मोड़: उन्हीं दो समांतर रेखाओं के बीच रास्ता कई बार मुड़े, तो बाईं ओर खुलने वाले कोणों का योग, दाईं ओर खुलने वाले कोणों के योग के बराबर होता है। ऊपर की आकृति में कोण ABE और CDE बाईं ओर खुले हैं, और कोण BED दाईं ओर।

प्रश्न 1

दी गई आकृति में $AB \parallel CD$ है। यदि $\angle ABE = 42^\circ$ और $\angle CDE = 37^\circ$ है, तो $\angle BED$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मोड़ की नोक A और C की ओर है, तो बस दोनों कोण जोड़ने हैं। $42^\circ + 37^\circ$ = 79°। इसमें मुश्किल से 5 सेकंड लगते हैं।

इन प्रश्नों में तीन जगह चूक होती है।

• दोनों रेखाएँ प्रश्न में समांतर दी गई हों, तभी यह नियम लगाइए। आकृति में रेखाएँ बस समांतर दिख रही हों, तो उन पर यह नहीं चलेगा।
• दिए गए कोण हर भुजा और रेखा के उस हिस्से के बीच होने चाहिए, जिस ओर मोड़ की नोक है। प्रश्न में B पर दूसरी ओर का कोण दिया हो, तो पहले उसे $180^\circ$ में से घटा लीजिए।
• मोड़ की नोक A और C से दूर हो, तो $360^\circ$ वाला नियम लगेगा। जैसे उस ओर $\angle ABE = 130^\circ$ और $\angle CDE = 145^\circ$ हो, तो $\angle BED = 360^\circ - 275^\circ = 85^\circ$ होगा।

[SSC टिप] समांतर रेखाओं के बीच, तिर्यक रेखा के एक ही ओर बने दो कोणों को सह-अंतः कोण (co-interior angles) कहते हैं। इन दोनों के समद्विभाजक सदा $90^\circ$ पर मिलते हैं, क्योंकि दोनों आधे कोणों का योग $180^\circ$ का आधा होता है।

एक कोण से बहुभुज की भुजाएँ

कई प्रश्नों में सम बहुभुज (regular polygon) का एक अंतः कोण या एक बाह्य कोण दिया होता है। कभी इन दोनों का अनुपात या अंतर दिया होता है। पूछा जाता है कि बहुभुज में कितनी भुजाएँ हैं, कितने विकर्ण हैं या कोणों का योग कितना है।

ऐसे हर प्रश्न को बाह्य कोण के रास्ते से हल कीजिए। बाह्य कोण = $180^\circ$ − अंतः कोण होता है। और किसी भी बहुभुज के बाह्य कोणों का योग $360^\circ$ होता है। इसलिए भुजाओं की संख्या $n = \frac{360^\circ}{\text{बाह्य कोण}}$ होती है।

प्रश्न में जो दिया है, उसके हिसाब से सूत्र ये हैं।

• अंतः कोण $I$ दिया हो, तो $n = \frac{360}{180 - I}$।
• अंतः कोण : बाह्य कोण $= p : q$ दिया हो, तो $n = \frac{2(p + q)}{q}$।
• अंतः कोण − बाह्य कोण $= k$ दिया हो, तो बाह्य कोण $= \frac{180 - k}{2}$।
• अंतः कोणों का योग $S$ दिया हो, तो $n = \frac{S}{180} + 2$।
• विकर्णों की संख्या $\frac{n(n - 3)}{2}$ होती है।

नीचे वाले मान याद रखने लायक हैं।

प्रश्न 2

एक सम बहुभुज के प्रत्येक अंतः कोण और प्रत्येक बाह्य कोण का अनुपात 13 : 2 है। इस बहुभुज में कितने विकर्ण हैं?

उत्तर: अंतः कोण और बाह्य कोण मिलकर $180^\circ$ होते हैं। अनुपात 13 : 2 है, यानी कुल 15 भागों में से बाह्य कोण के 2 भाग हैं। तो बाह्य कोण $\frac{2}{15} \times 180^\circ = 24^\circ$ है, और $n = \frac{360}{24} = 15$। विकर्ण $= \frac{15 \times 12}{2}$ = 90। पूरा हल लगभग 15 सेकंड का है।

अब वे जगहें देखिए, जहाँ गलती होती है।

• $360$ को बाह्य कोण से भाग देने पर पूर्ण संख्या न आए, तो उस कोण वाला कोई सम बहुभुज होता ही नहीं। जैसे अंतः कोण $130^\circ$ हो, तो बाह्य कोण $50^\circ$ होगा, और $\frac{360}{50} = 7.2$ आता है। ऐसा कोई बहुभुज नहीं बनता।
• "प्रत्येक कोण" वाले सूत्र केवल सम बहुभुज पर लगते हैं। बाकी बहुभुजों पर केवल योग वाले सूत्र चलते हैं।
• विकर्णों के सूत्र में $n - 3$ आता है और कोणों के योग में $n - 2$। इन दोनों को आपस में मिला देना बहुत आम चूक है।

एक बात जानने लायक है। जितनी भुजाएँ, उतने ही विकर्ण, ऐसा केवल पंचभुज में होता है। $\frac{n(n - 3)}{2} = n$ रखने पर $n = 5$ ही आता है।

समय बचाने वाले चतुर्भुज-तथ्य

समचतुर्भुज, समांतर चतुर्भुज, आयत या समलंब चतुर्भुज के प्रश्न में विकर्ण, भुजाएँ या कोण समद्विभाजक आएँ, तो नीचे वाले तथ्य सीधे काम आते हैं।

• समचतुर्भुज: इसके विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर आधा-आधा काटते हैं। इसलिए हर भुजा एक समकोण त्रिभुज का कर्ण होती है, जिसकी समकोण बनाने वाली भुजाएँ $\frac{d_1}{2}$ और $\frac{d_2}{2}$ हैं। एक पंक्ति में लिखें, तो $d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$। आधे विकर्णों में कोई पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean triplet) दिख जाए, तो भुजा तुरंत मिल जाती है।
• समांतर चतुर्भुज: यहाँ $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$ होता है, जहाँ $a$ और $b$ दो आसन्न भुजाएँ हैं। आसन्न कोणों का योग $180^\circ$ होता है, इसलिए दो आसन्न कोणों के समद्विभाजक $90^\circ$ पर मिलते हैं।
• आयत और वर्ग: दोनों विकर्ण बराबर होते हैं। भुजा $a$ वाले वर्ग का विकर्ण $a\sqrt{2}$ होता है।
• कोई भी चतुर्भुज ABCD: कोण A और कोण B के समद्विभाजक $\frac{\angle C + \angle D}{2}$ के कोण पर मिलते हैं।
• समलंब चतुर्भुज, $AB \parallel CD$: दोनों तिरछी भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा $\frac{AB + CD}{2}$ होती है। विकर्ण एक-दूसरे को $AB : CD$ के अनुपात में काटते हैं।

ऊपर की आकृति में समचतुर्भुज PQRS है। मान लीजिए इसके विकर्ण 42 और 40 हैं। आधे विकर्ण 21 और 20 हुए, और 20, 21, 29 एक त्रिक है। तो भुजा सीधे 29 आ जाती है।

प्रश्न 3

एक समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ 6 सेमी और 13 सेमी हैं तथा उसका एक विकर्ण 11 सेमी है। दूसरा विकर्ण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: समांतर चतुर्भुज वाला सूत्र लगाते हैं। $d_1^2 + d_2^2 = 2(6^2 + 13^2) = 2(36 + 169) = 410$। एक विकर्ण 11 है, तो $d_2^2 = 410 - 121 = 289$, और दूसरा विकर्ण 17 सेमी है। यह लगभग 20 सेकंड का काम है।

यहाँ तीन बातें ध्यान में रखिए।

• $d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$ केवल समचतुर्भुज पर लगता है। वर्ग भी एक समचतुर्भुज ही है, इसलिए उस पर भी चलता है। असमान भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज में $2(a^2 + b^2)$ ही लीजिए।
• समचतुर्भुज की भुजा निकालते समय हर विकर्ण का आधा लेना है। आधा करना भूल गए, तो भुजा दोगुनी आएगी।
• $\frac{\angle C + \angle D}{2}$ वाला नियम दो पास-पास वाले कोणों, A और B, के आंतरिक समद्विभाजकों पर ही लगता है।

समद्विबाहु कड़ी: एक कोण आगे बढ़ाना

कुछ आकृतियों में बराबर भुजाओं पर निशान लगे होते हैं, जैसे AB = AC, AD = BD या BD = BC। साथ में किसी भुजा पर एक अतिरिक्त बिंदु होता है, और कोई कोण पूछा जाता है।

पहले अज्ञात कोण को $x$ मान लीजिए। अब दो नियम बार-बार लगाने हैं। पहला, जहाँ भी दो भुजाएँ बराबर हैं, उनके सामने वाले दो कोण भी बराबर होते हैं। दूसरा, त्रिभुज का हर बाह्य कोण दोनों अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है। इन्हीं दो नियमों से $x$ को आकृति में आगे-आगे ले जाइए, जब तक हर कोण $x$ के रूप में न लिखा जाए। फिर $180^\circ$ वाला योग लगा दीजिए।

सबसे ज़्यादा आने वाली कड़ी यह है। $AB = AC$ है, और AC पर एक बिंदु D ऐसा है कि $AD = BD = BC$।

इसमें कोण एक-एक कदम आगे बढ़ते हैं।

• $AD = BD$ है, तो $\angle ABD = \angle A = x$।
• $\angle BDC$ त्रिभुज ABD का बाह्य कोण है, इसलिए यह $2x$ होगा।
• $BD = BC$ है, तो $\angle C = \angle BDC = 2x$।
• $AB = AC$ है, तो $\angle ABC = \angle C = 2x$।
• अब त्रिभुज ABC में $x + 2x + 2x = 180^\circ$, यानी $x = 36^\circ$।

प्रश्न 4

त्रिभुज ABC में $AB = AC$ और $\angle BAC = 112^\circ$ है। BC पर एक बिंदु D इस प्रकार है कि $AD = BD$ है। $\angle DAC$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: AB और AC बराबर हैं, तो दोनों आधार कोण $\frac{180^\circ - 112^\circ}{2} = 34^\circ$ के हैं। $AD = BD$ है, इसलिए $\angle BAD = \angle B = 34^\circ$। तो $\angle DAC = 112^\circ - 34^\circ$ = 78°। त्रिभुज ADC में जाँच भी कर लेते हैं। $\angle ADC = 34^\circ + 34^\circ = 68^\circ$, और $68^\circ + 78^\circ + 34^\circ = 180^\circ$, तो उत्तर ठीक है। जाँच समेत करीब 20 सेकंड लगते हैं।

ऐसे प्रश्नों में दो गलतियाँ बार-बार दिखती हैं।

• बराबर भुजाओं के सामने वाले कोण बराबर होते हैं। $AD = BD$ हो, तो त्रिभुज ABD में A और B वाले कोण बराबर हैं, D वाला कोण नहीं।
• बाह्य कोण वाला कदम तभी ठीक है, जब अतिरिक्त बिंदु भुजा पर ही हो, बढ़ाई गई भुजा पर नहीं। अगर D बढ़ाई गई BC पर हो, तो आकृति वैसी ही बनाइए और कोण नए सिरे से आगे बढ़ाइए।

एक और तथ्य इसी से जुड़ा है। समद्विबाहु त्रिभुज में बराबर भुजाओं के बीच वाले कोण का समद्विभाजक माध्यिका (median) भी होता है और शीर्षलंब (altitude) भी। उसी शीर्ष पर बाह्य कोण का समद्विभाजक आधार के समांतर होता है।

सर्वांगसमता: पाँच सेकंड में नियम

दो त्रिभुज दिए हों और उनके कुछ भाग बराबर हों, तो प्रश्न तीन तरह के आते हैं। पूछा जाता है कि कौन-सा नियम उन्हें सर्वांगसम (congruent) बनाता है, कौन-सी शर्तें काफ़ी नहीं हैं, या कौन-से भाग बराबर होने ज़रूरी हैं। इसके लिए बस पाँच नियम याद रखिए, और साथ में वे दो शर्तें भी, जो नियम नहीं हैं।

दो चीज़ें नियम नहीं हैं। पहली SSA, जिसमें कोण दोनों भुजाओं के बीच नहीं होता। दूसरी AAA, जिसमें तीनों कोण बराबर हैं पर कोई भुजा नहीं। जब केवल कोण बराबर हों, तो त्रिभुज सर्वांगसम नहीं, बस समरूप होते हैं। उनकी आकृति एक जैसी होती है, पर माप कुछ भी हो सकता है।

अक्षर पढ़ना: $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ लिखा हो, तो अक्षरों के जोड़े इसी क्रम में बनते हैं। A के साथ P, B के साथ Q और C के साथ R। तो $AB = PQ$, $BC = QR$, $CA = RP$, $\angle A = \angle P$, और इसी तरह आगे। बाकी मेल खाते भागों के लिए CPCT लगाइए, यानी सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं।

प्रश्न 5

यदि $\triangle PQR \cong \triangle ZXY$ है, तो कौन-सी भुजा QR के बराबर है और कौन-सा कोण $\angle R$ के बराबर है?

उत्तर: अक्षरों के जोड़े क्रम से बना लेते हैं। P के साथ Z, Q के साथ X और R के साथ Y। तो QR = XY और $\angle R$ = $\angle Y$। जोड़े बनते ही करीब 5 सेकंड में उत्तर सामने आ जाता है।

SSA क्यों नहीं: नीचे की आकृति देखिए। AB, कोण B और A से निकलने वाली भुजा की लंबाई, तीनों तय हैं। फिर भी वह भुजा $C_1$ पर भी ख़त्म हो सकती है और $C_2$ पर भी। यानी एक ही आँकड़ों से दो अलग त्रिभुज बन जाते हैं।

इन बातों पर ध्यान दीजिए।

• SSA और AAA से कुछ भी सिद्ध नहीं होता, जैसा ऊपर देखा।
• भुजा-भुजा-कोण वाले रूपों में अकेला RHS ही चलता है। इसकी वजह यह है कि वहाँ कोण $90^\circ$ का है और उसके सामने की भुजा कर्ण है।
• बराबर क्षेत्रफल या बराबर परिमाप से दो त्रिभुज सर्वांगसम नहीं हो जाते।

SSC में अक्सर चार शर्तें दी जाती हैं और पूछा जाता है कि कौन-सी काफ़ी नहीं है। ऐसे में दो चीज़ें ढूँढिए। या तो ऐसा कोण, जो दी गई दो भुजाओं के बीच न हो, या फिर तीन कोण और कोई भुजा नहीं।

पाइथागोरस त्रिक, 30-60-90 और 45-45-90 त्रिभुज

समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ दी हों, या एक भुजा के साथ $30^\circ$, $45^\circ$ या $60^\circ$ का कोण दिया हो, तो कुछ भी वर्ग करने से पहले देख लीजिए कि कहीं कोई जाना-पहचाना रूप तो नहीं बन रहा।

• त्रिक: याद रखने लायक त्रिक हैं (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (20, 21, 29), (9, 40, 41), (12, 35, 37), (11, 60, 61), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (16, 63, 65) और (13, 84, 85)। इनके गुणज भी त्रिक ही होते हैं। इसलिए पहले दी गई भुजाओं को उनके म.स. से भाग दीजिए। जैसे भुजाएँ 39 और 52 हों, तो 13 से भाग देने पर 3 और 4 आते हैं, और कर्ण $13 \times 5 = 65$ आता है।
• त्रिक बनाना: समकोण बनाने वाली कोई भुजा $m$ विषम हो, तो बाकी दो भुजाएँ $\frac{m^2 - 1}{2}$ और $\frac{m^2 + 1}{2}$ होती हैं, जैसे 11 से 60 और 61 मिलते हैं। अगर वही भुजा $m$ सम हो, तो बाकी दो $\left(\frac{m}{2}\right)^2 - 1$ और $\left(\frac{m}{2}\right)^2 + 1$ होती हैं, जैसे 16 से 63 और 65।
• 30-60-90: $30^\circ$, $60^\circ$ और $90^\circ$ के सामने वाली भुजाएँ $1 : \sqrt{3} : 2$ के अनुपात में होती हैं।
• 45-45-90: यहाँ भुजाओं का अनुपात $1 : 1 : \sqrt{2}$ होता है।

न्यूनकोण, समकोण या अधिककोण: सबसे लंबी भुजा को $c$ मानिए। अगर $a^2 + b^2 > c^2$ हो, तो त्रिभुज न्यूनकोण है। यही योग $= c^2$ हो, तो समकोण, और $< c^2$ हो, तो अधिककोण। जैसे भुजाएँ 7, 8 और 11 हों, तो $49 + 64 = 113 < 121$, यानी यह अधिककोण त्रिभुज है। भुजाएँ 36, 77 और 85 हों, तो $1296 + 5929 = 7225 = 85^2$, यानी समकोण त्रिभुज।

प्रश्न 6

त्रिभुज ABC में $\angle B = 90^\circ$, $\angle C = 30^\circ$ और $AC = 14$ सेमी है। AB और BC ज्ञात कीजिए।

उत्तर: AC, समकोण B के सामने है, तो यही कर्ण है। AB, $30^\circ$ वाले कोण के सामने है, इसलिए वह कर्ण का आधा होगा, यानी AB = 7 सेमी। BC, $60^\circ$ वाले कोण के सामने है, तो BC = $7\sqrt{3}$ सेमी। लगभग 10 सेकंड में दोनों भुजाएँ मिल जाती हैं।

त्रिक और विशेष त्रिभुजों में ये तीन गलतियाँ सबसे ज़्यादा होती हैं।

• त्रिक वाला शॉर्टकट तभी लगाइए, जब पता हो कि त्रिभुज समकोण है। भुजाएँ 5, 12 और 14 हों, तो यह त्रिक नहीं है।
• कर्ण सदा सबसे लंबी भुजा होता है। दी गई दो भुजाओं में से एक कर्ण हो, तो वर्गों का अंतर लीजिए, योग नहीं।
• 30-60-90 त्रिभुज में सबसे छोटी भुजा $30^\circ$ के सामने होती है। $\sqrt{3}$ वाली भुजा और छोटी भुजा की अदला-बदली कर देना आम गलती है।

केंद्र पर बने कोणों की तालिका

मान लीजिए त्रिभुज ABC का कोई केंद्र दिया है। वह अंतःकेंद्र (incentre) हो सकता है, बहिःकेंद्र (excentre), परिकेंद्र (circumcentre) या लंबकेंद्र (orthocentre)। कोण A देकर उस केंद्र पर बना कोण BXC पूछा जाता है, या कोण BXC देकर कोण A। इसके लिए बस एक तालिका याद कर लीजिए।

इसी से $\angle BIC + \angle BEC = 180^\circ$ भी निकलता है। साथ में यह भी याद रखिए कि $\angle BIC$ सदा $90^\circ$ से अधिक होता है और $\angle BEC$ सदा $90^\circ$ से कम।

प्रश्न 7

एक न्यूनकोण त्रिभुज ABC में O परिकेंद्र है और $\angle BOC = 104^\circ$ है। यदि I अंतःकेंद्र और H लंबकेंद्र है, तो $\angle BIC$ और $\angle BHC$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: परिकेंद्र पर बना कोण, कोण A का दोगुना होता है। तो $2A = 104^\circ$, यानी $A = 52^\circ$। अब अंतःकेंद्र पर $\angle BIC = 90^\circ + 26^\circ$ = 116° और लंबकेंद्र पर $\angle BHC = 180^\circ - 52^\circ$ = 128°। A मिलते ही बाकी दोनों कोण तुरंत आ जाते हैं, और पूरा काम करीब 15 सेकंड का है।

तालिका की कुछ पंक्तियाँ हर त्रिभुज पर ज्यों की त्यों नहीं चलतीं।

• परिकेंद्र, A अधिक कोण: तब O भुजा BC के दूसरी ओर चला जाता है, जैसा नीचे की आकृति में है। उस हालत में $\angle BOC = 360^\circ - 2A$ होता है। जैसे $A = 125^\circ$ हो, तो कोण BOC $110^\circ$ होगा, $250^\circ$ नहीं। और $A = 90^\circ$ हो, तो O ठीक BC का मध्य-बिंदु होता है।
• लंबकेंद्र, B या C अधिक कोण: तब H त्रिभुज के बाहर, अधिक कोण वाले शीर्ष के पार चला जाता है, और $\angle BHC = A$ होता है। अगर A ख़ुद अधिक कोण हो, तो $180^\circ - A$ फिर भी सही रहता है। $A = 90^\circ$ हो, तो H शीर्ष A पर ही होता है।
• अंतःकेंद्र और बहिःकेंद्र वाली पंक्तियाँ हर त्रिभुज में सही रहती हैं। यहाँ आम गलती यह है कि अंतःकेंद्र के लिए $90^\circ - \frac{A}{2}$ लगा दिया जाता है।

[SSC टिप] केंद्र कहाँ होते हैं, यह भी जान लीजिए। अंतःकेंद्र सदा त्रिभुज के अंदर होता है। परिकेंद्र और लंबकेंद्र न्यूनकोण त्रिभुज में अंदर होते हैं। समकोण त्रिभुज में परिकेंद्र कर्ण के मध्य-बिंदु पर होता है और लंबकेंद्र समकोण वाले शीर्ष पर। अधिककोण त्रिभुज में ये दोनों बाहर चले जाते हैं।

केंद्रक, माध्यिकाएँ और कर्ण पर माध्यिका

जिन प्रश्नों में माध्यिकाएँ, केंद्रक (centroid) G, या AG और GD जैसी लंबाइयाँ हों, उनमें ये पाँच तथ्य काम आते हैं। समकोण त्रिभुज के कर्ण का मध्य-बिंदु दिया हो, तो उसका अपना अलग नियम है, जिसे इनके बाद देखेंगे।

• G हर माध्यिका को शीर्ष की ओर से $2 : 1$ में काटता है। यानी $AG = \frac{2}{3}AD$ और $GD = \frac{1}{3}AD$।
• तीनों माध्यिकाएँ त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफल वाले छह छोटे त्रिभुजों में बाँट देती हैं। इसलिए त्रिभुज GBC का क्षेत्रफल, त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल का एक-तिहाई होता है।
• माध्यिका की लंबाई अपोलोनियस प्रमेय से निकलती है। अगर AD माध्यिका है, तो $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$।
• माध्यिकाओं के वर्गों का योग $= \frac{3}{4} \times$ (भुजाओं के वर्गों का योग)।
• माध्यिकाएँ BE और CF समकोण पर मिलें, तो $AB^2 + AC^2 = 5BC^2$ होता है।

प्रश्न 8

त्रिभुज ABC की माध्यिकाएँ BE और CF एक-दूसरे को समकोण पर काटती हैं। यदि $AB = 19$ सेमी और $AC = 22$ सेमी है, तो BC ज्ञात कीजिए।

उत्तर: B और C से निकली माध्यिकाएँ समकोण पर मिल रही हैं, तो सीधे $5BC^2 = 19^2 + 22^2 = 361 + 484 = 845$ लिखते हैं। इससे $BC^2 = 169$, यानी BC = 13 सेमी। यह 15 सेकंड के आसपास का प्रश्न है।

कर्ण पर माध्यिका

समकोण त्रिभुज में कर्ण का मध्य-बिंदु M ही परिकेंद्र होता है। इसलिए $MA = MB = MC$, और तीनों कर्ण के आधे के बराबर हैं। मतलब त्रिभुज ABM और ACM दोनों समद्विबाहु हैं। इसलिए आधार के एक सिरे का कोण दूसरे सिरे पर भी वही आता है, और M पर बना कोण इसका दोगुना होता है।

इसका उलटा नियम भी उतना ही काम का है। कोई माध्यिका जिस भुजा से मिलती है, अगर वह उस भुजा की आधी हो, तो उस शीर्ष पर कोण $90^\circ$ होता है।

प्रश्न 9

त्रिभुज PQR में $\angle Q = 90^\circ$ है और M, PR का मध्य-बिंदु है। यदि $\angle QPR = 34^\circ$ है, तो $\angle QMR$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: M कर्ण PR का मध्य-बिंदु है, तो $MQ = MP$। इसलिए $\angle MQP = \angle P = 34^\circ$। अब कोण QMR, त्रिभुज PMQ का बाह्य कोण है, तो $\angle QMR = 34^\circ + 34^\circ$ = 68°। यह करीब 10 सेकंड में हो जाता है।

माध्यिकाओं में ये तीन गलतियाँ आम हैं।

• $AG = \frac{2}{3}$ लिखते समय याद रखिए कि यह माध्यिका का दो-तिहाई है, भुजा का नहीं।
• केवल कर्ण वाली माध्यिका ही किसी लंबाई की ठीक आधी होती है। बाकी दो भुजाओं पर खींची माध्यिकाएँ अपोलोनियस प्रमेय से ही निकलेंगी।
• $5BC^2$ वाले नियम के लिए B और C, दोनों से निकली माध्यिकाएँ चाहिए। BC इन्हीं दो शीर्षों के बीच की भुजा है।

समबाहु और समकोण त्रिभुज की त्रिज्याएँ

जब समबाहु या समकोण त्रिभुज की अंतःत्रिज्या (inradius) $r$ या परित्रिज्या (circumradius) $R$ पूछी जाए, तो इन दोनों त्रिभुजों के अपने छोटे सूत्र काम आते हैं। किसी भी त्रिभुज के लिए सामान्य सूत्र भी हैं।

• समबाहु, भुजा $a$: ऊँचाई $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ होती है। इस त्रिभुज के चारों केंद्र एक ही बिंदु पर होते हैं, जो हर ऊँचाई पर ऊपर से दो-तिहाई नीचे है। इसलिए $R = \frac{2}{3}h = \frac{a}{\sqrt{3}}$, $r = \frac{1}{3}h = \frac{a}{2\sqrt{3}}$, और $R = 2r$। संक्षेप में याद रखना हो, तो $r : R : h = 1 : 2 : 3$।
• समकोण त्रिभुज, समकोण बनाने वाली भुजाएँ $a$ और $b$, कर्ण $c$: यहाँ $R = \frac{c}{2}$ होता है, क्योंकि कर्ण का मध्य-बिंदु ही परिकेंद्र है। और $r = \frac{a + b - c}{2}$।
• कोई भी त्रिभुज: $r = \frac{\Delta}{s}$ और $R = \frac{abc}{4\Delta}$, जहाँ $\Delta$ क्षेत्रफल है और $s$ परिमाप का आधा। क्षेत्रफल के सूत्र अध्याय 13 में हैं।

उदाहरण के लिए, 18 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज में $h = 9\sqrt{3}$, $R = 6\sqrt{3}$ और $r = 3\sqrt{3}$ है।

प्रश्न 10

एक समकोण त्रिभुज की दो छोटी भुजाएँ 20 सेमी और 21 सेमी हैं। उसकी अंतःत्रिज्या और परित्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 20, 21, 29 एक त्रिक है, तो कर्ण 29 सेमी है। अब $r = \frac{20 + 21 - 29}{2}$ = 6 सेमी और $R = \frac{29}{2}$ = 14.5 सेमी। दोनों त्रिज्याएँ करीब 10 सेकंड में निकल आती हैं।

इन सूत्रों को लगाते समय दो बातें याद रखिए।

• $r = \frac{a + b - c}{2}$ और $R = \frac{c}{2}$ केवल समकोण त्रिभुज में चलते हैं। बाकी त्रिभुजों में $\frac{\Delta}{s}$ और $\frac{abc}{4\Delta}$ लगाइए।
• समबाहु वाले सूत्रों में भुजा की जगह ऊँचाई मत रखिए। ऊँचाई दी हो, तो सीधे $R = \frac{2}{3}h$ और $r = \frac{1}{3}h$ लीजिए।

समबाहु त्रिभुज के परिवृत्त का क्षेत्रफल, उसके अंतःवृत्त के क्षेत्रफल का 4 गुना होता है, क्योंकि $R = 2r$ है।

अंतःवृत्त की स्पर्शरेखाएँ: $s - a$

कभी त्रिभुज के अंदर एक वृत्त होता है, जो उसकी सभी भुजाओं को स्पर्श करता है, और किसी भुजा का एक टुकड़ा पूछा जाता है। चतुर्भुज के अंदर ऐसा वृत्त हो, तब भी यही बात लागू होती है।

यहाँ एक ही नियम काम करता है। किसी बिंदु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्शरेखाएँ बराबर होती हैं। इसलिए हर शीर्ष से स्पर्शरेखा की एक ही लंबाई होती है। $s = \frac{a + b + c}{2}$ लीजिए, जहाँ $a = BC$, $b = CA$ और $c = AB$ है। तब A से स्पर्शरेखा की लंबाई $s - a$ होती है, B से $s - b$ और C से $s - c$।

• अंतःवृत्त BC को D पर स्पर्श करे, तो $BD = s - b$ और $DC = s - c$।
• समकोण त्रिभुज में समकोण वाले शीर्ष से स्पर्शरेखा की लंबाई $r$ होती है।
• वृत्त के परिगत चतुर्भुज: इसमें $AB + CD = AD + BC$ होता है, यानी आमने-सामने की भुजाओं के योग बराबर होते हैं।

प्रश्न 11

त्रिभुज ABC में $AB = 11$ सेमी, $BC = 16$ सेमी और $CA = 9$ सेमी है। अंतःवृत्त BC को D पर स्पर्श करता है। BD ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले परिमाप का आधा निकालते हैं। $s = \frac{11 + 16 + 9}{2} = 18$ आता है। BD, B से स्पर्शरेखा की लंबाई है, तो BD = $s - CA = 18 - 9$ = 9 सेमी। जाँच के लिए $DC = 18 - 11 = 7$ सेमी भी निकाल लेते हैं। $9 + 7 = 16$ आता है, जो पूरी BC है, यानी उत्तर ठीक है। जाँच के साथ भी इसमें लगभग 15 सेकंड ही लगते हैं।

चतुर्भुज वाला उदाहरण भी देख लीजिए। वृत्त के परिगत चतुर्भुज ABCD में $AB = 7$, $BC = 12$ और $CD = 15$ है। तो $AD = 7 + 15 - 12 = 10$।

दो गलतियों से बचिए।

• BD निकालने के लिए $s$ में से B के सामने वाली भुजा घटाइए, यानी CA, BC नहीं। जाँच के लिए $BD + DC$ जोड़िए, BC आना चाहिए।
• $AB + CD = AD + BC$ आमने-सामने की भुजाओं के जोड़ों पर लगता है। आसन्न भुजाओं के योग का ऐसा कोई नियम नहीं है।

थेल्स प्रमेय और क्षेत्रफल का अनुपात

त्रिभुज की किसी एक भुजा के समांतर कोई रेखा खींची गई हो, जो बाकी दो भुजाओं को काटे। ऐसे में कोई लंबाई या क्षेत्रफल पूछा जाए, तो आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (basic proportionality theorem, BPT) लगता है। इसे थेल्स प्रमेय भी कहते हैं।

मान लीजिए $DE \parallel BC$ है और $AD : DB = m : n$। तब त्रिभुज ADE, त्रिभुज ABC के समरूप होता है, और पैमाना $\frac{m}{m + n}$ होता है। इससे तीन बातें सीधे मिलती हैं।

$$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} = \frac{m}{m + n}$$

$$\text{क्षेत्रफल } ADE : \text{क्षेत्रफल } ABC = m^2 : (m + n)^2$$

$$\text{क्षेत्रफल } ADE : \text{समलंब } DBCE = m^2 : \left[(m + n)^2 - m^2\right]$$

ये अनुपात बार-बार आते हैं।

तालिका की पहली पंक्ति ही मध्य-बिंदु प्रमेय (midpoint theorem) है। त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है और उसकी आधी होती है।

प्रश्न 12

त्रिभुज ABC में D और E क्रमशः AB और AC पर ऐसे बिंदु हैं कि $DE \parallel BC$ और $AD : DB = 4 : 3$ है। यदि समलंब चतुर्भुज DBCE का क्षेत्रफल 99 वर्ग सेमी है, तो त्रिभुज ADE का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। साथ ही, यदि $DE = 12$ सेमी है, तो BC ज्ञात कीजिए।

उत्तर: AD : DB = 4 : 3 है, तो AD : AB = 4 : 7। क्षेत्रफलों में पैमाने का वर्ग लगता है, इसलिए क्षेत्रफल ADE : DBCE $= 16 : (49 - 16) = 16 : 33$। तो क्षेत्रफल ADE $= \frac{16}{33} \times 99$ = 48 वर्ग सेमी। लंबाई में सीधे पैमाना लगता है, यानी $\frac{DE}{BC} = \frac{4}{7}$, इसलिए BC $= 12 \times \frac{7}{4}$ = 21 सेमी। क्षेत्रफल और भुजा, दोनों के लिए कुल करीब 20 सेकंड चाहिए।

इस तरीके में तीन बातें ज़रूरी हैं।

• $\frac{DE}{BC}$, $\frac{AD}{AB}$ के बराबर होता है, $\frac{AD}{DB}$ के नहीं। $4 : 3$ हो, तो पैमाना $\frac{4}{7}$ है, $\frac{4}{3}$ नहीं।
• क्षेत्रफल पैमाने के वर्ग के हिसाब से बदलता है। लंबाइयाँ, परिमाप, माध्यिकाएँ और ऊँचाइयाँ पैमाने के हिसाब से ही बदलती हैं।
• समांतर रेखा न हो, तो कोई अनुपात नहीं बनता। अगर DE, BC के समांतर न हो, तो यह तरीका लागू ही नहीं होगा।

एक और तथ्य काम का है। BC के समांतर जो रेखा त्रिभुज को दो बराबर क्षेत्रफलों में बाँटती है, उसके लिए $\frac{AD}{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ होता है।

कोण समद्विभाजक: भुजा का बँटवारा और शीर्षलंब

कभी कोण A का समद्विभाजक भुजा BC से D पर मिलता है, और BD, DC या कोई भुजा पूछी जाती है। कभी A से समद्विभाजक और शीर्षलंब दोनों खींचे जाते हैं, और उनके बीच का कोण पूछा जाता है। दोनों तरह के प्रश्नों के लिए ये चार बातें काम की हैं।

• भुजा का बँटवारा: $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$ होता है। इसलिए $BD = BC \times \frac{AB}{AB + AC}$ और $DC = BC \times \frac{AC}{AB + AC}$।
• उसी शीर्ष से समद्विभाजक AD और शीर्षलंब AL के बीच का कोण: $\angle DAL = \frac{|B - C|}{2}$, यानी बाकी दो कोणों के अंतर का आधा।
• [Tier 2] A पर बाह्य कोण का समद्विभाजक बढ़ाई गई BC को बिंदु P पर काटे, तो $\frac{PB}{PC} = \frac{AB}{AC}$ होता है।
• [Tier 2] समद्विभाजक की लंबाई $AD^2 = AB \times AC - BD \times DC$ से निकलती है।

जैसे $\angle B = 72^\circ$ और $\angle C = 38^\circ$ हो, तो A से खींचे गए समद्विभाजक और शीर्षलंब के बीच का कोण $\frac{72^\circ - 38^\circ}{2} = 17^\circ$ होगा।

प्रश्न 13

त्रिभुज ABC में $AB = 16$ सेमी, $AC = 12$ सेमी और $BC = 21$ सेमी है। $\angle A$ का समद्विभाजक BC से D पर मिलता है। BD ज्ञात कीजिए।

उत्तर: समद्विभाजक BC को AB और AC के अनुपात में बाँटता है। तो BD : DC $= 16 : 12 = 4 : 3$, और BD $= \frac{4}{7} \times 21$ = 12 सेमी। बाकी बचा DC = 9 सेमी। इसमें 10 सेकंड के आसपास का समय लगता है।

दो जगह सावधान रहिए।

• अनुपात उन दो भुजाओं का लेना है जो कोण बनाती हैं, यानी AB और AC। BC तो वह भुजा है जो कट रही है।
• $\frac{|B - C|}{2}$ उसी शीर्ष A से खींचे गए समद्विभाजक और शीर्षलंब के बीच का कोण देता है। समद्विभाजक और माध्यिका के बीच का कोण इससे नहीं निकलता।

कर्ण पर शीर्षलंब

एक आकृति बहुत बार आती है। त्रिभुज ABC में $\angle A = 90^\circ$ है और AD, कर्ण BC पर लंब है। यह शीर्षलंब त्रिभुज को दो छोटे त्रिभुजों में बाँट देता है, और दोनों छोटे त्रिभुज बड़े त्रिभुज के समरूप होते हैं। इसी से एक-एक पंक्ति के पाँच सूत्र मिलते हैं।

• $AD^2 = BD \times DC$
• $AB^2 = BD \times BC$ और $AC^2 = DC \times BC$
• $AD = \frac{AB \times AC}{BC}$
• $\frac{1}{AD^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2}$
• $\frac{AB^2}{AC^2} = \frac{BD}{DC}$

प्रश्न 14

त्रिभुज ABC में $\angle A = 90^\circ$ और $AD \perp BC$ है। यदि $BD = 3$ सेमी और $DC = 12$ सेमी है, तो AD, AB और AC ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले $AD^2 = 3 \times 12 = 36$, तो AD = 6 सेमी। पूरा कर्ण BC = 15 है। अब $AB^2 = 3 \times 15 = 45$, यानी AB = $3\sqrt{5}$ सेमी। इसी तरह $AC^2 = 12 \times 15 = 180$, तो AC = $6\sqrt{5}$ सेमी। तीनों लंबाइयाँ निकालने में लगभग 20 सेकंड लगते हैं।

अगर समकोण बनाने वाली भुजाएँ दी हों, जैसे 7 और 24, तो पहले कर्ण 25 निकालिए। फिर $AD = \frac{7 \times 24}{25} = \frac{168}{25}$ सेमी।

दो बातें ख़ास तौर पर देखिए।

• $AB^2 = BD \times BC$ में पूरा कर्ण BC आता है, DC नहीं। हर भुजा अपने पास वाले टुकड़े के साथ जाती है।
• ये सारे परिणाम तभी सही हैं, जब समकोण A पर हो और लंब कर्ण पर गिरा हो। किसी दूसरी भुजा पर शीर्षलंब हो, तो ये सूत्र नहीं लगते।

पाइथागोरस त्रिक से जीवा की दूरी

जीवा वाले ज़्यादातर प्रश्नों में त्रिज्या, जीवा की लंबाई और केंद्र से जीवा की दूरी, इन तीन में से दो दी होती हैं और तीसरी पूछी जाती है। दो समांतर जीवाओं वाले प्रश्न भी इसी में आते हैं।

केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को आधा-आधा बाँट देता है। तब आधी जीवा, केंद्र से दूरी और त्रिज्या मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, जिसमें त्रिज्या कर्ण है।

$$d^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2 = r^2$$

इसमें d का मतलब है केंद्र से जीवा की दूरी, और l का मतलब है जीवा की लंबाई। वर्ग करने से पहले त्रिक पहचानने की कोशिश कीजिए। जैसे त्रिज्या 13 हो और जीवा 24, तो आधी जीवा 12 है, और दूरी सीधे 5 आ जाती है।

• बराबर जीवाएँ केंद्र से बराबर दूरी पर होती हैं। जो जीवा केंद्र के ज़्यादा पास हो, वह ज़्यादा लंबी होती है।
• दो समांतर जीवाएँ केंद्र के एक ही ओर हों, तो उनके बीच की दूरी $d_1 - d_2$ होती है। विपरीत ओर हों, तो $d_1 + d_2$।

प्रश्न 15

53 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त में AB और CD दो समांतर जीवाएँ हैं, जिनकी लंबाइयाँ क्रमशः 90 सेमी और 56 सेमी हैं। यदि ये जीवाएँ (i) केंद्र के विपरीत ओर हों, (ii) केंद्र के एक ही ओर हों, तो इनके बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: AB की आधी लंबाई 45 है। 28, 45, 53 एक त्रिक है, तो AB केंद्र से 28 सेमी दूर है। CD की आधी लंबाई 28 है, तो उसी त्रिक से CD की दूरी 45 सेमी आती है। जीवाएँ विपरीत ओर हों, तो दूरी $28 + 45$ = 73 सेमी। एक ही ओर हों, तो $45 - 28$ = 17 सेमी। दोनों भाग मिलाकर करीब 15 सेकंड का काम है।

जीवा वाले प्रश्नों में ये तीन बातें भी काम की हैं।

• समकोण त्रिभुज में आधी जीवा आती है। पूरी जीवा रख देना बहुत आम चूक है।
• जीवा व्यास से लंबी नहीं हो सकती। अगर $\frac{l}{2}$, $r$ से बड़ा आ रहा है, तो आँकड़े दोबारा देखिए।
• समांतर जीवाओं वाले प्रश्न में यह न बताया हो कि जीवाएँ किस ओर हैं, तो दोनों उत्तर संभव हैं। विकल्पों में जो दिया हो, वही लीजिए।

[SSC टिप] दो वृत्त एक-दूसरे को काटें, तो उनकी उभयनिष्ठ जीवा केंद्रों को मिलाने वाली रेखा पर लंब होती है, और वही रेखा उसे आधा-आधा काटती है। अगर $r_1^2 + r_2^2 = d^2$ हो, जैसे त्रिज्याएँ 15 और 20 हों और केंद्रों के बीच 25 की दूरी हो, तो आधी उभयनिष्ठ जीवा $\frac{r_1 r_2}{d} = 12$ होती है। यानी जीवा 24 है।

एक नज़र में वृत्त के कोण

वृत्त के कोणों वाले प्रश्नों में वृत्त पर कुछ बिंदु दिए होते हैं, अक्सर केंद्र O के साथ, और कोई कोण पूछा जाता है। यहाँ सबसे पहले वह चाप या जीवा ढूँढिए, जिस पर कोण बना है। उसके बाद नीचे वाले नियमों में से कोई एक लगाइए, हल पूरा हो जाएगा।

• केंद्र पर बना कोण, उसी चाप से परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है।
• एक ही चाप पर, एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं।
• अर्धवृत्त में बना कोण $90^\circ$ का होता है।
• जीवा की दूसरी ओर से, यानी लघु चाप पर बना कोण = $180^\circ$ − दीर्घ चाप पर बना कोण। दोनों को साथ लें, तो चारों बिंदु एक चक्रीय चतुर्भुज (cyclic quadrilateral) बनाते हैं।
• चक्रीय चतुर्भुज में आमने-सामने के कोणों का योग $180^\circ$ होता है। हर बाह्य कोण उसके अंतः अभिमुख कोण के बराबर होता है।
• त्रिभुज OAB समद्विबाहु है, क्योंकि $OA = OB$। अगर C दीर्घ चाप पर हो, तो $\angle OAB = 90^\circ - \angle ACB$।

प्रश्न 16

बिंदु A, B, C और D, O केंद्र वाले एक वृत्त पर स्थित हैं, जहाँ C दीर्घ चाप AB पर और D लघु चाप AB पर है। यदि $\angle OAB = 28^\circ$ है, तो $\angle ACB$ और $\angle ADB$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $OA = OB$ है, तो $\angle OBA = 28^\circ$। इसलिए $\angle AOB = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ$। C दीर्घ चाप पर है, तो $\angle ACB = \frac{124^\circ}{2}$ = 62°। ACBD एक चक्रीय चतुर्भुज है, इसलिए $\angle ADB = 180^\circ - 62^\circ$ = 118°। पूरा प्रश्न करीब 15 सेकंड में बन जाता है।

इन तीन बातों पर नज़र रखिए।

• दोगुने वाला नियम तभी लगता है, जब दोनों कोण एक ही चाप पर हों। C लघु चाप पर हो, तो $\angle ACB = 180^\circ - \frac{1}{2}\angle AOB$ होगा।
• कोई चतुर्भुज तभी चक्रीय है, जब उसके चारों शीर्ष वृत्त पर हों। जिस चतुर्भुज का एक शीर्ष O हो, जैसे OACB, वह सामान्यतः चक्रीय नहीं होता।
• C पर बना कोण अधिक कोण हो, तो $\angle OAB = 90^\circ - \angle ACB$ उलटकर $\angle ACB - 90^\circ$ हो जाता है।

स्पर्शरेखा की लंबाई और $180^\circ$ वाला नियम

वृत्त के बाहर कोई बिंदु P है, और उससे O केंद्र वाले वृत्त पर स्पर्शरेखाएँ खींची गई हैं। ऐसे प्रश्नों में ये पाँच तथ्य काम आते हैं।

• स्पर्श बिंदु तक खींची गई त्रिज्या स्पर्शरेखा पर लंब होती है, यानी $OA \perp PA$।
• स्पर्शरेखा की लंबाई $PA = \sqrt{OP^2 - r^2}$ होती है। यहाँ भी त्रिक काम आते हैं। $OP = 37$ और $r = 12$ हो, तो सीधे $PA = 35$।
• P से खींची गई दोनों स्पर्शरेखाएँ बराबर होती हैं, तो $PA = PB$। OP, $\angle APB$ और $\angle AOB$, दोनों को आधा-आधा बाँटती है।
• $\angle APB + \angle AOB = 180^\circ$, क्योंकि चतुर्भुज OAPB में दो समकोण हैं।
• जीवा AB दोनों स्पर्शरेखाओं से बराबर कोण बनाती है। $\angle PAB = \angle PBA = 90^\circ - \frac{P}{2}$ होता है। दीर्घ चाप पर कोई भी बिंदु C लीजिए, कोण ACB भी इतना ही होगा। यही एकांतर वृत्तखंड प्रमेय (alternate segment theorem) है।

प्रश्न 17

PA और PB, O केंद्र वाले एक वृत्त पर खींची गई स्पर्शरेखाएँ हैं, और $\angle APB = 52^\circ$ है। यदि C दीर्घ चाप AB पर स्थित एक बिंदु है, तो $\angle AOB$ और $\angle ACB$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $\angle AOB = 180^\circ - 52^\circ$ = 128°। C दीर्घ चाप पर है, और परिधि पर बना कोण केंद्र वाले कोण का आधा होता है। तो $\angle ACB$ = 64°। साथ में $\angle PAB = 90^\circ - 26^\circ = 64^\circ$ भी निकलता है। यह लगभग 10 सेकंड में निपट जाता है।

कुछ जगह छात्र चूक जाते हैं।

• दूरी हमेशा केंद्र से लीजिए। मान लीजिए P, 5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के सबसे पास वाले बिंदु से 8 सेमी दूर है। तब $OP = 8 + 5 = 13$, और स्पर्शरेखा $\sqrt{169 - 25} = 12$ सेमी होगी, $\sqrt{64 - 25}$ नहीं।
• $180^\circ$ वाला नियम एक ही बिंदु से खींची गई दो स्पर्शरेखाओं पर लगता है। स्पर्शरेखा और जीवा हों, तो एकांतर वृत्तखंड प्रमेय लगाइए। उन दोनों के बीच का कोण, दूसरे वृत्तखंड में बने कोण के बराबर होता है।
• C लघु चाप पर हो, तो $\angle ACB = 180^\circ - \frac{1}{2}\angle AOB$।

स्पर्शरेखा-छेदक और प्रतिच्छेदी जीवाएँ

मान लीजिए वृत्त के बाहर एक बिंदु P है, और P से खींची गई एक रेखा वृत्त को A और B पर काटती है। साथ में P से एक स्पर्शरेखा PT दी होती है, या एक और रेखा। कभी दो जीवाएँ वृत्त के अंदर एक-दूसरे को काटती हैं। इन सब प्रश्नों में एक ही विचार काम करता है, जिसे बिंदु की घात (power of a point) कहते हैं।

• P से स्पर्शरेखा और छेदक रेखा (secant): $PT^2 = PA \times PB$। यहाँ PA, P के पास वाला भाग है, और PB, P से दूर वाले बिंदु तक की पूरी लंबाई।
• P से दो छेदक रेखाएँ: $PA \times PB = PC \times PD$।
• अंदर E पर प्रतिच्छेद करती दो जीवाएँ: $AE \times EB = CE \times ED$।
• [Tier 2] चापों से कोण: दो जीवाएँ वृत्त के अंदर मिलें, तो उनके बीच का कोण उनके द्वारा काटे गए दोनों चापों के योग का आधा होता है। दो छेदक रेखाएँ, या स्पर्शरेखाएँ, वृत्त के बाहर मिलें, तो कोण चापों के अंतर का आधा होता है।

प्रश्न 18

वृत्त के बाहर स्थित एक बिंदु P से खींची गई एक छेदक रेखा वृत्त को A और B पर काटती है, जहाँ $PA = 4$ सेमी और $AB = 12$ सेमी है। स्पर्शरेखा PT की लंबाई ज्ञात कीजिए। साथ ही, एक अन्य वृत्त की जीवाएँ AB और CD, E पर प्रतिच्छेद करती हैं, जहाँ $AE = 6$, $EB = 4$ और $CE = 3$ है। ED ज्ञात कीजिए।

उत्तर: PB, P से B तक की पूरी लंबाई है, यानी $PB = 4 + 12 = 16$। तो $PT^2 = 4 \times 16 = 64$, और PT = 8 सेमी। जीवाओं वाले भाग में $6 \times 4 = 3 \times ED$, तो ED = 8। PT और ED, दोनों पर कुल लगभग 15 सेकंड लगते हैं।

इनमें गलती कहाँ होती है, यह भी देख लीजिए।

• PB, P से दूर वाले बिंदु तक की पूरी लंबाई है। कई लोग $PA \times AB = 48$ ले लेते हैं, जो गलत है।
• अंदर प्रतिच्छेद करती जीवाओं में एक ही जीवा के दोनों टुकड़ों का गुणा होता है। एक जीवा का टुकड़ा और दूसरी जीवा का उसी ओर वाला टुकड़ा मिलाकर गुणा करना गलत है।
• बाहर बने कोण में चापों के अंतर का आधा लेते हैं। योग का आधा केवल अंदर प्रतिच्छेद करती जीवाओं पर लगता है।

प्रत्यक्ष या अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा

दो वृत्त दिए हों, जिनकी त्रिज्याएँ $R$ और $r$ हैं और केंद्रों के बीच की दूरी $d$ है। पूछा जाता है कि उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा पर दोनों स्पर्श बिंदुओं के बीच की लंबाई कितनी है। यहाँ दो सूत्र हैं।

• प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा (direct common tangent) के एक ही ओर दोनों वृत्त होते हैं। इसकी लंबाई $\sqrt{d^2 - (R - r)^2}$ होती है।
• अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा (transverse common tangent) दोनों वृत्तों के बीच से गुज़रती है। इसकी लंबाई $\sqrt{d^2 - (R + r)^2}$ होती है।

याद ऐसे रखिए कि प्रत्यक्ष में त्रिज्याओं का अंतर आता है और अनुप्रस्थ में त्रिज्याओं का योग। अनुप्रस्थ स्पर्शरेखा सदा छोटी होती है।

• दोनों वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करें, तो $d = R + r$ होता है। तब अनुप्रस्थ लंबाई 0 हो जाती है, और प्रत्यक्ष लंबाई $\sqrt{(R + r)^2 - (R - r)^2} = 2\sqrt{Rr}$।
• अनुप्रस्थ स्पर्शरेखा तभी बनती है, जब वृत्त एक-दूसरे से अलग हों, यानी $d > R + r$।

प्रश्न 19

17 सेमी और 7 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी 26 सेमी है। उनकी प्रत्यक्ष और अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाओं की लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: त्रिज्याओं का अंतर 17 − 7 = 10 है और योग 17 + 7 = 24। प्रत्यक्ष स्पर्शरेखा $\sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{576}$ = 24 सेमी है। अनुप्रस्थ स्पर्शरेखा $\sqrt{26^2 - 24^2} = \sqrt{100}$ = 10 सेमी है। दोनों लंबाइयाँ लगभग 15 सेकंड में आ जाती हैं।

इन सूत्रों के साथ तीन बातें और जान लीजिए।

• दोनों सूत्रों को आपस में बदल देना सबसे आम गलती है। प्रश्न बनाने वाले दोनों उत्तर विकल्पों में रखते हैं, इसलिए यहाँ 24 और 10 दोनों विकल्पों में मिलेंगे।
• $d$ केंद्रों के बीच की दूरी है, दोनों वृत्तों के बीच का खाली अंतर नहीं। अगर खाली अंतर दिया हो, तो उसमें दोनों त्रिज्याएँ जोड़ लीजिए।
• त्रिज्या पता न हो, तो यही सूत्र उलटा लगाइए। जैसे प्रत्यक्ष स्पर्शरेखा 24 है और केंद्रों के बीच 26 की दूरी है, तो $R - r = 10$ होगा।

स्पर्श करते वृत्त और उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाओं की गिनती

कुछ प्रश्नों में दो या तीन वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं, और कुछ में यह पूछा जाता है कि दो वृत्तों की कितनी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ होंगी।

• दो वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करें, तो केंद्रों के बीच की दूरी $R + r$ होती है। आंतरिक रूप से स्पर्श करें, तो $R - r$।
• उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाओं की संख्या: यह दोनों वृत्तों की स्थिति पर निर्भर करती है।

• एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते तीन वृत्त: इनके केंद्रों को मिलाने पर एक त्रिभुज बनता है, जिसकी भुजाएँ $r_1 + r_2$, $r_2 + r_3$ और $r_3 + r_1$ हैं। इस त्रिभुज का परिमाप $2(r_1 + r_2 + r_3)$ है। तो हर त्रिज्या = परिमाप का आधा − उस वृत्त के केंद्र के सामने वाली भुजा। यह वही $s - a$ वाला विचार है, जो अंतःवृत्त की स्पर्शरेखाओं में लगा था।

प्रश्न 20

तीन वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं। उनके केंद्रों P, Q और R के बीच की दूरियाँ $PQ = 11$ सेमी, $QR = 14$ सेमी और $PR = 17$ सेमी हैं। तीनों वृत्तों की त्रिज्याएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले केंद्रों वाले त्रिभुज के परिमाप का आधा निकालते हैं। $\frac{11 + 14 + 17}{2} = 21$ आता है। अब हर केंद्र के सामने वाली भुजा इसमें से घटाते हैं। P वाली त्रिज्या $21 - QR = 7$, Q वाली $21 - PR = 4$ और R वाली $21 - PQ = 10$। तो त्रिज्याएँ 7 सेमी, 4 सेमी और 10 सेमी हैं। जोड़कर जाँच भी कर लेते हैं। $7 + 4 = 11$, $4 + 10 = 14$ और $7 + 10 = 17$ आते हैं। पूरे हल के लिए लगभग 20 सेकंड रखिए।

दो छोटी बातें और हैं।

• आंतरिक स्पर्श में त्रिज्याओं का अंतर लेना है। कोई छोटा वृत्त बड़े वृत्त को अंदर से स्पर्श करे, तो छोटे वृत्त का केंद्र बड़े वृत्त के केंद्र से $R - r$ दूर होता है।
• संकेंद्रीय वृत्तों का केंद्र एक ही होता है, और उनकी कोई भी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा नहीं होती।

कच्ची आकृति और आकार से विकल्प हटाना

शब्दों में दिए हर प्रश्न की शुरुआत एक कच्ची आकृति से कीजिए। विकल्प एक-दूसरे से दूर-दूर हों, तब तो यह और भी काम का है।

पाँच सेकंड लगाइए और ऐसी आकृति बनाइए, जिसका अनुपात मोटे तौर पर सही हो। बड़ा कोण बड़ा बनाइए और बराबर भुजाएँ बराबर रखिए। हर दी गई लंबाई और कोण आकृति पर लिख दीजिए। फिर कुछ भी हल करने से पहले विकल्पों को इन आकार-जाँचों से परखिए।

• त्रिभुज असमिका (triangle inequality): हर भुजा बाकी दो भुजाओं के योग से कम और उनके अंतर से अधिक होती है।
• सबसे बड़ी भुजा, सबसे बड़ा कोण: सबसे लंबी भुजा सबसे बड़े कोण के सामने होती है। समकोण त्रिभुज में कर्ण ही सबसे लंबी भुजा है।
• केंद्र: अंतःकेंद्र पर $\angle BIC$ सदा $90^\circ$ से ऊपर होता है, और बहिःकेंद्र पर $\angle BEC$ सदा $90^\circ$ से नीचे। समबाहु त्रिभुज में $r < R$ होता है, और ठीक-ठीक कहें तो $R = 2r$।
• वृत्त: जीवा अधिक से अधिक व्यास जितनी लंबी हो सकती है। P से खींची स्पर्शरेखा OP से छोटी होती है। अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा, प्रत्यक्ष से छोटी होती है।
• समकोण त्रिभुज: कर्ण पर शीर्षलंब, समकोण बनाने वाली दोनों भुजाओं से छोटा होता है। कर्ण पर माध्यिका ठीक कर्ण की आधी होती है।

प्रश्न 21

त्रिभुज ABC में $AB = 7$ सेमी और $AC = 12$ सेमी है। निम्नलिखित में से BC की लंबाई कौन-सी हो सकती है: (a) 4 सेमी (b) 5 सेमी (c) 18 सेमी (d) 20 सेमी? साथ ही, BC की लंबाई के कितने पूर्णांक मान संभव हैं?

उत्तर: BC, $12 - 7 = 5$ से अधिक और $12 + 7 = 19$ से कम होनी चाहिए। इससे (a), (b) और (d) बाहर हो जाते हैं, और उत्तर (c) 18 सेमी बचता है। पूर्णांक मान 6 से 18 तक हैं, यानी कुल 13 लंबाइयाँ संभव हैं। यहाँ 10 सेकंड काफ़ी हैं।

पर इस तरीके की भी सीमाएँ हैं।

• कभी दो विकल्प हर जाँच में पास हो जाते हैं। तब प्रश्न पूरा हल करना ही पड़ेगा।
• छपी हुई आकृति ज़रूरी नहीं कि अनुपात में हो, और SSC की आकृतियाँ तो अक्सर अनुपात में नहीं होतीं। इसलिए दी गई संख्याओं पर भरोसा कीजिए। कागज़ पर नापकर उत्तर कभी मत निकालिए।
• त्रिभुज असमिका में बराबर वाली स्थिति नहीं चलती। भुजाएँ 5, 7 और 12 हों, तो तीनों बिंदु एक ही रेखा पर होंगे, यानी संरेख, और कोई त्रिभुज नहीं बनेगा।

[SSC टिप] इन प्रश्नों के जाल वाले विकल्प प्रायः कुछ गिनी-चुनी गलतियों से बनते हैं। कोई $90^\circ + \frac{A}{2}$ की जगह $90^\circ - \frac{A}{2}$ लगा देता है, या कोण A अधिक कोण होने पर भी परिकेंद्र वाले कोण के लिए $2A$ ले लेता है। कोई प्रत्यक्ष स्पर्शरेखा में $R + r$ रख देता है, या आधी जीवा की जगह पूरी जीवा। कोई $\frac{AD}{AB}$ की जगह $\frac{AD}{DB}$ ले लेता है, या क्षेत्रफल का अनुपात निकालते समय पैमाने का वर्ग नहीं लेता। आपका उत्तर इनमें से किसी के बराबर आ रहा हो, तो उस कदम पर लौटकर जाँच कीजिए।